AÉPONSE A LA KÉPLIQUE DE M. DE FERMAT, AU SUJET DE LA DIOPTEIQUE

(Lettre 4a du tome ÏÏI.)

MoprsipUR ,

J'aî appris du révérend père Mersetine cjae vous avez il y a quelque temps souteim tacm parti en sa présence, et Tafifection que vous m'avez toujours témoignée m'assure que vous faites le semblable en toutes les occasions, lesquelles ne manquent pas sans doute d'être firéquenles, car j'apprends qu'on me met souvent sur le tapis en bonne compagnie. Je ne veux pas m'étendre ici sur les compliments pour vous remercier, car mes paroles ne pourroient égaler mon ressentiment; mais je veux foire comme ceux qui ont coutume d'emprunter de l'argent; ils s'adressent toujours plus librement à ceux à qui ils doivent déjà, qu'ils ne font à d'autres, et ainsi vous étant déjà très obligé, je me veux obliger à vous encore davantage , en vous

•^ « Cette lettre est écrite en même temps que la 41* et la 57* de ce to- »»^ lame, c'est-jb>dire le 24 février i638. Voyez, le gros cabier. »

suppliant de voir les pièces d'un petit procès de mathématique que j'ai contre M. de Fermât, et d'en juger, non point en me £sivorisant, mais toutà-fait selon la justice et la vérité. Il est vrai que j-ai aussi à vous prier outre cela de faire savoir votre jugement ^ tous ceux qui en auront ouï parler , et c'est ce que je tiendrai pour une très grande faveur. La première des pièces * que je vous prie de voir est une lettre de M. de Fermât au P. Mersenne , où il réfute ma* Dioptrique. La seconde * est ma réponse à cette lettre, dont je vous envoie la copie. La troisième est un écrit latin de M. de Fermât de maximi$ et minimis ', qu'il m'a fait envoyer pour montrer que j'avois oublié cette matière en ma Géométrie, et aussi qu'il avoit une faiiçon pour trouver les tangentes des lignes courbes meilleure que celle que j'ai donnée. La quatrième * est ma réponse à cet écrit. La cinquième est un écrit ^ de quelques amis de M. de Fermât qui répliquent pour lui à ma réponse. La sixième est ma réponse à ses amis, laquelle je vous envoie en ce paquet^ , et je vous prie d'en retenir une copie avant que l'original leur soit mis entre les mains

» « C'csl la 37* lettre de ce volume. »

* «« Cest la 39' de ce volume. *>

3 «r Cet écrit n*est pas inséré parmi ces lettres. »

* « Cest la 56* lettre de ce volnme. »

^ » Cet écrit n'est pas imprimé, et il est perdu. » ««C'est la 57%..

4o4 LETTRES.

par le révérend père Mersenne. La septième • est une réplique de M. de Fermât à ma première réponse touchant ma Dioptrique. Le révérend père Mersenne vous fournira toutes celles de ces pièces que je ne vous envoie pas , ou bien s'il lui en manque quelques unes je vous les enverrai sitôt que j'en aurai avis, afin que mon procès soit tout instruit. Au reste, afin que vous puissiez plus commodément remarquer les fautes de la dernière lettre de M. de Fermât, à laquelle je n'ai pas voulu répondre pour la cause que vous verrez, je mettrai ici les principales. Premièrement, où * il dit que j'ai accommodé mon médium à ma conclusion , et qu'il me seroit malaisé de prouver que la division des dé*-; terminations dont je me sers est celle qu'il fout prendre, d'où il passe incontinent à d'autres matières , il montre n'avoir point eu du tout de quoi répondre à ma première lettre , en laquelle j'ai clairement prouvé ce qu'il demande, en faisant voir qu'il ne fout pas considéra: la ligne tirée de travers par son imagination, mais la parallèle et la perpendiculaire de la superficie où se fait la réflexion ^ pour la divisicwn de ces déterminations.

En l'article qui commence, Je remarque d' abord j, il veut que j'aie supposé telle différence entre la détermination à se mouvoir çà ou là et la vitesse qu'elles

• «« C'est la lettre 46*. »

* w Voyeï la lettre 40* de ce volume."

LETTRES. J\oï^

ne se trouvent pas ensemble, ni ne puissent être diminuées par une même cause, savoir par la toile CBE; ce qui est contre mon sens et contre la vérité , vu même que cette détermination ne peut être sans quelque vitesse, bien qu'une même vitesse puisse avoir diverses déterminations, et une même détermination être jointe à diverses vitesses.

En l'article $uivant il y a un sophisme , ou , ce qui est le même en matière de démonstration , un paralogisme en ces mots : Elle avance à proportion moins vers BG que vers BE^ donc elle avance à proportion^davantage vers BE que vers BG. Il coule ce mot depropprtion^ qui n'est point du tout en mon écrit, pour se tromper; et de ce que , puisqu'elle avance moins vers BG que vers BE à proportion , c'est-àdire en comparant seulement BG et BE l'une à Vautre, elle avance aussi davantage à proportion vers BE que vers BÇ, il conclut qu'il est vrai, absolument parlant, qu'elle avance plus vers BE qu*eUe ne faisoit auparavant.

Un peu après, où il dit ces mots , Ployez catnme il retombe en sa première faute^ c'est lui-même qui retombe en la sienne, voulant que la distinction qui est entre la détermination et la vitesse ou la force du mouvement, empêche que l'une et l'autre ne puisse être changée par la même cause. Et il fait un paralogisme en ces mots. Puisque la balle ne perd rien de sa détermination à la vitesse , ce qu'il

4o6 LETTRES.

n'emprunte nullement de moi, vu que je ne dis rien de semblable en aucun lieu, et sa faute est d^autant plus grande qu'il m'accuse de faire un paralogisme en le faisant.

Tout ce qui suit après n'est que pour préparer le lecteur à recevoir un autre paralogisme , qui consiste en ce qu'il parle de la composition du mouvement en deux divers sens , et infère de l'un ce qu'il a prouvé de l'autre. A savoir, au premier sens , il n'y a proprement que la détermination de . ce mouvement qui soit composée, et sa vitesse ne l'est pas, sinon en tant qu'elle accompagne ccftte détermination, comme on voit en la seconde figure, que faisant AB égal à NA et aussi à BN , ce mouvement composé qui va d'A vers B n'est ni plus ni moins vite que chacun des deux simples qui vont l'un d'A vers N, et l'autre d'A vers C en même temps ; et ainsi on ne peut dire que ce soit sa vitesse qui est composée , mais seulement que c'est sa détermination d'aller d'A vers B qui est compo-^ sée de deux, qui sont, l'une d'aller d'A vers N, et l'autre d'A vers C ; et cependant la vitesse du mouvement d'A vers B peut être ou égale, ou plus grande , ou moindre, selon que l'angle CAN est ou de 120 degrés, pu plus aigu , o» plus obtus, non pourcequ'elle est composée de celle deis deux autres mouvements, mais en tant qu'elle doit accompagner la détermination composée, et s'accommoder

à eUe. Au Ueu qu'en son second sens, qui est le mien, en la figure de la page 20 , il n^y a que la vitesse du mouvement qui se compose, à savoir , elle se compose de celle qu'avoit 1^ balle en venant d' A vers B ( car elle dure encore de B vers D ) et de celle que la raquette qui la pousse au point B lui ajoute ; de façon que c*e§t ici la vitesse seule qui suit les lois de la composition, et non pas la détermination , laquelle est obligée de changer en diverses £tçons selon qu'il est requis afin qu'elle s'accommode à la vitesse. Et la force de ma démonstration consiste eu cela , que j'infère qu'elle doit être Ja détermination de ce qu'elle ne sauroit $e trouver autre que telle que je l'explique pour se rapporter à la vitesse ou, pour mieux dire, à la force qui la oomn^nce en B; mais son paralogisme consiste en ce qu'il conclut touchant la composition de la vitesse après n'avoir rien prouvé que touchant la composition de la détermination , nommant l'une et l'autre composition du mouvement. Et il continue ce paralogisme jusques à la fin , où il conclut que le mouvement composé sur ,BI (c'est-à-dire duquel la'viiesse est composée) n'est p^s toujours également vite lorsque l'angle GBD compris sous les lignes de direction des deux forces (c'est-à-dire sous les lignes, qui marquent coipment se compose la détermination de ces deux forces) est changé ; tirant cette conclusion , de ce qu'il a au-

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paravant prouvé touchant le mouvement duquel la détermination est composée et non la vitesse^ que la vitesse change quand l'angle change. Mais . vous saurez mieux voir ses fautes que moi, et s*il reste quelque difficulté en tout ceci que je n'aie pas assez expliquée, vous pi'obligerez s'il vous plaît de m'en avertir.

En ma réponse à son écrit De maxitnis et minimisa je n'ai pas voulu dire particulièrement où étoit la faute de sa règle , ni celle de son exemple pour trouver la tangente de la parabole, tant pour éprouver s'il les pourroit corriger de lui-même que pourceque j'ai cru qu'il ne trouveroit pas bon d'être instruit par moi. Mais vous verrez que la faute de sa règle consiste principalement en ces mots : In terminis sub A etl^ gradibusui libet coefficientibus. Ce qui ne vaut rien , comme il se voit par l'exemple que j'ai donné touchant la parabole. Mais au lieu de ut libet il faudroit mettre viis a prioribus diversis y ou bien per diversum médium , ou quelque chose de semblable , et alors elle seroit assez bonne , et servîroit en ce même ei^emple que j'ai donné pour la réfuter. Il y auroit bien toutefois encore quelque autre chose à y changer , mais qui n'est pas de si grande importance; car celle-ci est la pièce la plus nécessaire de toute la règle ; en sorte que l'ayant mise il'montre n'être pas encore fort versé en l'analyse , ou du moins n'y savoir

encore rien de ferme et de solide. Pour sa faute en l'exemple où il cherche la tangente de la parabole, elle est extrêmement grossière ; car il n'y met rien du tout qui détermine la parabole plutôt que toute autre ligne que ce puisse être sinon que : major est proportio cd ad di quant quadrati bc ad quadratum oi , ce qui est autant ou plus vrai en l'ellipse qu'en la parabole , etc. Je vous prie que M. Hardy ait aussi la communication des pièces de mon procès ', et je ne désire point qu'elles soient cachées à aucun autre de ceux qui auront envie de les voir. Mais deux des amis " de M. de Fermât s'étant mêlés de soutenir sa cause , je me stiis promis que vous n'auriez pas désagréable que je vous employasse tous deux pour la mienne. Au reste , permettez-moi que je vous demande comment vous gouvernez ma Géométrie ; je crains bien que la difficulté des calculs ne vous en. dégoûte d'abord, mais il ne faut que peu de jours pour la surmonter , et par après on les trouve beaucoup plus courts et plus commodes que ceux de Viète. On doit aussi lire le troisième livre avant le second, à cause qu'il est beaucoup plus aisé. Si vous désirez que je vous envoie quelques adresses particulières touchant le calcul , j'ai ici un ami qui s'offre de les écrire , et je m'y offrirois bien aussi ,

• «Demathématiqae avec Fermât, »

* «« Pascal et Roberval. »>

mais j'en suis moins capable que lui , à cause que je ne sais pas si bien remarquer en quoi on peut trouver de la difficulté. Je suis , etc.

LETTRE DE M. DE FERMAT

A M. CLERSELIER,

SUR LA DIOPTEIQUE DE M, DESGA]LTES.

(Lettre 43 du tome III.)

A Tooloase, le 3 mars i65S.

Monsieur ,

J'ai reçu votre lettre avec les deux copies des écrits de M. Descartes sur le sujet de notre ancien démêlé. Je voudrois bien , monsieur , vous satisfaire ponctuellement en ce que vous semblez sou-haiter que je refasse mes réponses d'alors qui se sont égarées ; mais comme je hais naturellement tout ce qui choque tant soit peu la vérité, et qu'il me seroit aussi malaisé de rajuster ce vieux ouvrage qu'à un peintre de refaire mon portrait d'alors sur mon visage d'à présent , j'ai cru qu'il valoit mieux vous écrire tout de nouveau une lettre

qui contiendra mes raisons d'opposition et vieilles et nouvelles , et c'est à quoi je travaillerai pour la huitaine. J'entre dans vos sentiments pour ce qui concerne Fimpression ; il y faudra changer les termes les plus choquants et les plus aigres , mais n'y faire point autrement de grand changement ; et de cela je m'en remets à vous. Pour notre question de dioptrique, je vous proteste, sans nulle feintise, que je souhaite de m'étre trompé; mais je ne saurois obtenir sur moi, en façon quelconque, que le raisonnement de M. Descartes soit une démonstration , et même qu'il en approche. Je vous enverrai dans huit jours la lettre qui éclaircira mes doutes sur cette matière. Et je suis de tout mon cœur, etc.

J'ai retenu cette lettre , qui étoit prête à vous être envoyée dès la semaine passée, parceque j'ai cru que M. Digby , par la voie duquel j'ai pris la liberté de vous écrire , ne seroit pas encore de retour à Paris. Vous recevrez donc les deux conjointement ; et si la seconde est un peu longue , assurez-vous, monsieur, que j'ai pris peine à raccourcir, et que je pourrois dire beaucoup plus de choses que je n'ai fait. Je l'ajouterai un jour si les géomètres de Paria soutiennent la démonstration de M. Descartes.

LETTRE DE M. DE FERMAT

A M. CLERSELIER,