A M. DE FERMAT

(Lettre 45.)

A Paris, le i5 mai x658.

Monsieur,

Je ne veux pas m'arréter beaucoup à vous faire des excuses d'avoir tant tardé à faire réponse aux deux vôtres, l'une du troisième et l'autre du dixième mars dernier, parceque je me persuade que vous croirez aisément qu'il m'a fallu des obstacles invincibles pour m'empécher de satisfaire à temps à des témoignages si obligeants de votre suffisance et de votre civilité. En effet, une maladie qui m'a détenu dans le lit presque tout ce temps-là, et qui m'a ôté le moyen de pouvoir attacher mon esprit à des spéculations si relevées, est la véritable cause qui m'a empêché de vous témoigner plus tôt ma reconnoissance ; mais tout cela seroit peu si je pouvois aujourd'hui répondre à tous les doutes de votre sceptique,

et satisfaire pleinement aux difficultés que vous proposez dans votre dernière ; car, comme elles ne dépendent point du temps , la réponse n'en seroît de rien moins recevable et convaincante, pour n'être pas venue à temps. Néanmoins, pourvu que ce soit à vous, monsieur, que j'aie afifaire, et non point à votre sceptique, dont l'humeur seroit trop difficile à contenter, je me promets de pouvoir éclaircir la plupart de ses doutes , et de faire voir, si je ne me trompe, si clairement en quoi il s'est mépris lui-même dans ses raisonnements, que vous prenant vous-même pour l'arbitre de nos dififérends et pour le juge denos conclusions, j'espère que vous reconnoîtrez la subtilité des siennes , et la vérité des miennes , c'est-à-dire de celles de M. Descartes.

Premièrement, je ne vois point que le raisonnement que fait M. Descartes à l'oôcasion de la figure de la page 1 7 de sa Dioptrique soit aucunement opposé au sens commun , ni que l'extension qu'il en fait de la réflexion à la réfiraction soit forcée ; car la même raison qui lui a fait conclure en la page 1 5 que la terre GBE ne pouvoit empêcher que la détermination de haut en bas , et non point celle de gauche à droite , pourcequ'elle est entièrement opposée à. la première , et point du tout à la seconde , la même lui a du faire conclure, dans la figure de la page 1 7 ou 18, que la déter-

miuation de haut en bas pouvoit bien être changée en quelque façon par la rencontre de la toile ou de l'eau, mais point du tout celle qui fait tendre la balle vers la main droite , à cause que l'eau ou la toile est en quelque façon opposée à l'une et point à l'autre. Je vous prie de remarquer ici la façon de parler de M. Descartes ; car c'est de là que dépend en partie la solution de tous les doutes de votre sceptique : il ne dit pas simplement que la détermination de haut en bas peut être changée par la rencontre de la toile, mais seulement qu'elle peut être changée en quelque façon; car en effet elle n'est pas tout-à-fait changée, puisque la balle continue de descendre , mais elle est changée en quelque façon, en tant que c'est changer en quelque façon la détermination qu'un mobile avoit à avancer vers un certain côté que de faire que dans le même temps il n'avance pas tant vers ce côté-là qu'il faisoit auparavant. Ce qui change la quantité de sa détermination.

De plus , les trois circonstances que remarque votre sceptique pour l'empêcher d'admettre cette conséquence, ne la peuvent aucunement infirmer; car que la vitesse soit diminuée , que le milieu soit changé , et que la détermination de haut en bas ne soit pas tout-à-fait empêchée , mais qiie la balle continue de descendre, tout cela ne doit point apporter de changement à la détermination

(le gauche à droite , à laquelle pas une de ces circonstances ne s'oppose et ne met obstacle , puisque cette détermination peut demeurer la même quoique la vitesse soit changée , une même détermination pouvant être jointe à différentes vitesses: le milieu ne peut aussi apporter aucun changement à cette détermination , puisqu'il lui est également facile de s'ouvrir et faire passage d'un côté que d'autre ; et bien que la balle continue de descendre et ne remonte pas comme en la réflexion , cette déteriiiination vers la droite se peut aussi bien faire et maintenir en descendant qu'en remontant.

Jusqu'ici votre sceptique auroit, ce me semble, tort de ne vouloir pas accorder que la détermination de gauche à droite demeure la même en la réfraction , après en être demeuré d'accord sans difficulté en la réflexion , . et il ne doit point appréhender qu'on le chicane sur l'explication de ce terme , et qu'on l'oblige à rien avouer qu'on ne prouve , et qui ne soit tiré par une conséquence légitime de ce qu'on a avancé auparavant; M. Descartes ayant trop soigneusement fait remarquer la différence qu'il y a entre la détermination et le mouvement , ou , comme vous dites , entre la détermination et la puissance qui meut, pour s'en oublier.

Mais voici le point qui effarouche votre scep-

tique et qui lui fait perdre ce peu de respect qu'il sembloit encore porter au nom de M. Descartes ; c'est à ce coup qu'il dit n'entendre plus de raillerie, et que, s'il a consenti de bonne foi que la détermination vers la droite ne changeoit pas , il proteste qu'il n'est point engagé à consentir que la balle changeant de milieu , fasse toujours un égal progrès , et , comme il dit un peu auparavant , aille aussi vite vers la droite, après qu'il a été supposé que la balle au point B perd la moitié de sa vitesse , et que M. Desc^rtes a si solennellement assuré que la détermination et la force mouvante sont tout-à-fait différentes et distinctes.

Mais ne voyez-vous pas que ce qui empêche votre sceptique d'y consentir et d'y donner les mains, est qu'il ne distingue pas assez lui-même la détermination d'avec la force mouvante ou la vitesse , et qu'il les confond ensemble , croyant que la perte que l'une souffre, à savoir la vitesse, se doive ressentir par l'autre, à savoir par la détermination vers la main droite , quoique rien ne se soit opposé qui ait pu changer ou diminuer la quantité de la détermination que la balle avoit à avancer vers ce côté-là ; car s'il avoit bien pris garde à ce que dit M. Descartes , il i^'auroit pas de peine à comprendre qi;e la vitesse étant diminuée de moitié au point B , la détermination de gauche à droite demeurant toujours la même en ce point-là qu'elle

a été auparavant , il est nécessaire que la balle suive la ligne BI pour faire que la détermination qu'elle doit prendre se rapporte à la vitesse ou à la force qui lui reste , et qui la commence en B. Et quoique dans la route qu'elle prend, en des temps égaux, elle avance autant vers la droite qu'elle faisoit auparavant, et qu'ainsi la détermination qu'elle avoit à avancer vers ce côté-là ne soit point changée , il ne s'ensuit pas qu'elle aille aussi vite qu'elle faisoit auparavant : ce que votre sceptique semble avoir toujours appréhendé qu'on lui voulût faire accorder, puisque M. Descartes avoue luimême qu'il lui faut le double de temps pour faire autant de chemin qu'auparavant; mais comme dans la route qu'elle est obligée de prendre, elle incline plus qu'elle ne faisoit vers la droite , elle ne laisse pas d'avancer autant vers ce côté-là , quoiqu'elle aille deux fois moins vite.

Et c'est à mon avis ce qui fait la beauté et la force tout ensemble du raisonnement de M. Descartes, de faire voir quelle doit être dans cette rencontre la route véritable que doit prendre la balle , qui ne peut être autre que celle qu'il a expliquée en ce lieu là , pour se rapporter à la détermination vers la droite , qu'elle doit garder , et à la perte de la vitesse qu'elle a soufferte en B.

Mais ce qui a le plus abusé votre sceptique est un raisonnement très spécieux à la vérité , et très

capable de surprendre les autres, et de faire qu'on y soit surpris soi-même, si l'on n'y prend garde , mais qui pourtant est Eaux , et contre l'intention de M. Descartes : ce raisonnement est que, comme M. Descartes , sur la figure de la page 1 7 , dit que la détermination vers le coté droit étant la même , quoique le mouvement de la balle soit diminué de moitié au point B, en deux fois autant de temps elle doit avancer deux fois autant vers la droite ; donc, à paris dit votre sceptique, posé que la balle soit poussée perpendiculairement depuis H jusques à B , et qu'elle continue son mouvement vers BG, la détermination de la balle sur la route BG n'étant point changée au point B , et demeurant la même , puisque le mouvement perpendiculaire se continue dans la même ligne HBG, en deux fois autant de temps , elle doit avancer deux fois autant et aussi vite au-dessous de B qu'elle avoit fait auparavant au-dessus ; ce qui est absurde , puisque l'on suppose que la balle au point B a perdu la moitié de sa vitesse.

Véritablement, si la conséquence qu'il infère étoit bien tirée de ce qu'a avancé M. Descartes, je conclurois comme lui que M. Descartes se seroit trompé dans^ son raisonnement, duquel il s'ensuivroit une telle absurdité ; mais aussi M. Descartes a-t-il dit tout autre chose que ce que votre sceptique lui veut faire dire : car quand il a dit que la

détermination qu'avoit la balle à avancer vers le côté droit demeuroit la même , et que , par conséquent, en deux fois autant de temps, elle devoit feire deux fois autant de chemin vers ce côté-là , il a conclu cela, de ce que bien qu'on suppose que la balle au point B perde la moitié de sa vitesse , néanmoins elle ne perd rien du tout de la quantité de la détermination qu'elle avoit à s'avancer vers le côté droit, à laquelle détermination la toile n'est aucunement opposée en ce sens-là , et laquelle se doit et se peut accommoder à la vitesse qui reste en la halle , pour faire en sorte que, sans dérogera la perte qu'elle a soufferte, et qu'allant moins vite , elle ne laisse pas d'avancer autant vers le côté droit qu'elle eût fait si elle n'eût ri^n perdu de sa vitesse. Mais peut-on dire la même cho>e de la détermination d'une balle que l'on supposé tomber perpendiculairement sur la même toile, à savoir que la superficie. sur laquelle elle tombe ne lui est aucunement opposée en ce sens-là , et qu'en perdant la moitié de sa vitesse , elle ne perd rien du tout de la quantité de la détermination qu'elle avoit à s'avancer vers G, et que cette détermination se doit et se peut accommoder avec la vitesse qui lui reste pour la faire avancer en un temps égal sur la même route , autant qu'elle eût fait si elle n'eût rien perdu de sa vitesse? Certainement personne ne dira que ce cas

soit semblable au premier , et par conséquent la conclusion n'en peut être pareille.

Aussi tout le défaut du raisonnement de votre sceptique ne vient que de ce qu'il semble n'avoir pas pris garde que cette superficie CBE , en laquelle la balle au point B perd la moitié de sa vitesse , est toujours opposée à sa détermination de haut en bas , soit que la chute soit perpendiculaire ou qu'elle ne le soit pas; en sorte que, quoique la balle continue de descendre et même qu'elle descende dans la même ligne quand elle a été poussée perpendiculairement , on ne sauroit pas dire que cette détermination vers le bas soit la même , ayant été changée en quelque façon , ainsi que dit M. Descartes; car la balle ne descend plus avec une pareille détermination, puisque dans un temps égal elle ne va pas si loin qu'elle étoit déterminée d'aller avant qu'elle eût perdu la moitié de sa vitesse , ce qui est un changement en la détermination qu'elle avoit à avancer vers ce côté- là.

Et si vous y prenez garde, tous les changements de détermination que M. Descartes a dit s'ensuivre en la balle du changement qui arrive en sa vitesse, ou en la force qui l'avance ou qui la retarde en B ( selon les différentes suppositions qu'il fait ) , ont tous été en la détermination de haut en bas , et non point en celle de gauche à droite, à cause.

comme il a dit en la page 1 7 , ligne 1 3, que des deux parties dont on peut imaginer que la détermination de la balle sur la route AB est composée , il n'y a que celle* qui faisoit tendre la balle de haut en bas qui puisse être changée en quelque façon , par la rencontre de la toile. Mais à plus forte raison cette toile peut-elle faire changer la détermination perpendiculaire à laquelle elle est entièrement opposée , qui est simple , et qu'on ne peut pas dire être composée de deux autres , à l'une desquelles elle ne soit point du tout opposée , ainsi qu'elle ne l'est point à celle de gauche à droite , quand la balle est poussée dp biais , suivant la ligne AB.

Or, quel changement peut- il arriver en cette détermination de haut en bas, que celui qu'a expliqué M. Descartes ; à savoir, que cette balle, en continuant de descendre, avance tantôt plus et tantôt moins vers le bas qu'elle ne faisoit selon le changement , c'est-à-dire selon l'augmentation ou la diminution que sa vitesse a reçue en B, et selon le rapport que cette vitesse s'est trouvée avoir avec la détermination vers le côté droit , qui a dû toujours demeurer la même , comme j'ai dit plusieurs fois, c'est-à-dire quia dû faire que la balle ait toujours autant avancé de ce côté-là qu'elle avoit fait auparavant.

Et partant, tant s'en faut que l'absurdité qu'avoit

voulu inférer votre sceptique soit une suite de ce qu'a dit M. Descartes, qu'au contraire il se trouve que c'est lui-même qui , au lieu de faire un bon argument , s'est embarrassé dans un sophisme , en supposant que la détermination de la balle dans une chute perpendiculaire étoit la même , au même sens que celle de gauche à droite est dite être la même quand la balle tombe obliquement.

Que si, après cela, vous prenez la peine d'examiner la réponse que M. Descartes a faite lui-même au reste des difficultés que votre sceptique lui a autrefois proposées par l'entremise du révérend pèreMersenne, et auxquelles il satisfit alors par une lettre qu'il adressa à M. Mydorge % dont je vous ai naguère envoyé la copie , vous trouverez que ce qu'il dit est véritable, à savoir que votre sceptique s'est trompé, pour avoir parlé de la composition du mouvement en deux divers sens, et inféré de l'un ce qu'il avoit seulement prouvé de l'autre.

Je ne répète point ici ce qu'il en a dit; car, outre qu'il seroit inutile, comme j'en étois là, im de mes amis, appelé M. Rohault , savant mathématicien , et des plus versés que je connoisse en la philosophie de M. Descartes, m'est venu apporter une réponse qu'il a faite à votre lettre au père Mersenne, .pensant que M. Descartes n'y avoit point

' " Voyez la lettre 4 a de ce yolame. »

répondu ( car je ne lui avois point montré cette lettre à M. Mydorge) et que vous n'eussiez reçu de lui aucune réponse, voyant que dans la lettre que vous m'avez fait l'honneur de m'écrire, laquelle je lui avois fait voir, vous continuez vos premières difficultés , et que dans celle à M. de la Chambre vous dites avoir autrefois contesté à M.Descàrtes sa démonstration touchant la réfraction , à lui, ditesvous, viveniv atque sentientij mais qu'il ne vous satisfit jamais. Et pourcequ'il entend beaucoup mieux que moi toutes ces matières, et qu'il a répondu article par article à votre dite lettre, je m'abstiendrai de vous ennuyer davantage par mon discours , afin de vous laisser plus de temps pour examiner la réponse qu'il y a faite. S'il me l'eût apportée plus tôt , il nous auroit tous deux soulagé ; moi d'écrire d'un sujet qui passe mes forces , et vous de lire une si mauvaise lettre ; mais comme c'en étoit déjà fait, je n'ai pas voulu perdre ma peine, et j'ai ^ensé qu'il valoit mieux vous fatiguer de cette lecture , et vous donner par même moyen des preuves du soin où je m'étois mis de m'acquitter de ce que je vous devois, que de vous laisser venir la pensée que je m'en serois peut-être oublié , et que j'aujois été bien aise de m'en décharger sur un autre.

Au reste, monsieur, je vous prie d'excuser ce qui peut m'être échappé de libre en répondant à

votre sceptique, j'aurois agi avec tout un autre respect si j'eusse eu affaire à vous ; mais bien loin de craindre que pour cela vous me refiisiez justice , je prends même l'assurance devons demander quelque grâce ; il y a des rencontres où un peu de faveur n'ofifeiise point l'équité ; et si en celle-ci vous prenez mon parti , je puis vous assurer qu'en toute autre occasion je serai entièrement à vous , et que vous pourrez faire état d'avoir toujours tout prêt en moi, etc.