RÉPONSE DE M. DE C ARC AVI

( Lettre 78 du tome III. )

À Paris , le 24 septembre 1649.

Monsieur ,

Je croyois répondre tout aussitôt à la lettre que vous m'avez fiait la faveur de m'écrire du dix-septième du mois d'août , et vous remercier , comme je fois de tout mon cœur de la peine qu'il vous plaît de prendre; mais une fièvre qui m'a tenu quelque temps malade m'a contraint de différer ce devoir jusques à maintenant. M. Clerselier , de l'entremise duquel je me sers pour vous faire tenir la présente en l'absence de M. Picot , vous pourra témoigner que j'avois pris rendez-vous chez lui il y a trois semaines pour vous l'envoyer.

J'ai écrit à M. Pascal , qui n'est pas encore de retour en cette ville , ce que vous avez désiré que je lui fisse savoir de votre part touchant l'expérience qu'il a fait faire du vif-argent , et si le père Magnan m'écrit quelque chose de Rome , je vous l'enverrai où vous serez ; car nous ne savons pas si c'est encore en Hollande , ou bien en Suède. Il m'a témoigné par sa dernière lettre qu'il eût bien

désiré de savoir de quelle façon vous expliquez les actions de l'entendement et de, la volonté : Sachant assez j dit-il , que celles des sens , tant internes qu'externes , ne consistent qu'en des mouvements beaux , comme l'expliquent M. Descartes et Af. Hogelande, si ce n'est le même , ainsi que quelques uns ont cru ici. Voilà , monsieur , ses propres termes , dont vous userez comme il vous plaira.

Pour ce qui est du père Grégoire de Saint- Vincent , j'avois bien cru que vous ^'approuveriez pas sa quadrature , encore qu'il paroisse avoir autant de géométrie qu'aucun de ceux que nous ayons vu de sa compagnie. Mais vous ne savez peut-être pas qu'il a écrit sous le nom d'un de ses écoliers quelque chose contre le jugement qiie le père Mersenne a fait de son ouvrage, dans son dernier traité De reflexipnibus physico-mathematicis , à quoi l'on a ici répondu en peu de mots.

Le livre de M. de Schooten est attendu avec impatience ; et bien qu'il soit fort savant en géométrie, il eût été néanmoins à souhaiter que vous vous fussiez donné la peine de le voir ; car encore que vous ne l'ayez pas fait, on aura sujet de le penser , à cause que vous êtes au même lieu où une personne qui témoigne vous honorer si particulièrement l'a fait imprimer ; et vous savez qu'en cette science on s'arrête davantage au sens qu'aux paroles.

Vous m'excuserez s'il vous plaît, si je vous parlé si librement, mais l'intérêt que je prends en ce qui vous regarde m'y oblige; et votre dernière lettre ne m'ayant pas fait voir le contraire de ce que je vous avois écrit, j'eusse bien désiré que vous vous fussiez donné le loisir de relire ce qui regarde le lieu ad très et quatuor , etc. , contre lequel, au moins contre ce que vous en avez mis dans votre Géométrie i vous me permettrez de vous dire ingénument, et par le seul amour de la vérité, ce que j'en - pense, et qui est conforme à la démonstration, que M. de Roberval m'en a montrée il y a très long -temps, et que je vous enverrai quand il* vous plaira, vous assurant que je l'ai parmi mes papiers , et qu'il ne me faut qu'un peu de temps pour la mettre en ordre. Car lorsque je vous ai écrit que ledit sieur de Roberval ne vous étoit pas ennemi, je vous assure que je vouslai mandé candidement, et comme je lui ai ouï dire, ne l'excusant pas aussi/s'il s'est servi des termes dont vous m'écrivez, bien que le plus souvent la chaleur de la dispute nous emporte au-delà de ce que nous ne ferions pas dans une autre rencontre. Et pour ce qui est du père Mersenne, je ne l'ai accusé que de ce que tous ceux qui l'ont connu ont remarqué en lui, ce qui ne toit pas toutefois absolument blâmable dans son intention , qui n'alloit qu'à la recherche de la vérité , qui ne se trouve d'ordinaire

^Jue par le moyen de quelque émulation, et qui ne s'établit qu'après plusieurs contestations; mais il m'a semblé qu'il ne mettoit pas toujours assez de différence entre ceux qui disputent en matière de science, et les autres qui se battent pour le point d'honneur , ce que j'ai tâché de faire en cette occasion , où vous me Élites la faveur de me témoigner, la satisfaction que vous en avez, et vous me donnez des louanges qui me persuadent que vous agréerez que je continue, ou plutôt que je finisse dans cette lettre ce que vous avez commencé de lire dans la précédente.

Et premièrement, je vous assure que ledit sieur de Roberval ne pense aucunement à biaiser, ni à prendre vos paroles autrement que vous ne les avez écrites; car lorsque dans ma lettre j'ai dit par l'angle y s'il y a quelque faute «lie est à moi , parcequ'il l'entend de même que vous, et comme vous l'expliquez dans votre lettre et dans votre livre, c'est-à-dire dans l'espace compris par les lignes qui forment l'angle; et ayant pris votre énonciation en même sens que vous , il m'en a fait voir la démonstration, ainsi que je vous ai dit il y a très long-temps , et même la publia dès Tannée 1637, en l'assemblée de quelques messieurs qui conféroient des mathématiques. Il ne s'est pas aussi arrêté aux figures de votre livre, mais seulement à votre. énonciation; car celle de

la page 33 1 montre évidemment le peu d'intelli'gence de celui à qui vous vous êtes fié pour la tracer ; c'est où le lieu est représenté par une hyperbole, laquelle ne passant par aucun des six points où les quatre lignes peuvent s'entrecouper, coupe néanmoins la ligue TG au point H, fort éloigné dp tous ces six points, qui est une absurdité si manifeste, qu'encore que ledit sieur de ftoberval croie que vous ne vous soyez pas donné la peine de construire ce lieu , il ne doute pas toutefois que vous ne la voyiez incontinent ; de même que celle de la page 3o8, où vous dites que pour trois ou quatre lignes données, les points cherchés se rencontrent tous en unesection conique , ce qui n'est pas véritable; car ils ne se trouvent pas tous dans une de ces sections , quand vous prendriez les deux hyperboles opposées pour $me section ? comme nous faisons avec les ^ncïetis. Et il m'a fait remarquer que cette feikte peut bien avoir été cause d'une autre dans la page 3i3% où vous dites qu'on pourra trouver, une infinité de points par lesquèls on décrira la ligne demandée : car il se pourra feiire que tous ces points ne sarotat pas dans une même ligne, savoir, lorsque quelques uns d'iceux seront dans l'un des espaces qm sont distingués par les quatre lignes données , tet d'auires en un autre espace ; et finalement, il soutient que vous ne sauriez donner aucun cas auquel la

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question ne soit toujours possible, comme vous verrez , si vous désirez que nous «n parlions davantage. Je vous prie de me faire la faveur de croire que je procède eu ceci très franchement, et que je ne vous raanderois pas toutes ces choses, ni n'aurois pas prié M. de Roberval (du-r qu#i j'ai assez de peine à chevir à cause des écoliers qui l'occupent ) de s'expliquer davantage sur celles qui suivent, si ce n'étoit par une estime très particulière qu« je fais de votre personne, car il me suffiront de les savoir.

Il m'a donc dit sur le sujet des racines ( quelques unes desquelles nous appelons positives en-dessus, ou positiva supra, savoir, celles quê vous appelez vraies ; les autres positives en^dessous , ou positiva infra, qui sont celles que vous appelez fausses ; et les autres impossibles , que vous appelez imaginaires ) qu'il y a des équations qui changent alternativement de signe -j- et-—, qui. ne laissent pas d'avoir quelque racine fausse ou positive en-dessous, contre ce que vous avez pris la peine de m'écrire touchant vOs pages 373 et x38o. Et voici une de ces équations qui £$t cubique, en laquelle il n'y a et m peut avoir, par sa génération , aucune racine impossible , mais seulement une positive erides6US> et une positive en-dessous, quoique la plus grande partie de celles de ce degré , c'estnà-

dire cubique , en aient trois, excepté quand il y en a d'impossibles ,

Et pour montrer qu'il n'y en a point d'imaginaire, il ne faut que remarquer qu'en toute équation où il y a de ces racines impossibles, il n'y en a jamais moins de deux , et partant en une équation cubique, où il y auroit deux telles racines impossibles , il n'y en pourrait avoir qu'une positive en-dessus ou en-dessous, ce degré cubique ne pouvant souffrir au plus que trois racines. Donc , puisqu'en l'équation ci-dessus il y a deux racines positives , il ne se peut faire qu'il y en ait de ces impossibles. On peut dire le même de l'équation carrée suivante , qui a trois racines positives en-dessus , et une en-dessous , quoique , suivant votre doctrine, elle n'en dût point avoir endessous ; et si elle en avoit d'impossibles , elle ne pourrait avoir que deux positives au plus ,

la — 16 a f 7 a* — [\c?\ a*.

Pour ce qui regarde votre conchoïde parabolique , voici le calcul que nous en avons fait sur votre figure de la page 4<>4 > que nous ne voulions pas vous envoyer sans y ajouter quelque chose de plus précis ; la lettre a est l'inconnue en la manière de M. Viète.

GÔ, vel MH

latus rectum

L'équation est entre les càrrés IM et MC ensemble d'une part, et le carré IC de l'autre, c'est-àdire , entre les carrps de f-ade^-^ig-^i c d'une part, et AA,de l'autre, et l'équation vient de cette sorte.

— s b* cdga+b* g* a* -f-nM^ir* — ibga*— a

— a 6» c* dç+b* c« a* -4- 4 A<fc*3 — 2 berné

—2 bed* *»— » b* fû?+d* a* +*b*cgu* 4.6» a*.

Dans laquelle équation toutes les espèces sont distinguées avec leurs signes, supposant votre figure comme elle est. Nous l'aurions aussi faite supposant la ligne LH ( que nous appelons G) de l'autre, part vers L; mais nous ne vous l'envoyons pas, pareequ'on reconnoît incontinent qu'elle est inutile en l'équation particulière que vous avez envoyée, qui est celle que nous voulions précisément examiner, où il se trouve qu'en la parabole requise à votr édite équation numérique, savoir, -f- 1296 — 3o6o a f 3664 a* — 1 1 15 as f 2^9 a4 — a 5 a5 f a6 || 0, le côté droit doit être le carré de DE , ou c* en pos espèces , -477 yf f-, la ligne AB, ou D, 12 ± ; IH ouF, I c? ou H% 11 tHtt r et le rectangle sous le côté droit et la ligne HB , pu b in g, est 39 ~.

370 LE ÏTRES.

D'où il est manifeste qu'en cet exemple le centrfe du cercle GN<^ est dans l'espace compris par la conchoïde parabolique QACN, et non pas au dehors; on voit aftissi que ce fcercle ne doit pas couper cette conchoïde de l'autre part de la ligne B vers ÀQ , parceque B étant déjà 12 -f*, et les autres : perpendiculaires de cette part étant plus grandes , exècderoient la plus grande racine 9: il faut donc que lès six points que le cercle donnera ên cette conchoïde soient dans la portion de cette ligne depuis A par C, par N, etc., à l'infini. Voyez, s'il vous plaît, si cela se peut.

Le moyen c|ué notis aVons de l'examiner est indubitable ; car posé , par exemple, qu'on veuille examiner la racine GR (ou peut-être 9) qui soit Comme GC (c'est le même pour toutes les autres), il n'y a qu'à mener la parallèle C!VÏ; et calculer où le ceréle la coupe. Or, pourcequ'en ce cas GD sera connue, on saura où la ligne droite AC prolongéè coupera l'axé DÉ, ét quélle longueur aura la ligne iGC;,5 d'où l'on verra si ËD reste cîe la longueur requise , et si cela arrive à toutes les six racines, posant qu'en tous les six cas lè point à ët rses sembliablès soiént tant' dans la circonférence du cercle que dans celle delà conchoïde, et dans la ligne droite, ce qui n'a autre difficulté que la longueur du calcul de ces triangles. Et bien que vous ayez suivi une autre construction que nous

pour trouver votre côté droit et vos autres lignes , nous les* avons néanmoins trouvés les mêmes par la nôtre , ce qui nous a servi de témoignage que nous ne nous étions pas mépris dans l'opération; et vous verrez aussi par là que ce n'est pas k la vue mai£ par le raisonnement que l'examen fen a été fait*

, Ei> voilà ce me semble assez en matière de géométrie, et pçut-être trop pour votre loisir, s'il vous y folloit employer davantage de temps qu'il n'en faut pour le lire ; et je n'y ajouterai rien de plus, # ce n'est que, pour la démonstration dont vous me parlez touchant M. de Cavendish, ledit sieur de Roberval m'a assuré la lui avoir donnée, et qu'il n'a pas empêché qu'il ne vous l'ait fait voir, n'étant aucunement chiche de ces choses , lorsqu'il croit ,qu'on les recevra de même qu'il les donne. Pour les asymétries, il dit qu'il suffit que vous voyiez comme il y procède, et que sa manière est universelle. Si la vôtre est plus courte et meilleure , vous m'obligerez beaucoup de me l'envoyer; et me permettrez, s'il vous plaît, de finir cette lettre par ce que vous me mandez de M. Toricelli , sùr quoi je crois vous pouvoir entièrement satisfeîre, en ayant eu une particulière connoissance. Il ne s'est fait connoître en France qu'en octobre de l'année i643 ; nous avons l'original de sa lettre de 16^6, dans laquelle il avoue que cette ligne de la

3j2 LETTRES.

rouletteou cycloïdene lui appartient point, et que jusqu'à la mort xïe Galilée, qui fut en 1642, 'tin n*en savoit rien en Italie. Il « dû depuis continuer à écrire qu'il n'avoit aucune connofesance des solides, soit à l'en tour de la base, soit autour de l'axe -de Cette ligne; et ayant quelque temps après trouvé la raison de celui autour de la base à *sofn cylindre , il énonça aussi , mais faussement , la raison decelui autour de Taïe à soti cylindre de même hauteur, savoir, comme de 11 à 18. Ce qui donna sujet à M. de Roberval, en l'examinant, de trouver la véritable, qui est énoncée dans le livre des réflexions du père Merseime; et que ni ledit Toricelli, ni personne autre que lui , non pas même M. de Fermât, n'a jamais pu démontrer. Après cela vous-même, monsieur, avéz écrit une lettre que ledit sieur de Roberval m'a fait voir, de l'année 1 636, dans laquelle vous donnez la démonstration de l'espace compris par cette ligne et sa base, comme d'une chose qu'il a trouvée; j'ai plusieurs lettres de M. de Fermât, de l'année 1 637, qui disent le même, et qui témoignent sa franchise, en ce que s'étant mépris sur le sujet de cette ligne, et d'une énonciation dudit sieur de Roberval ,* qui lui apparut d'abord fausse, il se rétracta généreusement par le courrier suivant. M. Des Argues a imprimé la même chose en 1639, et le père Mersenne en cent endroits; et néanmoins si vous ne

te trouvez pas- bon, ledit sieur de Roberval ne veut pas se l'attribuer, et m'a dit qu'il la laisse à celui qui la pourra prendre; m ayant encore assuré sur ce sujet, ce que je ne vous écrirois point si vous n'aviez intérêt de le savoir, qu'il pourroit vous reprocher ce qu'un anonyme qui a fait quelque , petit écrit d'algèbre vous objecte (quelques uns croient que c'est un père jésuite), que daàs la formation de vos équations vous ne faitçs que redire ce qui a été publié dès l'année i63i par iln Anglois, nommé Hariot, duquel nous n'avons pa$ ici grande oonnoissance, du moins moi, qui suis parfaitement et en vérité ' , etc.

A MADAME ÉLIZABETH

P&IRÇESSI PALATINE,, Ç\C* *-

(Lettre 60 du tome I. )

r Madame ;"<**', Étant arrivé depuis quatre ou cinq jours à Stockholm, lune des premières choses que j'estime

^ * «H. Descàrtes ne reçut cette lettre qu'étant en Suède , par l'entremise de M. Qerselier , et U ne voulut point y répondre. La lettre qu'il écrivît à M. Qerselier à l'occasion de celle-ci est datée du 6 novembre 1649 > ct serai Imprimée dans les fragments* »

* « Descartea , étant arrivé à Stockholm au commencement d'crçtojbre> 1649 , et disant ici qu'il- n'est arrivé que depuis quatre ou cinq jours . j<y frae c4tte lttttf*4a S octobre 1649. Stockholm. » 1

appartenir à mon devoir eist de renouveler les offres de mon très hunlble service à votre altesse v afin qu'elle puisse connoître que le changement d air et de pays ne peut rien changer ni diminuer de ma dévotion et démon zèle. Je n'ai encore eu Vhoivpeur dç; voir la reine que deux fois, m^is ihme semble la connoitre déjà assez pour t oseç di«e qu'elle n'a pas moins de imr jte et plus de vert]u que lai renommée lui çii attribue. Avec la gènérô» ^jlé iet la majesté qui éclatent en toutes fesïa$ti<Wï^ oïl y voit unp douceur et une: bootè qui/ obligent tous, ceux qui aiment la vertu, et qui çtiï Yh<#iïiëM d'approcher* d!élle,id?être.eirts^ son service. Une des premières choses qu'elle m'a demandées a été si je savbïs dé vos nouvelles , et je n'ai pas feint <Je lui &f e fifocgr^cp ft"^ije Pen-t sois de votré altesse; car, remarquant Ta force de son esprit, je lî'aipas cfiifat^que-fcfcla lui donnât aucune jalousie : co^fl^e ^..^'^ssure aussi que votre altesse n'en sauroit avoir de ce que je lui écris librement mes sentiments dèir<fettè ^eine. Elle est extrêmement ^poptée àt i'itiwfe rlas lleUÙes; ipais poureeque Je »e sachs poirï*iq\tLelIè>ditjetie core rien vu de la philosophie*, je puis joger dû gciût qu'eîfe y prends , j riî 1 éVëltt ^ ^bûn;^ ployer du temps, ni par» co»sç(ju€int. f6i«fje .seïiai capable de lui donner ^eï(^^ }ui être utile en q^lqfl&çfyQ^uiG&tQ i^mè&A&t

deur qu'elle a pour la connoissance des lettres l'incite surtout maintenant à cultiver la langue grecque, et à ramasser beaucoup de livres anciens; mais peut-être que cela changera, et quand il ne changerait pas, la vertu que je remarque en cette princesse m'obligera toujours de préférer l'utilité de son service au désir de lui plaire. En sorte que cela ne m'empêchera pas de lui dire franchement njes sentiments ; et s'ils manquent de lui être agréables, ce que je ne pense pas, j'en tirerai au moins cet avantage , que j'aurai satisfait à mou devoir, et que cela me donnera occasion de pouvoir d'autant plus tôt retourner en ma solitude, hors de laquelle il est difficile que je puisse rien avancer en la recherché de la vérité ; et c'est en cela que consiste mon principal bien en cette vie. M. Fr. * a fait trouver bon à sa majesté que je n'aille jamais au château qu'aux heures qu'il lui plaira de' me donner pour avoir l'honneur de lui parler, ainsi je n'aurai pas beaucoup de peine à faire ma cour, et cela s'accommode fort à mon humeur. Après tout néanmoins , encore que j'aie une très grande vénération pour sa majesté , je ne crois pas que rien soit capable de me retenir en ce pays plus longtemps que jusques à l'été prochain : mais je ne puis absolument répondre de l'avenir. Je puis seulement vous assurer que je serai toute ma vie , etc.

1 Freinshemius.

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