RÉPONSE DU SIEUR GILLOT

AU THÉORÈME* AUQUEL M. N. A JUGÉ QUE JE n’aVOIS PAS SATISFAIT.

Ayant été démontré qu’aucun des nombres qui sont d’une unité moindres que ceux qui sont divisibles par 4 ne peut être composé de deux nombres carrés entiers, il reste à prouver que le même ne peut être composé de deux nombres carrés rompus. Et pour ce faire , il faut considérer que, s’il étoit possible, il faudroit que tant les numérateurs que les nominateurs de ces fract ions fussent des nombres carrés, et par conséquent aussi le nominateur de leur somme; et par même raison il faudroit aussi que le numérateur de cette somme fut composé de deux nombres carrés : or cela est impossible , car le nominateur de cette somme étant un nom-

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hre carré, il sera impair ou pair; s’il est impair, il excédera d’une unité un nombre divisible par 4; et son numérateur n’étant autre chose que le produit de ce nominateur multiplié par le nombre proposé, lequel par l’hypothèse excède de 3 un nombre divisible par 4> il s’ensuit nécessairement que ce numérateur ou produit excède aussi de 3 un nombre divisible par 4> et par conséquent il ne peut être composé de deux nombres carrés. Que si ce nominateur est un nombre pair , étant carré, il sera divisible par 4 » et par conséquent son numérateur le sera aussi; et s’il est composé de deux nombres carrés , ils seront tous deux divisibles par 4-' cela étant ainsi posé, on imaginera ces carrés être divisés par 4 , et on mettra pour la somme de leurs quotients, le quotient de leur somme, qui sera nécessairement composé de deux carrés, si ledit numérateur l’étoit, etp ., jusques à ce que le derniêr quotient du nominateur soit un nombre impair. Or il appert clairement de ce que nous venons de dire, que si le premier numérateur, qu’on a commencé à diviser, étoit composé de deux nombres carrés, le numérateur de ce nombre impair trouvé le seroit aussi , mais nous avons prouvé que cela étoit impossible , etc. On pourra tout de même démontrer qu’aucun nombre qui sera d’une unité moindre qu’un nombre divisible par 8 ne pourra être composé d’un , ni de deux, ni

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de trois nombres carrés rompus , sans qu’il faille rien changer au diseours précédent que quelques

caractères et choses semblables.