A M. DE BEAUNE

Lettre 71 du tome III.

Du ao février 1639.

Monsieur,

J'ai été extrêmement aise de voir vos notes sur ma Géométrie , et je puis dire avec vérité que je n'y ai pas trouvé un seul mot qui ne soit entièrement selon mon sens; en sorte que j'ai admiré que vous ayez pu reconnoître des choses que je n'y ai

(1) Fermât.

mises qu'obscurément , comme en ce qui regarde la généralité de la méthode, et la construction des lieux plans et solides, etc. Et partout je prends garde que vous avez plutôt eu dessein d'excuser mes fautes que de les découvrir ; de quoi j'ai véritablement sujet de vous remercier, à cause que c'est un grand témoignage de votre bienveillance : mais je ne vous aurois pas moins remercié si vous les aviez remarquées, à cause de l'utilité que j'en aurois pu retirer. Et afin que vous sachiez que je ne me flatte pas tant que je n'y reconnoisse beaucoup de manquements, je vous en dirai ici quelques uns. Premièrement, au lieu de m'étre employé, depuis la page 3a4 jusques à 334, à construire la question de Pappus et de n'avoir parlé des lieux après cela qu'en forme de corollaire, j'eusse mieux fait d'expliquer par ordre tous les lieux , et de dire ensuite que par ce moyen la question de Pappus étoit construite.

De plus j'ai omis le cas où il n'y a point dyy, mais seulement xy, avec quelques autres termes, ce qui donne toujours lieu à l'hyperbole, dont la ligne que j'ai nommée AB est asymptote ou parallèle à l'asymptote. Et en l'équation de la page 325, dont je fais un modèle pour toutes les autres, il n'y a aucun terme qui soit composé de quantités connues, ce qui est bon pour la question de Pappus , à cause qu'il ne s'y en trouve jamais par la fo-

LKTTRKS. lo3

t on que je l'ai réduite; mais il y en falloir mettre un , pour ne rien omettre touchant les lieux. Et les deux constructions que j'ai données pour l'hyperbole , p. 3 3o et 33 1 , se pouvoient expliquer par une seule. Je n'ai point donné l'analyse de ces lieux , mais seulement leur construction, comme j'ai fait aussi de la plupart des règles du troisième livre j et au contraire , pour les tangentes je n'ai donné qu'un " simple exemple de l'analyse , pris même d'un biais assez difficile, et j'y ai omis beaucoup de choses qui pouvoient y être ajoutées pour la facilité de la pratique. Toutefois je puis assurer que je n'ai rien omis de tout cela qu'à dessein , excepté le cas de l'asymptote, que j'ai oublié; mais j'avois prévu que certaines gens qui se vantent de savoir tout n'eussent pas manqué de dire que je n'a vois rien écrit qu'ils n'aient su auparavant, si je me fusse rendu assez intelligible pour eux; et je n'aurois pas eu le plaisir, que j'ai eu depuis, de voir l'impertinence de leurs objections , outre que ce que j'ai omis ne nuit à personne. Car pour les autres, il leur sera plus profitable de tâcher à l'inventer d'eux-mêmes que de le trouver dans un livre; et pour moi, je ne crains pas que ceux qui s'y entendent m'imputent aucune de ces omissions à ignorance, car j'ai partout eu soin de mettre le plus difficile et de laisser seulement le plus aisé.

Quand on a a*' y, ou x'y' dans une équation , le

lieu est d'une ligne du second genre , et j'ai mis en la p. 3 1 9 que, lorsque l'équation ne monte que jusques au rectangle des deux quantités indéterminées, c'est-à-dire lorsqu'il n'y a que xy, le lieu est solide ; mais que, lorsqu'elle monte à la troisième ou quatrième dimension des deux , ou de l'une , c'està-dire lorsqu'il y a xxy, ou bien etc. , le lieu est plus que solide.

Je vous remercie de la proportion des réfractions que vous m'avez envoyée : je ne doute point qu'elle ne soit très exacte, et je fais si peu d'état de celui qui dit avoir fait des expériences qui montrent le contraire, que j'ai seulement honte de notre siècle, de ce que telles gens en trouvent d'autres qui daignent les écouter; mais je ne crois pas qu'il y ait personne que les raisons dont vous le réfutez ne persuadent. Je n'ai rien à dire touchant ce que vous trouvez bon de changer en la machine pour les lunettes , car c'est chose dont vous pouvez mieux juger que moi ; mais pour ce qui est de commencer par les lunettes à puce, je crains qu'elles ne fassent pas voir si clairement l'utilité de la figure hyperbolique comme les lunettes de longue vue; car vous savez que pour les verres qu'on met proche de l'œil, il n'importe pas tant que leur figure soit exacte : c'est pourquoi je me persuade que vous recevrez plus de contentement de votre travail si vous commencez par une machine qui puisse avoir

au .moins un pied ou un pied et demi de hauteur entre les lignes AB et RQ ( pag. i4ô de la Diop. ),et que vous vous en serviez à tailler des verres qui aient quatre ou cinq pouces de diamètre pour des lunettes de deux ou trois pieds de longueur; car y ajoutant seulement des verres fort concaves taillés au hasard, je ne doute point que vous ne les rendiez beaucoup meilleures que les ordinaires , qui ' ne peuvent avoir des verres si grands, encore qu'elles soient beaucoup plus longues ; et vous pouvez faire aisément que cette même machine serve pour diverses hauteurs. Si ce qu'on a dit au révérend père Mersenne de la lunette apportée de Naples est vrai , à savoir que le verre convexe en est extraordinairement grand, et que, bien qu'il soit plus mal poli que les ordinaires, il ne laisse pas d avoir plus d'effet, je juge qu'il doit avoir la figure de l'hyperbole : mais j'apprends qu'on commence à en diminuer le bruit.

Pour vos lignes courbes, la propriété dont vous m'envoyez la démonstration me paroît si belle, que je la préfère à la quadrature de la parabole trouvée par Archiraède; car il examinoit une ligne donnée, au lieu que vous déterminez l'espace contenu dans une qui n'est pas encore donnée. Je ne crois pas qu'il soit possible de trouver généralement la converse de ma règle pour les tangentes , ni de celles dont se sert M. de Fermai non plus , bien que la prati-

lo6 LETTRES.

que en soit en plusieurs cas plus aisée que delà mienne ; mais on en peut déduire à posteriori des théorèmes qui s étendent à toutes les lignes courbes qui s expriment par une équation en laquelle Tune des quantités a; ou y n'ait point plus de deux dimensions , encore que l'autre en eût mille : et je les ai trouvés presque tous en cherchant ci-devant votre deuxième ligne courbe ; mais pourceque je ne les écrivois que dans des brouillons que je n'ai pas gardés, je ne vous les puis envoyer. Il y a bien une autre façon qui est plus générale, et à priori, à savoir, par l'intersection de deux tangentes, laquelle se doit toujours faire entre les deux points où elles touchent la courbe, tant proches qu'on les puisse imaginer : car en considérant quelle doit être cette courbe, afin que cette intersection se fasse toujours entre ces deux points, et non au-deçà ni au-delà, on en peut trouver la construction; mais il y a tant de divers chemins à tenir, et je les ai si peu pratiqués, que je n'en saurois encore faire un bon compte : toutefois vous verrez ici en quelle façon je m'en suis servi pour vos trois lignes courbes.

En la deuxième AVX, dont le sommet est A , au lieu de considérer Taxe A Y , avec son ordonnée XY, j'ai considéré l'asymptote BC, vers laquelle ayant mené des ordonnées parallèles à l'axe, comme PV, RX, etc., et des tangentes, comme ÀC , ZVw, GXm,etc, j'ai trouvé que la partie de l'asymptote qui

LETTRES. ÎO"

est entre l'ordonnée et la tangente d'un même point, comme P/i, on Rm, etc., est toujours égale à BC , * ainsi que vous verrez facilement par le calcul. Or d'autant que les deux lignes ZV n et GX m touchent la courbe aux points V et X , elles doivent nécessairement s'entrecouper en l'espace qui est entre ces deux points , tant proches qu'ils puissent être, comme par exemple au point D, par lequel je mène FD parallèle à PV. Et je nomme AB || b; nP

H bV 2, PF H e; FR || o>X PV || ^et RX || ^entendant par m un nombre de parties égales auxquelles je suppose que toute la ligne b est divisée, et par n un autre moindre nombre qui exprime combien la ligne PV contient de telles parties; en sorte que si m est 1 6 , et n est 1 5 , j'ai PV || -j-J- b et RX d -Ht b, car je suppose RX moindre que PV d'une de ses parties seulement. Après cela je procède en cette sorte :

Comme NP || bVi est à PV || ^, ainsi n¥ || br* — t est à FD || ^ — ~; et comme mR || bV, est à n-^, ainsi bV* f o> est à FD || ^ f

— nilk' sl kien °iue j'a*e W en deux façons, qui me donnent^ || ^~^,ou bien b^u || tua — o>f ne: ce qui montre que PR , que j'ai nommée g f w est

* Kignn- i 1 .

tût ou bien — — , c'est-à-dire que PR est nécessairement plus grande que et plus petite que — a-, ou bien , afin de rejeter le nombre sourd V a, que la ligne a(â est plus grande que * , et plus petite

que Et pourceque le même se doit entendre de

toutes les ordonnées parallèles à Taxe qui ne diffèrent l'une de l'autre que d'une des parties de la ligne AB, ceci suffit pour démontrer que si on divise cette ligne AB en 8, et que PV contienne, par exemple, 7 b, Aa sera plus grande que jb, •f- y b, et moindre que | b , \ j b ; et que si on divise AB en 16, Aa sera plus grande que tt b , t tt b> t tt b> t tt b, et moindre que b, f -±b9 f tt b, f tt b, et ainsi des autres : de façon que, divisant AB en plus de parties, on peut approcher de plus en plus à l'infini de la juste longueur des lignes Aa, AfJ et semblables, et par ce moyen construire mécaniquement la ligne proposée.

De plus, à cause que RX étant \ b, on ne sauroit imaginer en la ligne A[S aucun point au-dessus de p, comme y, qui soit si proche de p qu'il ne se démontre pas ceci, que l'intervalle y(i est moindre que le double de la différence qui sera entre l'ordonnée RX et l'ordonnée qui passera par le point y; et qu'au contraire on ne sauroit imaginer aucun point au-dessous de p, comme £, qu'il

LKTTHKS. 1 Ol)

ne se démontre que l'intervalle f$ est plus grand que le double de la différence qui est entre l'ordonnée RX et celle qui passe par & ; et que tout de même que PV étant f b9 on ne sauroit mener aucune autre ordonnée au-dessus d'elle, comme par le point n , que la ligne a n ne soit moindre que y de leur différence; ni aucune au-dessous, comme par 6, que aô ne soit plus grande que { de leur différence, et ainsi des autres. Cela montre que, pour décrire exactement cette courbe AVX, il faut mouvoir deux lignes droites en telle sorte, que l'une étant appliquée sur la ligne AH, et l'autre sur AB , elles commencent à se mouvoir en même temps également vite, AH vers BR, et AB vers RH; et que celle qui se meut de AH vers BR retienne toujours sa même vitesse, mais que l'autre qui descend de BA, parallèle à RH , augmente la sienne en telle proportion, que si elle a un degré de vitesse en commençant, elle en ait y lorsque la première a parcouru la huitième partie de la ligne AB, et f ou -J- lorsque la première a parcouru le quart de AB, et }, {, j, ~ et 8 et 16 et 32. etc., lorsque la première arrive à J-, T, }, ~ , et j et -~ et ^r, etc., de la ligne AB, et ainsi à l'infini; et l'intersection de ces deux lignes droites décrira exactement la courbe AVX, qui aura les propriétés demandées. Mais je crois que ces deux mouvements sont tellement incommensura-

1 ÎO LETTRES.

bles, qu'ils ne peuvent être réglés exactement l'un par l'autre; et ainsi que cette ligne est du nombre de celles que j'ai rejetées de ma Géométrie, comme n'étant que mécanique ; ce qui est cause que je ne m'étonne plus de ce que je ne l'avois pu trouver de l'autre biais que j'avois pris, car il ne s'étend qu'aux lignes géométriques.

Pour votre troisième ligne courbe , vous voyez assez qu'elle est de même nature , et se décrit de même façon que cette seconde , sans qu'il y ait autre différence, sinon qu'au lieu qu'en celle-ci l'angle BAH est de 1 55 degrés, et HAY de 4^, ils doivent être tous deux droits en l'autre.

Pour la quatrième, je ne l'ai point du tout examinée, et je n'en pourrois avoir le loisir, si je ne différois à un autre voyage à vous écrire ; mais je m'assure que vous aimerez mieux en faire la recherche.

Les petites remarques que j'ai faites sur le livre de Galilée ne valent pas la peine que vous les voyiez; mais, puisqu'il vous plaît , je ne laisserai pas de prier le révérend père Mersenne de vous les envoyer. J'ai bien pris garde que Galilée ne distingue pas les diverses dimensions du mouvement ; mais cela lui est commun avec tous les autres dont j'ai vu quelques écrits de mécanique.

Pour la difficulté qu'on a de concevoir comment plusieurs diverses actions peuvent passer en

même temps par un même espace sans s'empêcher, comme, par exemple, toutes les couleurs d'une prairie par le trou de la prunelle de l'œil, elle vient principalement de ce qu'ayant remarqué dès notre enfance que les corps durs empêchent souvent les nouveautés les uns des autres, au lieu de prendre garde que la cause n'en doit être attribuée qu'à leur durée et à leur grosseur, nous avons jugé qu'un même corps n etoit pas capable de recevoir tout ensemble les impressions de plusieurs divers mouvements; et toutefois il est très certain qu'il en peut recevoir un nombre innombrable, nonobstant que chacune de ses parties ne puisse pas pour cela se mouvoir en plus d'une sorte, comme on peut voir aisément plusieurs tuyaux F, GI , KL qui soient joints par le milieu, et que plusieurs hommes soufflent en même temps, l'un d'F vers G, l'autre d'H vers I, et l'autre de K vers L , etc. : car bien que les parties de l'air contenues en l'espace de N , qui leur est commun à tous, ne se puissent mouvoir chacune que vers un côté en même temps, elles ne laissent pas de pouvoir servir à transférer toutes les actions qu'elles reçoivent; et l'on peut dire que l'action qui vient d'F passe en ligne droite vers G, nonobstant qu'il n'y ait peut-être aucune partie de l'air qui vient d'F, laquelle étant parvenue à l'espace N, ne tourne de là vers I et vers L; car, en ce faisant, elles transfèrent l'action qui les déter-

Il À LETTRES.

mincit vers (i à d'autres parties d'air qui viennent d'H et de K, et qui tendent vers G tout de même que si elles venoient du point F, et ainsi des autres. Au reste, afin que je ne laisse aucuns points de votre lettre sans quelque réponse , je vous dirai que si tout le monde vouloit recevoir mes pensées aussi favorablement que vous , je ne ferois aucune difficulté de les publier; mais pourceque j'éprouve que la plupart, et même de ceux qui causent le plus, sont d'autre bumeur, je ne le juge pas à propos. Je suis, etc.

AU R. P. MEKSENNE.

(Lettre 8/, du tome III.)

Mon r Évita end père,

J'ai reçu quatre paquets de votre part depuis huit ou dix jours , sans avoir toutefois reçu qu'une de vos lettres ; car le premier ne contenoit que les livres de M. Morin , de M. Hardy et les thèses du père Bourdin ; le second , que la perspective curieuse et le livre de M. Laleu 1 ; le troisième, que des lettres de Bretagne. Mais

• Paul Ivon, *ieur de Lalcu.

enfin le quatrième j'ai trouvé votre lettre, avec une autre de M. de Beaune, et une autre encore que M. de Bessy vous a écrite. Je répondrai ici par ordre aux articles de la vôtre. Ce que j'ai dit aux pages 1 75 et 1 79 , de la pesanteur et de l'origine des fontaines est fort peu de chose , au regard de ce qui s'en peut dire, et vous verrez quelque chose de la pesanteur dans ma réponse à M. de Beaune.

J'admire que vous n'ayez pu faire geler de l'eau avec du sel et de la glace; car l'expérience en est si aisée, qu'il est presque impossible de la mal faire; et je l'ai faite plus de cent fois : il est vrai qu'il faut une assez bonne quantité de neige ou de glace pilée, mais la neige y est meilleure, à cause qu'elle se mêle mieux avec le sel , qui doit être aussi en assez bonne quantité, environ le tiers ou le quart de la neige; et il faut ensevelir le vase où est l'eau douce dans celte mixtion , et l'y laisser jusqu'à ce qu'elle soit quasi toute fondue; car à mesure que la neige se fond, Feau se glace, et cela se peut faire en toute saison; mais l'été il faut que ce soit dans une cave, afin que la chaleur de l'air ne fasse point trop tôt fondre la neige.

Ce qui empêche la lumière de pénétrer jusques au fond de la mer , ou au travers d'un verre fort épais, n'est pas l'eau ou le verre en tant que diaphanes , mais ce sont des impuretés qui y sont mêlées , et qui ne sont point diaphanes.

I l/| LETTRES.

Si vous ne mettez pas plus de sel dans de l'eau douce qu'il s en peut tirer dépareille quantité d'eau de nier , je m'assure qu'elle ne deviendra point plus pesante que celle de mer. Mais toute la mer n'est pas également salée; car aux embouchures des rivières, aux rivages et vers les pôles, elle l'est beaucoup moins qu'ailleurs.

Les tangentes de deux lignes courbes de diverse espèce ne peuvent avoir les mêmes propriétés spécifiques , telles que sont celles que vous marquez de la parabole et de l'ellipse; mais il y a des propriétés géométriques * qui peuvent convenir à plusieurs, et même à plusieurs de divers genres. Comme si AD est la tangente de la courbe ED et DC perpendiculaire sur AC et qu'il faille seulement que AE soit à EC, comme nombre à nombre, on peut trouver des lignes courbes d'une infinité de divers genres qui auront cette propriété. Pour celui de vos géomètres qui fait le fin sur ce sujet, il a montré touchant les lignés de M. de Beaune qu'il était du nombre de ceux qui savent le moins ce qui en est; car il maintenoit que les propriétés des tangentes données ne suffisoient pas pour les déterminer; et cela même qu'il dit en avoir la démonstration , mais qu'il ne la dira qu'à bonnes enseignes, est un témoignage qu'il l'ignore ; car c'est une chose si claire et si aisée pour ceux

> (iên^ritfues. <

qui la savent , que cela ne mérite rien moins que d être caché comme un mvstère.

Il faut que je rie de ce que vous m'avez déjà envoyé cinq ou six fois la façon pour trouver la tangente de la roulette, toujours différemment et toujours avec faute, ce qui ne sauroit venir de votre plume; car vous avez pris la peine de menvoyer copie de plusieurs autres choses de géométrie qui étoient bien , et vous avez expressément pris garde à cette dernière , où la faute est qu'ayant tiré GI, perpendiculaire sur l'axe CD1 et EF, qui touche le cercle au point E, il dit que si le cercle est égal à la ligne AB, EF doit être prise égale à GI, et que GF sera la tangente cherchée, ce qui est très faux; car il faut prendre EF égale à GE, et lors cette construction ne diffère point de la mienne, et je crois qu'il pensoit traiter avec des grues , de vouloir par là persuader qu'il a trouvé cette tangente. Je dis même en supposant qu'il n'y ait point de faute dans sa construction, et qu'il ait fait EF égale à GE; car il devoit montrer outre cela le médium qui l'a conduit à cette construction , ainsi que je vous ai déjà mandé il y a long-temps, et quil fut différent de ceux qui lui ont été envoyés, ou plutôt se taire; car enfin cela même qu'il vous a donné cinq ou six fois sa prétendue construction pour m'envoyer, sans que je Taie jamais deman-

1 Figure io.

1 l 0 LETTRES.

dée , me fait juger qu'il affecte de faire croire une chose qui n'est pas vraie.

Je crois que vous faites trop d'honneur au sieur N. ' de lui contredire, il faut laisser aboyer les petits chiens sans prendre la peine de leur résister; et je m'assure qu'il est plus fâché de ce que je n'ai pas daigné lui répondre, que si je lui avois dit tout le mal que j'eusse pu, bien qu'il m'en ait donné une ample matière. Vous vous êtes fort bien avisé de vouloir envoyer son traité contre ma Dioptrique à M. de Beaune plutôt qu'à moi; car je m'assure que par ce moyen il ne sera point de besoin que je le voie, et je reconnois tant de capacité et de franchise en M. de Beaune , que je suis prêt de souscrire dès à présent à tout ce qu'il en jugera.

Il est vraisemblable que l'arbalète du Padre Benedetto est aussi excellente que la lancette ■ de aples , car l'une et l'autre viennent d'Italie.

Vous verrez dans ma réponse à M. de Beaune pourquoi je ne crois plus que les corps pesants augmentent également leur vitesse en descendant.

Sa raison pourquoi il faut une force quadruple pour faire monter une corde à l'octave est très excellente , et voici comme elle s'entend. Que les cordes abc et EFG soient en tout égales, sinon

■ « Pclit. " I.un*tt«*. •

que abc soit plus tendue que EFG, en sorte qu'elle ait un son plus aigu d'une octave, et qu'elles soient également éloignées de leur direction, c'est-à-dire que BD' et FH soient égales, il est certain qu'il ne faut ni plus ni moins de forces et de temps , en comptant l'un avec l'autre, pour faire que abc revienne jusques à D, que pour faire que EFG revienne jusques à H; c'est-à-dire que si abc a plus de force, il lui faudra moins de temps à proportion : car toutes les autres choses étant égales, cette inégalité de la force ne peut être récompensée que parcelle du temps. Il est certain aussi que, puisque abc fait l'octave au-dessus de EFG, elle n'emploie que la moitié d'autant de temps à passer de B à 1) que EFG à passer de F à H; si bien qu'il ne reste plus qu'à savoir sinon combien la force qui la meut doit être plus grande que celle qui meut l'autre, afin que cette force et ce temps comptés ensemble fassent en toutes deux la même somme. Or, pourceque la force agit toujours également (au moins à peu près, et on ne considère point ici ce qui s'en faut), et que l'impression qu'elle fait à chaque moment demeure jusques à la fin du mouvement, on peut représenter le temps par une ligne, comme kl ou kn, et la force par une autre, comme NO ou LM ou NP; en sorte que l'un et l'autre ensemble soit représenté par le triangle RNOa ou KLM ou

1 Figaro li. — 1 Figure 14.

Il8 LETTRES.

KNP; à savoir, puisque ABC n'emploie que la moitié d'autant de temps à aller de B à D que fait EFG à aller de F à H, il représente le temps de ABC par kl prise à discrétion, et celui de EFG par kw , qu'il fait double de kl , puis il représente la force de EFG par NO, prise derechef à discrétion, et celle de ABC par NP en un temps égal , et par LM en un temps de la moitié moindre; et cette LM doit être telle (suivant ce qui a été posé) que le triangle kLM soit égal au triangle kNO; mais à cet effet LM doit être double de NO , et ensuite NP doit être quadruple de NO : donc la force qui meut ABC doit aussi être quadruple de celle qui meut EFG; car lorsqu'elles sont considérées en ellesmêmes , et sans avoir égard à aucun temps , elles ont même rapport l'une à l'autre que lorsqu'elles sont considérées au regard d'un temps égal.

Je ne sache point avoir reçu ci-devant aucune lettre de M. de Bessy à laquelle je n'aie fait réponse; et quant à ce qu'il mande dans celle qu'il vous a e'crite , je n'ai au tre chose à dire , si non qu'i 1 est vrai que je me suis mépris faute d'attention. Car, ayant trouvé d'abord tout ce qui me sembloit contenir de la difficulté dans la question, qui étoit de donner autant d'ellipses rationnelles qu'on voudroit qui eussent une même ligne pour plus grand diamètre, et ayant d'autres pensées en l'esprit, je ne me suis pas arrêté à considérer toutes les excep-

LKTTRRS. 119

tions qu'il falloit faire, afin que cette ligne ne servît point à plus grand nombre d'ellipses qu'à celui qui seroit demandé; et pensant prendre un biais qui m'en exempteroit, je me suis trompé. Voici mon procédé : prenant a pour le nombre qui exprime la ligne IK, et b pour celui qui exprime la ligne IC, j'ai trouve que DC devoit être nécessairement ~

et FL être 26 V -o 1 . En suite de quoi il m'a été

aisé de voir quels nombres je devois prendre pour a et pour b, afin que 26 — 1 fut un nombre rationnel, et que DC pût être expliqué en autant de diverses façons par qu'on auroit demandé d'ellipses. Mais pourceque je voyois que prenant un nombre carré, ou double d'un carré pour DC ou^~, V^- — 1 pouvoit être une fraction, et que néanmoins FL ou 26 V — 1 seroit un nombre entier, j'ai pensé que multipliant DC par 3, ou par quelque autre tel nombre qui empêchât qu'il ne fut carre ou double de carré, j'exclurois toutes les ellipses qui peuvent naître de ces fractions; et c'est en quoi j'ai failli : car, comme M. de Bessy remarque fort bien, cette multiplication est superflue, à cause que toutes les autres lignes sont aushi multipliées par 3; mais c'est une faute si grossière, que je m'assure qu'il ne la prendra que pour une bévue, qui montre que j'ai eu l'esprit diverti ailleurs. Et afin qu'il ait d'autant plus de raison de m 'excuser, je vous dirai qu'il me semble n'avoir

pas pris garde à tout non plus que moi : car, premièrement , il dit que si DC" est un carré impair, il ne pourra servir à aucune ellipse dont les lignes requises s'expriment par des nombres entiers ; secondement , qu'il n'y a aucun nombre qui puisse servir de grand diamètre à une ellipse, qui ait les lignes telles qu'on demande , qui ne serCe aussi à deux telles ellipses, l'une desquelles aura son petit diamètre plus grand que la distance des points brûlants, et l'autre l'aura plus petit; troisièmement , que c'est pour cela qu'il a demandé que l'ellipse eût une de ces conditions; quatrièmement, que je n'ai point dû pour cela exclure le nombre de 5. Or, premièrement, si, par exemple, DC est a5, 1K sera 2, IC 5, et FL 20. Item , si DC est 289, IK sera 2, IC 17, et FL 1 36, et ainsi des autres où il ne se trouve que des nombres entiers; seconde ment, et ni 25 ni 289 ne servent que chacun aune ellipse ; mais a5 sert à une qui a son plus petit diamètre plus grand que la distance de ses points brûlants, et 289 sert à une qui l'a moindre; troisièmement, si bien qu'il n'étoit pas besoin pour ce sujet d'exclure l'une de ces conditions; quatrièmement, et moi j'ai dû exclure le nombre 5 pour résoudre la question aux termes qu'elle étoit proposée; et il me semble que la meilleure solution est de faire que DC soit un nombre carré impair, dont la ra-

'^Figurc iS.

cine ou ses parties se puisse diviser en deux carrés, autant de fois qu'on demande d'ellipses. Ainsi DC étant le carré de 629, il servira à quatre ellipses, et non plus, à cause que 629 ne se divise qu'en 4 et 625; item en 100 et 529; item 3-j se divise en 1 et 36; et 17 se divise en 1 et 16, qui font quatre ellipses, èt non plus. Et il est aisé à déterminer la plus grande et la moindre proportion entre lesquelles doit être celle de ces carrés, afin que El soit plus grande que FL, et que néanmoins l'aire de l'ellipse soit plus grande que celle du cercle qui aura El pour diamètre. Mais je ne vois pas qu'il soit aisé de donner une règle pour trouver un nombre qui se divise ainsi, lui ou ses parties, en autant de carrés qu'on voudra, et non plus , si ce n'est qu'après en avoir trouvé autant qu'il faut, on en ôte ceux qui s'y trouveront de plus en tâtonnant : il m'enseignera, s'il lui plaît, si je me trompe; et cependant je demeure son très humble serviteur.

Je reviens aux livres que vous m'avez envoyés , desquels je vous remercie, et vous prie de remercier de ma part ceux qui vous les ont donnés pour moi. Je n'ai encore eu aucun temps pour les lire, ce qui est cause que je ne vous en puis rien dire à cette fois. Je suis , etc.

A MONSIEUR "* '

(Lettre ir> du tome II.)

Monsieur,

Je crois le temps que j'ai rais à considérer vos lignes courbes très bien employé, non seulement à cause que j'y ai beaucoup appris, mais particulièrement aussi à cause que vous témoignez en avoir quelque satisfaction. Je vous remercie de votre exacte mesure des réfractions, la précédente en étoit si peu éloignée, qu'il n'y a personne que vous qui eût pu y trouver à redire. Pour l'écrit du sieur N. a que vous avez vu , j'en ai fait tant d'estime , qu'il se peut vanter d'être le seul de tous ceux qui m'ont envoyé quelque chose auquel je n'ai point fait de réponse. Car en effet je croirois avoir mauvaise grâce de m'arrèter à poursuivre un petit chien, qui ne fait qu'aboyer contre moi , et n'a pas la force de mordre. Je craindrois que votre indis-

» « Cette lettre est très certainement adressée à M. de Reanne par ». M. Descartes , eu même temps qne la 84e du 3e vol. au P. Mersenne. Il » n'y a qu'à les comparer ensemble pour s'en convaincre; elles sont toutes » deux ëcriles le 3o avril 1639. »

» Je crois que c'est Petit. -

position ne vous détournât du travail des lunettes si elle étoit autre que la goutte ; mais ce mal me semble ne pouvoir être mieux surmonté que par exercice.

Je voudrois être capable de répondre à ce que vous désirez touchant vos mécaniques; mais encore que toute ma physique ne soit autre chose que mécanique, toutefois je n'ai jamais examiné particulièrement les questions qui dépendent des mesures de la vitesse. Votre façon de distinguer diverses dimensions dans les mouvements, et de les représenter par des lignes, est sans doute la meilleure qui puisse être; et on peut attribuer autant de diverses dimensions à chaque chose qu'on y trouve de diverses quautités à mesurer. Votre distinction des trois lignes de direction qui sont parallèles, ou qui tendent à un centre ou à plusieurs, est fort méthodique et utile. L'invention de vos lignes courbes est très belle; et la raison que vous donnez pour la tension quadruple d'une corde qui fait l'octave est très ingénieuse et très vraie. Il ne me reste plus à vous dire que ce qui me donne de la difficulté touchant la vitesse, et ensemble ce que je juge de la nature de la pesanteur , et de ce que vous nommez inertie naturelle.

Premièrement , je tiens qu'il y a une certaine quantité de mouvement en toute la matière créée qui n'augmente ni ne diminue jamais ; et ainsi que

lorsqu'un corps eu fait mouvoir un autre, il perd autant de son mouvement qu'il lui en donne; comme lorsqu'une pierre tombe d'un lieu haut contre terre , si elle ne retourne point , et qu'elle s'arrête, je conçois que cela vient de ce qu'elle ébranle cette terre , et ainsi lui transfère son mouvement ; mais si ce qu'elle meut de terre contient mille fois plus de matière qu'elle, en lui transférant tout son mouvement, elle ne lui donne que la millième partie de sa vitesse. Et pourceque si deux corps inégaux reçoivent autant de mouvement l'un que l'autre, cette pareille quantité de mouvement ne donne pas tant de vitesse au plus grand qu'au plus petit, on peut dire en ce sens , que plus un corps contient de matière, plus il a d'inertie naturelle; à quoi on peut ajouter qu'un corps qui est grand peut mieux transférer son mouvement aux autres corps qu'un petit , et qu'il peut moins être mù par eux ; de façon qu'il y a une sorte d'inertie qui dépend de la quantité de la matière, et une autre qui dépend de l'étendue de ses superficies.

Pour la pesanteur, je n'imagine autre chose, sinon que toute la matière subtile qui est depuis ici jusqu'à la lune, tournant très promptement autour de la terre , chasse vers elle tous les corps qui ne se peuvent mouvoir si vite: or elle les chasse avec plus de force lorsqu'ils n'ont point encore commencé à descendre que lorsqu'ils descendent déjà; car en-

fin s'il arrive qu'ils descendent aussi vite qu'elle se meut, elle ne les poussera plus du tout, et s'ils . descendent plus vite, elle leur résistera/D'ou vous pouvez voir qu'il y a beaucoup de choses à considérer avant qu'on puisse rien déterminer touchant la vitesse, et c'est ce qui m'en a toujours détourné : mais on peut aussi rendre raison de beaucoup de choses , par le moyen de ces principes , auxquelles on if a pu ci-devant atteindre. Au reste , je ne vous écrirois pas si librement de ces choses , que je n'ai point voulu dire ailleurs, à cause que la preuve en dépend de mon Monde , si je n'espérois que vous tas interpréterez favorablement, et si je ne désirois passionnément vous témoigner que je suis, etc.