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par toutes mes lettres qu ils n'avoient répondu directement à aucune de mes objections , et que de s’amuser à disputer si la ligne EB doit être nommée absolument la plus grande , ou bien seulement sous condition , ce n’est pas prouver que la règle qui enseigne à trouver cette plus grande soit bonne, et enfin que ce n’est pas un témoignage de la bonté de cette règle que de dire qu’elle ne réussit pas en cet exemple , qui est l’unique raison qu’ils en ont donnée. Et pour tous les autres exemples que vous m’avez mandé à diverses fois vous avoir été envoyés par M. de Fermât, encore qu’ils fussent vrais, ce que je suppose , puisque je ne les ai point vus , ils ne peuvent prouver que sa méthode soit généralement bonne, mais seulement quelle réussit en certains cas, ce que je n’ai jamais eu intention de nier, au moins pour sa règle ad inveniendam maximum; car pour la façon dont il cherchoit la tan-' gente de la parabole , sans considérer aucune propriété qui lui fut spécifique, j’ai conclu, comme je devois, que semper fallit ista methodus ; et la glose qu’il y ajoute en cette dernière lettre se rapportant à ce que j’ai dit par mes précédentes devoir y être corrigé, montre assez qu’il avoue tacitement que j’ai eu raison aussi bien en cela qu’au reste , à quoi il ne répond rien du tout; de façon que la civilité m’obligeroit à n’en parler plus , et à ne le point presser davantage sur ce sujet, n’étoit que,

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nonobstant cela, il assure au même lieu que sa méthode est incomparablement plus simple, plus courte et plus aisée que celle dont j’ai usé pour trouver les tangentes. A quoi je suis obligé de répondre que j'ai donné en mon premier écrit et aux suivants des raisons qui montrent le contraire, et que ni lui ni ses défenseurs ny ayant rien du tout répondu , ils les ont assez confirmées par leur silence ; de façon que, si la vérité ne l’offense point , je crois pouvoir dire, sans blasphème, qu il fait tout de même que, si ayant été jeté à terre par quelqu’un et n’ayant pas même pu encore se relever , il se vantoit d’être plus fort et plus vaillant «pic celui qui le tiendroit renversé.

Au reste, encore qu’on reçoive sa règle pour bonne étant corrigée , ce n’est pas à dire qu elle soit si simple ni si aisée que celle dont j’ai usé, si ce n’est qu’on prenne les mots de simpje et aisée pour le même que peu industrieuse / en quoi il est certain qu’elle l’emporte , à cause qu’elle ne suit (pie la façon de prouver qui réduit ad absurilum , comme j’ai averti dès mon premier écrit ; mais si on les prend en un sens contraire, il en faut par même raison juger le contraire. Et pour ce qui est d’être plus courte, l’expérience s'en pourra faire en l’exemple de la tangente que je lui avois proposée, si tant est qu il vous 1 envoie, ainsi qu’il offre de faire ; car moi vous renvoyant

aussi en même temps, vous pourrez voir lequel de nos procédés sera le plus court. Et , afin qu’il n’use plus d’aucune excuse pour ne la point envoyer , vous l’assurerez, s’il vous plaît, que je maintiens toujours , comme devant, que ni cette tangente , ni une infinité d’autres semblables, ne peuvent être trouvées par sa méthode, et qu’il ne doit pas se persuader que je change d’avis lorsque je l’aurai mieux comprise, car je ne crois pas la pouvoir jamais mieux entendre que je fais; et je puis dire avec vérité que je l’ai sue vingt ans devant que d’avoir vu son écrit, sans m’en être jamais estimé beaucoup plus savant , et sans avoir cru qu’elle méritât tant de louanges qu’il lui en donne. Mais je ne crains pas que ceux qui voudront juger de la vérité par les preuves aient aucune peine à connoître lequel des deux l’entend le mieux , ou celui qui l’a imparfaitement proposée, et qui l’admire, ou bien celui qui a remarqué les choses qui dévoient y être ajoutées pour la rendre bonne , et qui n’en fait qu’autant d’état qu’elle mérite.

Je n’ajoute rien davantage, à cause que je ne désire point aussi continuer cette dispute; et si j’ai mis ici ou ailleurs quelque chose qui ne soit pas agréable à M. de Fermât, je le supplie très humblement de m’en excuser, et de considérer que c’est la nécessité de me défendre qui m’y a contraint, et non aucun dessein de lui déplaire. Je le

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supplie aussi de m’excuser de ce que je ne réponds point à ses autres questions ; car, comme je vous ai mandé par mes précédentes , c’est un exercice auquel je renonce entièrement. Outre que, voyant qu’il vous mande que je n’ai pas pleinement satisfait à son théorème des nombres, bien qu’il n’y ait rien à dire , sinon que j’ai négligé de poursuivre à l’expliquer touchant les fractions, après l’avoir expliqué touchant les entiers, à cause qu’il m’a semblé trop facile pour prendre la peine de l’écrire, je crains que je ne pourrois jamais le satisfaire pleinement en aucune chose. Mais pour ce qu’il dit que cela même que j’ai omis comme trop aisé est très difficile, j’en ai voulu faire l’épreuve en la personne du jeune Gillot, lequel, metant venu voir ici depuis deux jours , s’y est rencontré fort à propos pour ce sujet. Je lui ai donc fait voir la réponse que j’avois faite à ce théorème de M. de Fermât , et lui ai demandé si , de ce que j’avois démontré touchant les nombres entiers , il en pourrait déduire le même touchant les rompus , ce qu’il a fait fort aisément , et l’a écrit dans un papier que je vous envoie , afin que vous connoissiez par son style que c’est une personne qui n’a jamais été nourrie aux lettres qui a résolu cette grande difficulté , et je vous jure que je ne lui ai aidé en aucune façon. Je lui ai fait aussi chercher la question que M. de Fermât propose à M. de Sainte-Croix et

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à moi , qui est de trouver trois triangles rectangles desquels les aires étant prises deux à deux composent trois nombres qui soient les côtés d’un triangle rectangle , et il en a trouvé la solution en une infinité de façons ; car , par exemple , il donne le triangle dont les côtés sont-^, ff, et l’aire est 7; puis celui dont les côtés sont -f- , et

l’aire est x!\ ; avec celui dont les côtés sont et l’aire est2 1 . Car ces trois aires , 7 , 14,21, prises deux à deux , font 21, 28 et 35 , qui sont les côtés d’un triangle rectangle semblable à celui dont les côtés sont 3 , 4 , 5 , qui est le plus simple qu’on puisse faire. Il a donné aussi les aires i 5 , 3 o , 45 , lesquelles prises deux à deux composent un autre triangle semblable au précédent. Item, les aires 1 4 , 2 1, 70, qui composent un autre triangle semblable à celui dont les côtés sont 5 , 12, 1 3 ; les aires 22 , 53 , 110 font aussi le semblable , et les aires 3 o , 45 , 1 5 o. Item , les aires 39 , 65 , 1 56 en composent un semblable à celui dont les côtés sont 8 , i 5 , 1 7 ; et les aires 126, 210, 5 o 4 , et les aires 33 o , 55 o , i 320 , font aussi le même; et enfin les aires 35 o, 44°> a 5 io, en composent un semblable à celui dont les côtés sont 7 , 24 et 25 . Je crois que ces neuf exemples suffisent pour montrer qu’il en peut aisément trouver une infinité; c’est pourquoi il n’a point désiré que je vous envoyasse sa règle. Je lui ai dit aussi qu’il cherchât les centres de gravité

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de quelque figure, à cause que M. de Fermât a désiré qu’on m’en proposât quelques uns ; et ayant choisi celui du conoïde , qui a pour base un cercle , et est décrit par une parabole qui tourne autour de son essieu , à cause que vous m’avez mandé en quelqu’une de vos précédentes que le même vous a été envoyé par M.deFermat, il atrouvéque le centre de gravité de ce corps divise son essieu en trois parties égales , en sorte que la distance , depuis ce centre jusques au sommet de ce conoïde, est double de celle qui est depuis ce même centre jusques à la base. N’étoit que Gillot doit partir d’ici demain matin , je lui en ferois encore chercher d’autres , car il les peut trouver tous , autant qu’il est possible, avec assez de facilité. Mais pourcequ’il ira peut-être à Paris dans quelque temps , j’aime mieux qu’il attende jusques à ce qu’il y soit , tant afin de n’être point ici obligé de lui aider , R qu’afin qu’on puisse voir qu’il n’a point en cela

besoin de mon aide.

Je lui ai aussi proposé la quatrième question de M. de Sainte-Croix , qui est de trouver deux nombres, chacun desquels, comme aussi la somme de leur agrégat , ne soit que de trois tétragones , à cause que vous me mandez que c’est celle qui a semblé à M. de Fermât la plus difficile ; mais il 11 ’a su non plus que moi y trouver si grandé difficulté , ni juger qu’elle se doive entendre eu un autre sens

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que celui auquel je l’ai résolue, et auquel il pourroit aussi la résoudre en d’autres façons, si ce n’est peutêtre qu’on entende que chacun des nombres demandés soit tellement composé de trois tétragones qu’il ne puisse être divisé sans fraction en trois autres tétragones ; mais encore en ce sens-là il la peut aisément résoudre , et en une infinité de façons , comme il a montré par les neuf exemples suivants, chacun desquels y satisfait , 3 , 19 , 22 ; et 3 , 45 » 46 ; et 6 , 24 , 3 o ; et 6 , 42 , 4 ® 5 et 1 1 1 • 9 » 3 o ; et 1 1 , 24 , 35 ; et 1 1 , 35 , 46 ; et 1 1 , 46 , 57 ; et 22 , 35 , 57 : car on ne peut diviser 22 qu’en trois tétragones , qui sont 9, 9 , 4 ; ni 35 qu’en trois autres , qui sont 25,9, 1 ; ni enfin leur agrégat 57 qu’en trois , qui sont 49 > 4 » 4 » e t ainsi des autres.

Je passe maintenant à la Géostatique , laquelle j’ai enfin reçue ; et bien que ce soit un écrit dont les fautes sont si grossières qu’elles ne saur oient surprendre personne , et qui , pour ce sujet , doivent être plutôt méprisées que contredites , toutefois, puisque vous désirez en savoir mon opinion , je la mettrai ici en peu de mots.

Je 11’ai trouvé en tout ce beau livre in-folio qu’une seule proposition , bien que l’auteur en compte treize : car pour les trois premières et la dixième ce ne sont que des ehoses de géométrie si faciles et si communes qu’on 11e sauroit entendre les éléments d’Euelide sans les savoir ; les

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5 , 6 , 7, 8 , 9 et 1 1 * ne sont que des suites ou des répétitions de la quatrième, lesquelles ne peuvent être vraies si elleme l’est ; pour la 7 , la 1 2 et la 1 3 , il est vrai qu’elles ne dépendent pas ainsi de cette quatrième , mais pourceque l’auteur s’en sert pour tâcher de les prouver, et même qu’il ne se sert pour cela que d’elle seule , et que d’ailleurs elles 11e sont , non plus que les autres , d’aucune importance, elles nedoivent pointêtre comptées. Si bien qu’il ne reste que la quatrième toute seule à considérer, et elle a déjà été si bien réfutée par M. de la Brosse , qu’il n’est pas besoin d’y rien ajouter ; car, de cinq ou six fautes qu'il y remarque, la moindre est suffisante pour faire voir que le raisonnement de cet auteur ne vaut rien du tout. Et j’eus grand tort l’année passée, en voyant cette réfutation de M. de la Brosse , sans avoir vu le livre qu’il réfutoit, de ne la pas approuver. Mais la seule raison qui m’en empêcha fut que je 11e pouvois m’imaginer que les choses qu’il reprenoit fussent si absurdes qu’il les représentoit , et je me persuadois qu’il exagéroit seulement quelques omissions ou fautes commises par inadvertance, et qu’il ne touchoit point aux principales raisons de l’auteur; mais je vois maintenant que ces principales raisons , que je supjtosois devoir être en son beau livre, 11e s’y trouvent point. Et bien que j’aie vu beaucoup de quadratures du cercle , de mouve-

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inents perpétuels , et d’autres telles démonstrations prétendues qui étoient fausses , je puis toutefois dire avec vérité que je n’ai jamais vu tant d’erreurs jointes ensemble en une seule proposition. Dans les paralogismes des autres, on a coutume de ne rien rencontrer à l’abord qui ne semble vrai , en sorte qu’on a de la peine à remarquer , entre beaucoup de vérités , quelque petit mélange de fausseté qui est cause que la conclusion n’est pas vraie; mais ici , tout au contraire, on a de la peine à remarquer aucune vérité sur laquelle cet auteur ait appuyé son raisonnement. Et je ne saurois deviner autre chose qui lui ait donné occasion d’imaginer ce qu’il propose, sinon qu’il s’est équivoqué sur le mot de centre, et qu’ajant ouï nommer le centre d’une balance, aussi bien que le centre de la terre , il s’est figuré que ce qui étoit vrai au regard de l’un le devoit être aussi au regard de l’autre , et par conséquent que , comme en la balance FGD', le poids D pèse d’autant moins que le poids F qu’il est moins éloigné que lui du centre G, ainsi, en général dans le monde, chaque corps pèse d’autant moins ou d’autant plus qu’il est plus proche ou plus éloigné du centre de la terre; et cette vision lui a semblé si belle, qu’il s’est sans doute imaginé quelle est vraie. Mais , afin de la faire mieux recevoir par les autres , il a voulu

* Figure 14.

l’habiller à la guise d’une démonstration mathématique, et à cet effet il a choisi cette figure , en laquelle À' représente le centre du monde, G celui d’une balance, dont GF et GD sont les deux bras; puis, mettant un poids au point F, et nn autre .attaché au point T), qui pend plus bas jusques au point E, il s’e^t efforcé de prouver que ce poids E pèse d’autant moins qu’il est plus proche du centre de la terre. En quoi il a commis les fautes suivantes :

La première est qu’encore qu’il fût vrai qu’un poids ainsi posé pesât moins au regard des autres poids qui lui seroient opposés dans cette balance , il ne s’ensuit aucunement pour cela qu’il dût peser moins étant considéré tout seul hors de la balance.

La seconde est qu’il se sert de ce qu’ont dit Archimède , Pappus , etc. , touchant le centre de gravité, à savoir que celui de deux corps pesants joints ensemble divise la ligne droite qui conjoint leurs centres en raison réciproque de leurs pesanteurs , bien que cela ne puisse être vrai , ni n’ait jamais été pris poiflr tel par Archimède , ni par aucun autre qui ait tant soit peu d’intelligence des mécaniques , qu’en cas qu’on suppose que les corps pesants tendent en bas par des lignes parallèles et sans s’incliner vers un même point; au lieu que, pour son dessein, il faut supposer très expressément le contraire , à cause que tout son raison-

’ Figure 1 S.

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nemenl n'est fondé que sur la considération du centre de la terre. Et il a rendu cette faute inexcusable, en ce qu’il a tâché de l’excuser , sans apporter pour cela d’autre raison , sinon qu’il nie qif Archimède ait supposé dans les livres De (Pf/uijwtuleranlibus que les corps pesants descendent par des lignes parallèles; car il montre par là qu’il n’entend rien ni dans Archimède , ni en général dans les mécaniques.

Sa troisième faute paroît en ce que, si sa proposition étoit vraie , ce qu’il dit du centre de gravité seroit faux ; et ainsi il ne peut aucunement s’en servir pour la prouver: car, par exemple’, si les poids F et I) sont égaux , leur commun centre de gravité sera, selon Archimède, au point G , qui divise la ligne FDen parties égales; au lieu que, selon cet auteur , quand le poids D est plus proche du centre de la terre que le poids F, ce centre de gravité doit être entre F et G , et quand il en est plus éloigné , ce centre doit être entre G et D.

Sa quatrième faute consiste en ce qu’ayant sup posé le poids I être au poids B 1 , lorsqu’ils sont à pareille distance du centre de la terre, comme la ligne EH est à FH , il ne les met pas à pareille distance, mais à une distance fort diverse, à savoir l’un au point F et l’autre au point E ; puis il sup-

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pose que le point II est leur centre de gravité , tout de même que s’ils étoient à égale distance. Et ainsi , pour prouver que ce changement de distance change la pesanteur, il suppose qu’il ne la change point , et se contrarie à soi-même.

La cinquième est qu’il appuie tout son raisonnement sur ce que le point F est en sa figure plus éloigné du centre de la terre A que n’est le point E, en sorte que si on l’en suppose plus proche, et qu’on reçoive tout le reste de son discours comme vrai , on en conclura tout le contraire de ce qu’il conclut; et toutefois, en construisant sa figure, il laisse expressément la liberté d’y faire la ligne AF de telle grandeur qu’on voudra ; ce que M. de la Brosse a fait voir fort clairement et fort véritablement par ses quatre figures diverses.

La sixième faute est que , faisant concevoir la. ligne FD comme une balance dont le centre est G , et mettant un poids au point F et un autre au point E qui pend du point D , il cherche le centre de gravité de ces deux poids en la ligne EF, comme s’ils étoient simplement joints, ensemble par cette ligne. En quoi il témoigne deux ignorances très grandes ; cai;, en premier lieu, le poids qui pend du point D jusques à E, en sorte que l’angle GDE peut changer à mesure que la balance incline de part ou d’autre , 11e pèse en cette balance qu’autant qu’il tire le point D, et ainsi n’est op-

LETTRES. ~t)

posé au point F que suivant la ligne FD,et non suivant la ligue FE. Puis en second lieu, bien qu’il supposât que la ligne DE fut fermement jointe à la ligne GD , en sorte que l’angle GDE ne put se changer toutefois â cause du point G , qui, étant le centre de la balance, doit être fixe, le centre de gravité des deux poids, l’un en F et l’autre en E , doit être tout autre que s’ils n etoient point considérés en une balance ; et il montre en ceci qu’il n’a pas plus de connoissance de la statique dont il écrit qu’un aveugle en a des couleurs.

Au reste , après avoir ainsi fort vaillamment démontré sa proposition, il tâche à la confirmer par des autorités dont l’usage est ridicule en telles matières, et qui étant sans doute fausses et désavouées par ceux qu’il cite, lesquels sont encore vivants, il fait voir par là qu’on ne doit pas ajouter beaucoup de foi à ce qu’il écrit.

Puis ensuite de cela, comme pour répondre aux objections qu’on lui peut faire , il entreprend de réfuter l’opinion de ceux qui trouvent que la pesanteur des corps qui sont dans une balance doit se mesurer par la grandeur des perpendiculaires tirées du centre de cette balance vers les lignes suivant lesquelles ces poids tendent à descendre , et ce par trois diverses absurdités qu’il en déduit , mais qui diffèrent autant l’dne de l’autre qu’un bonnet blanc diffère d’un blanc bonnet.

ÏW>V

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Car la première est que les poids B et G étant soutenus par le point D ( en la figure de la page i i ) scroient en équilibre ’^la seconde qu’étant soutenus par le point E, ils ne seront pas en équilibre , et la troisième qu’étant ainsi soutenus par le point E , le poids qui seroit vers B seroit plus pesant que l’autre. Or, pour prouver que cette conséquence ainsi déguisée en trois plats est absurde, il n’allègue rien du tout que la supposition d’Archimède , de Pappus, etc. , touchant le centre de gravité, laquelle il déguise aussi entrois plats, et qui , comme j’ai déjà dit , ne peut être vraie qu’en tant qu’on suppose que les corps pesants tendent en bas par des lignes parallèles , au lieu que toute cette question n’est fondée que sur ce qu’ils n’y tendent pas, et même tout ce qu’il cite là d’Archimède et de Pappus ne peut être vrai que sa prétendue démonstration ne soit fausse.

Ainsi je puis dire, pour conclusion, que tout ce que contient ce livre de Géostatique est si peu de chose, que je m’étonne que des honnêtes gens aient jamais daigné prendre la peine de le lire, et j’aurois honte de celle que j’ai prise d’en mettre ici mon sentiment , si je ne l’avois fait à votre prière. Je sais bien que vous ne me l’avez aussi demandé qu’à dessein de me faire dire mon opinion de la matière qu'il traite, et que vous ne vous souciez pas beaucoup de la façon dont il la traite, mais

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c’est un sujet qui mérite bien que j’y emploie quelqu’une de mes meilleures heures, au lieu que je n’en ai donné à celui-ci qu’une de celles que je voulois perdre. C’est pourquoi j’aime mieux vous l’envoyer séparément au prochain voyage. Aussi bien ai-je encore ici beaucoup d’autres choses à vous écrire.