AUTRE RÉPLIQUE DE M. DE FERMAT

A M. CLERSELIER.

(Lettre 48 du tome III.)

Du 16 juin i658.

Monsieur,

Nous laissâmes dernièrement la balle de M. Descartes en grande peine ; c'est dans la page 22 de la Dioptrique , où elle faisoit tous ses efforts pour sortir du point B à l'hohnetlr de M.^ Descartes ; mais elle y trouva tontes les issufes fermées en suivant le raisonnement dé cet auteur; et nous ne pouvons même loi donner présentement de secours, si nous ne Saisons changer de biais à sa logique.

Reprenons la figure de la page 1 6 , et supposons que la batte qui va dans la droite AB diminue sa vitesse de moitié en arrivant au point B. Si elle eontmuoit dan & te même milieu , et que le plan CBE

ne lui fût point opposé, elle iroit toujours en ligne droite vers D, avec cette différence pourtant, qu'elle emploierait depuis B jusquesàDle double du temps qu'elle avoit mis depuis À jusques à B. Mais si en supposant la même diminution de vitesseau pointB, nous supposons que le plan CBE impénétrable à la balle se trouve maintenant entre deux et empêche que la balle ne passe au-dessous, je dis qu'elle se réfléchira aussi bien à angles égaux que si la vitesse et le mouvement demeuroientles mêmes; car puisque l'interposition du plan n'empêche que l'une des parties dont la détermination est composée, et que celle de gauche à droite demeure la même , donc la balle avancera autant vers la droite qu'elle eût fait au-dessous , si le plan n'eût pas empêché sa route. Or si le plan CBE ne faisoit point d'obstacle, la balle, qui diminue sa vitesse de moitié au point B , mettroit le double du temps depuis B jusques à D qu'elle avoit mis depuis A jusques à B ; et lorsqu'elle seroit au point D, elle aurait avancé vers la droite jusques en E : elle mettroit donc le double du temps à s'avancer depuis B jusques à E qu'elle avoit fait à s'avancer depuis C jusques àB; et il y a même raison de AB à BC que de BD à BE, parceqne les angles ABC, DBE'sur les deux droites AD et CE sont égaux , et par copséquent - les triangles ABC , DBE semblables. Nous pouvons faire le même raisonnement au-dessus, si du point

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E nous élevons la perpendiculaire EF , et dire que lorsque la balle sera à l'un des points de. la circon* férence , comme F , elle y aura mis le double du temps qu'elle avoit mis depuis A jusques àB , puisque le plan que nous supposons maintenant entre deux ne fait rien de nouveau qu'empêcher la détermination de haut en bas ; et partant la détermination de gauche à droite sera pour lors marquée par le même point £; et par conséquent comme FB sera à EB , ainsi la droite AB sera à BG ; d'où il suit que les angles ABC, FBE seront toujours égaux , de quelque manière et en quelque proportion que la vitesse ou le mouvement changent. Si M. Descartes eût pris garde qu'en quelque manière que la vitesse change au point B la réflexion ne laisse pas de se faire à angles égaux , il n'eût pas été en peine ni ses amis non plus de tirer la balle du point B , où ils l'ont vue malheureusement engagée dans l'exemple de ma dernière lettre; il n'eut pas soutenu que la vitesse venant à changer au point B , la balle ne laisse pas d'avancer vers la droite autant qu'elle faisoit auparavant; il n'eût pas déduit d'un fondement non seulement incertain , mais encore faux , sa proportion des réfractions; et enfin il n'eût pas esquivé dans la figure de la page 22 de déterminer sous quel angle la balle étant au point B se réfléchit vers le point L. Car quoiqu'il paroisse par son discours , et par

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l'inspection tnètùe de la figuré , qu'il a entendu que cette réflexion se fait à angles égaux, il à laissé un petit scrupule dans l'esprit des lecteurs , qui peuvent raisonnablement douter si dans l'exempte de M. Descartes la balle diminué sa vitesse au point B , ou non. Si elle diminue , la réflexion ne se pourroit pas faire k angles égaux en suivant le raisonnement de M. Dëscartes. Que si la balle ne diminue point sa vitesse au point B , y a-t-il rien de plus contraire aux lois invioïàbles de la pure géométrie , qui ne veut point qu'on puisse aller d'un extrême à l'autre éans passer par tous les de-, grés du milieu. Or, M. Descartes et ses amis soutiennent que la balle qui est poussée sur Feau , ou sur la toile , diminue sa vitesse également en toutes les inclinations , lorsqu'elle la traverse , et qùe cette diminution se fait dès le point B. Comment donc peut-on concevoir que, dès le premier angle où elle se réfléchit, àa vîtésse ne diminué point du tout, et qu'il n'en puisse pourtant'être pris aucun plus grand auquel elle diminue d'une certaine quantité qui soit toujours la même ? Ne seroit il pas plus géométrique et plus naturel de soutenir, dans le sentiment de M. Descartes , que la diminution de la vitesse sé fait également ; que cette diminution est la plus grande de toutes dans la chute perpendiculaire d'H vers B, et qu'elle se rend toujours moindre à mesure que tes inclinations va-

rient , jusqu'à ce qu'elle devienne nulle ; ce que M. Descartes a peut-être cru arriver lorsqu'elle se réfléchit. Mais , parceque nous venons de prouver que , soit que la vitesse augmente ou qu'elle diminue au point B, la réflexion ne laisse pàs de se feire à angles égaux , nous ne devons pas nous mettre en peine de rechercher plus soigneusement la conduite secrète dont se sert la nature en affaiblissant la vitesse de la balle ou également ou inégalement à mesure que les inclinations viennent à changer.

Mais que deviendra le raisonnement qui se doit faire au-dessous du plan CBE en la page 20 par exemple? il sera le même que le précédent; car que la vitesse diminue au point B, ou par la rencontre de la toile , ou par quelque autre voie qui vienne d'ailleurs , c'est toute la même chose. Et puisqu'en la figure de la page 20 la balle perce la toile, et qu'au point B la vitesse diminue de moitié, elle ne peut jamais avoir la détermination vers la droite pareille à celle qu'elle auroit s'il n'y a voit point de toile , et que pourtant sa vitesse diminuât de moitié au point B, qu'en continuant toujours sa route dans la droite ABD. Vous répliquerez : mais à ce compte-là , la détermination de haut en bas ne changeroit pas non plus par la rencontre de la toile ; je l'avoue. Et pour ôter et éclaircir pleinement cette difficulté , il ne faut que dire que vous 10. 28

ne tirerez jamais autre chose du raisonnement des mouvements et déterminations composées de M. Descartes, sinon que la réflexion se fait toujours à angles ^gaux , et que la pénétration du second milieu se doit toujours faire en ligne droite; à quoi même se rapporte ce que vous dites dans votre dernier écrit , que la balle a toujours une même aisance à pénétrer le second milieu en toutes sortes d'inclinations. D'où il doit suivre, dans l'application du raisonnement de M. Descartes , qu'en toutes sortes de cas la réflexion se fera à angles égaux , et que la pénétration se fera de même en tous les cas en ligne droite ; le mouvement de dessous en ligne droite suivant les mêmes lois, et répondant justement au mouvement de dessus à angles égaux. Mais il n'y aura donc point de réfraction, me direz-vous? Je réplique que le mouvement de la balle et la réfraction ne se ressemblent guère que par la comparaison imaginaire de M. Descartes; et qu'au pis aller , si le détour de la balle en passant par le second milieu est véritable, il en faut chercher la raison ailleurs que dans la composition des mouvements, qiii ne produira jamais en cette rencontre qu'un cercle dialectique, de quelque biais que vous la preniez ; il faudra examiner les principes secrets dont se sert la nature en produisant la réfraction ; et si celui que j'ai touché dans ma lettre à M. de la Chambre ne vous plaît pas , je souhaite qu'il vous

en vienne un meilleur en l'esprit, et que cette vieille dispute aboutisse enfin à la pleine et entière découverte de la vérité. Je suis dp tout mon cœur , etc.

RÉPONSE DE M. CLERSELIER