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bien admirable qu’il veuille que j’aie trouvé en sa règle , il y a six mois , ce qu’il n’y a changé que depuis trois jours; et. que j’aie failli, de ce que je n’y ai pas corrigé une chose qui ne la rend nullement fausse : car, comme il dit, étant prise en ce sens-là , elle réussit aux questions aisées , bien quelle ne réussisse pas aux autres , ce qui vient de ce qu’elle ne leur peut être appliquée et s’accorde entièrement avec ce que j’en avois écrit. Et , afin qu’il sache que son nouveau biais ne s’étend pas si loin qu’il s’imagine, qu’il tâche , s’il lui plaît, de s’en servir à trouver la tangente d’une ligne courbe qui a cette propriété, que l’agrégat des quatre lignes tirées de chacun de ses points vers quatre autres points donnés , comme vers A,B,C,D, est toujours égal à une ligne donnée, et je m’assure qu’il ne s’y trouvera pas moins empêché que s’il se servoit du premier, bien qu’elle soit incomparablement moins composée que son X'° -j- BX 9 ,etc. , qu’il allègue. Je m’étonne aussi de ce qu’il s’attribue si -particulièrement cette méthode , qu’il semble , à l’en ouïr parler , qu’elle soit quelque grand secret qui n’ait jamais pu être trouvé que de lui seul ; car , à le bien prendre , il n’y a rien du tout en elle qu’il se puisse approprier à meilleur droit que le feu et l’eau et les grands chemins , sinon les défectuosités avec lesquelles il l’a proposée. En tout ce qu’elle a de bon,

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elle est si simple et si facile à rencontrer , qu’il n’y a personne qui se mêle de l’analyse qui ne» soit capable , pourvu seulement qu’on lui propose ou bien qu’il se propose lui-même par hasard certaines questions qui y conduisent; et s’il y en a quelques uns qui puissent y prétendre plus de droit que les autres , ce doivent sans doute être ceux qui en savent les fondements et les raisons, du nombre desquels je n’ai pu connoître jusques ici qu’il fût. Je n’ajoute point que je m’étonne de ce qu’il continue à vouloir soutenir les objections qu’il a ci-devant faites contre ma Dioptrique ; car je m’assure qu’il y en a plusieurs autres qui s’en étonnent aussi bien que moi , et je serois marri de le détourner d’un exercice que je sais ne me pouvoir être qu’avantageux. Mais j’admire surtout le raisonnement dont il use à la fin de sa lettre, dont voici les propres mots : Pour ce que je vois que je n’ai rien encore proposé à quoi son écolier n’ait satisfait, comme il vous écrit , il est juste qu’il travaille à son tour aux propositions suivantes. Et ensuite de ces mots il me propose quatre problèmes auxquels je réponds , qu’encore même qu’ils valussent à peine qu’on les cherchât , ce que je n’ai nullement jugé en passant les yeux par-dessus, ou encore que je les susse déjà , ce que je ne voudrais pas dire être Vrai, de peur qu’on pensât que je voulusse tirer vanité de si peu de chose; et , en-

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fin , encore que je n’eusse point d’autre meilleur exercice pour me divertir ,je ne voudrois pas toutefois lui en envoyer les solutions , de peur de sembler par là à lui accorder qu’il est juste que j’y travaille , et donner ainsi le pouvoir de me faire perdre du temps à tous ceux qui en peuvent avoir envie. Au reste , je ne laisserai pas, s’il lui plaît, d’être toujours son très humble serviteur , aussi bien qu’à ceux qui ont tâché de le défendre , et je me promets qu’enfin la force de la vérité les convertira *.

■ « La suite de cette lettre est écrite à la main : »

Vous m'avez aussi envoyé quelques objections contre ma Géométrie ,san s me nommer leur auteur , auxquelles je 'vais répondre. Le premier est contre la page 3oi , où, après avoir dit qu’il faut chercher un binôme par lequel je divise la somme d’une équation cubique , j’ajoute que , ou bien la quantité connue de ce binôme est la racine cherchée , ou bien l’équation étant divisée par lui, je réduis à deux dimensions , en sorte qu’on en peut trouver après la racinp plus aisément. Et il reprend cet ou bien* pource, dit-il r que cette quantité connue sera toujours l’une des 'valeurs de la racine ou réelle ou imaginaire , au lieu de quoi il doit dire ou 'vraie ou fausse , car cette quantité connue ne peut jamais être du nombre de celles que fai nom mées imaginaires ; mais je laisse passer cela très 'volontiers , et il me suffit de l’avertir que je parle seulement ici de la racine cherchée, laquelle ne peut jam ais être imaginaire ni fausse , et même, entre celles qui sont vraies ou réelles , il n’y en a ordinairement qu’une qui soit la cherchée ; de façon \ que j’aurois grandement failli si j’avois oublié ce ou bien qu’il reprend. Et j’admire fort son raisonnement en sa seconde instance , etc . , etc . , ou il dit que si par le mot de racine j’entends seulement la valeur réelle , etc. » il ne laisse pas d’y avoir à redire , d’autant qu’il arrive souvent qu après cette réduction il n’y a plus rien à faire. Car c’est /tour cela même que fai mis la disjonctivc , disant que , ou bien la quantité connue en la quan -

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tité cherchée , ou bien , etc., c'est-à-dire que , ou bien il n'y a plus rien à faire 9 ou bien il y faut encore faire telle chose. Pour sa troisième instance , qui est que cette règle procède à tâtons , je réponds que ce n'est nullement procéder à tâtons que d'examiner par ordre diverses choses , lorsqu'on les connoit toutes comme on fait ici, et que le nombre en est déterminé comme il est ici, encore meme qu’il y en eut mille, au lieu qu’il n'arrive ici que fort rarement qu'il y en ait plus de trois ou quatre , principalement aux questions qui se cherchent par lettres ou par nombres, et il doit considère / que j'ai écrit une géométrie et non une arithmétique; outre que les -règles que l'on peut donner , pour l’exemple, d’examiner toutes les quantités auxquelles se divise le dernier terme , sont de si peu d'usage et si aisées à trou • ver, que j'ai négligé de les écrire.

La quatrième et dernière instance est que la règle par laquelle je résous les équations cubiques n'est pas générale, à cause que , pour les appliquer aux équations de carré , il les faut réduire aux cubiques , et qu'elle ne sert point pour celles qui montent à plus de dimensions. Mais je n'avois jamais oui dire qu'une règle ne fût pas générale poureequ' elle ne s'étendait pas à des choses auxquelles on n* avait point eu dessein de V appliquer , et je n ai prétendu appliquer celle dont il est ici question qu'aux équations cubiques toutes seules , car j'en ai donné une autre pour le carré du carré. Et enfin, en la page 389 , je mets en cinq ou six lignes la règle générale qui peut servir pour toutes les autres équations, non point à dessein de V enseigner à un chacun , car il m'eût fallu faire un trop gros livre si f eusse voulu expliquer assez au long pour cet effet tout ce que j'avois à y mettre , et f ai mieux aimé être succinct en plusieurs endroits , pour donner moyen à ceux qui auront le plus d'esprit d'y trouver quelque chose de plus que les autres.

Pour l’herbe sensitive que vous me mandez avoir vue chez M. de la Brosse, je n'y trouve rien d’étrange que la rareté ; car, après avoir décrit le mouvement du cœur d'une façon qui pourroit aussi bien convenir à une plante qu'à un animal si les organes s'y trouvaient de même, je n'ai nulle difficulté à concevoir comment le mouvement de cette plante peut se faire ; mais je ne voudrais pas entreprendre de dire déterminement comment il se fait, si je ne Pavois vue et examinée auparavant.

Il faudrait aussi que je visse une salle dont vous me parlez pour juger de l'écho qui s'y rencontre ; mais il est bien certain qu'une meme voix peut être plusieurs fois repoussée par les mêmes corps, ainsi qu’une balle

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peut bricoler plusieurs fois contre une même muraille . Pour cette 'voûte de porte t dont 'vous dites que V écho répond a certains sons plutôt qu'aux autres , cela vient sans doute de ce que tout son corps est disposé à branler d'une vitesse qui s'accorde avec la vitesse des tremblements d'air qui causent ce ton , et non point avec celle des autres. A propos de quoi fè vous dirai qu'il y a un aveugle à Utrecht , fort renommé pour la musique , qui joue ordinairement sur les cloches de cette haute tour dont vous désirez avoir les mesures , lequel j'ai vu faire rendre cinq ou six divers sons à chacune des plus grosses de ces cloches sans les toucher , approchant seulement sa bouche de leur bord et y entonnant tout bassement le même son qu'il leur vouloit faire imiter . Mais il observoit que c'étoit toujours ou le son naturel de la cloche , ou son octave , ou la douzième ; car autrement elle ne lui eut pas répondu , et elle lui ré pondoit toujours fort distinctement , en forme d'un écho , lequel duroit assez long-temps après sa voix. Mais je rencontrai ici dernièrement par hasard un autre écho que vous trouverez peut-être assez rare : car , soit qu'on parlât haut ou bas , ou qu'on frappât des mains , il rendoit toujours un même son , qui étoit fort clair et fort aigu , semblable à celui de la voix d'un poulet , nonobstant que ceux qu'on droit en fussent fort différents; en sorte que je pensois du commencement qu'il y eût quelque oiseau caché dans les herbes où, je l* entendais ; mais j'aperçus aussitôt après que c'étoit un écho qui se formait dans ces herbes , lesquelles étant des corps fort petits et déliés , à comparaison du sommet du rocher où l'écho a coutume de se former , étant frappés par la voix , jetoient leurs tours et retours beaucoup plus fréquents , et ainsi donnoient un son plus aigu ; car cet écho étoit dans un coin du jardin où quantité de vesces et autres herbes étoient montées à peine à la hauteur d'un homme ou davantage , et la plupart de ces herbes étant coupées , l'écho a presque d'autant cessé *. Je suis , etc.

* • La suite de celle lettre est dans la page 4o4 du tome III , et commence la lettre 7 o’de ce • troisième volume. M.~ Hexrxi •

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• AU 1t. P. MERSENNE ».

(Lettre 66 du tome III '.)

Mon REVEREND PÈRE ,

J’ai été très aise de voir ce que M. de Sainte- Croix vous a écrit touchant la réponse que j’avois faite à ses questions , et j’y apprends plusieurs considérations touchant les nombres, dont je n’avois point ouï parler, comme, entre autres, la différence qu’il ,met entre le milieu et la moitié m’étoit inconnue, et voulant faire distinction de ces deux mots , je n’aurois pas pris celui de milieu pour l’une des parties de la quantité , mais seulement pour l’endroit où se fait la séparation des moitiés. Je sais bien que la règle que j’ai donnée pour résoudre sa première question eût été meilleure , si j’y eusse ajouté quelque moyen pour déterminer tout d’un coup les trigones utiles , sans faire examiner de suite tous les impairs. Mais il arrive souvent aux questions de nombres qu’on ne les peut

pas si entièrement déterminer par règle qu’il n’y

' « Cette lettre 66 dn 3 e vol. est la 16 e de M. de la Hire, datée fixe- » ment le *27 juillet i638. Elle est toute bouleversée, mais il y a peu » d'augmentation. »

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reste quelque chose à chercher par induction. Comme en la règle que donne Euclide pour trouver les nombres parfaits, il fait examiner tous les nombres qui suivent de l’unité en proportion double , jusques à ce qu’on en trouve un duquel ôtant l’unité le reste soit un nombre premier; au lieu qu’il devoit donner un moyen pour excepter tous ceux qui , étant diminués d’une unité , ne deviennent pas nombres premiers. Par exemple, il en .devoit excepter tous les nombres qui suivent de 4 en proportion quadruple , comme 1 6 , 64 , a 56 , etc. Car il est aisé à démontrer qu’étant diminués d’une unité , ils sont nécessairement divisibles par 3 , et tous ceux qui suivent de 8 en proportion octuple , comme 64 , 5 1 a , 4096, etc. Car, étant diminués d’une unité , ils sont nécessairement divisibles par 7, et ainsi ceux qui suivent de 3 a, de 128, etc. Mais je ne crois pas qu’il soit si aisé de donner une règle pour trouver les trigones utiles à la question proposée , sans qu’on en doive examiner aussi plusieurs inutiles.

Pour la seconde question, il y a, ce me semble, plus d’industrie à la résoudre en faisant que les côtés des trigones soient des nombres rompus, qu’autrement , à cause qu’on 11e saurait y parvenir à tâtons, ainsi qu’on peut faire lorsqu’on les suppose être entiers. Outre que les nombres qui servent à la résoudre en fractions , servent aussi toujours

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à la résoudre en entiers lorsqu’ils-sont multipliés, et je ne comprends point du tout ee que M. de Sainte-Croix entend ici par les côtés primitifs des trirectangles ; car si c’étoit qu’ils ne dussent pas être divisibles par aucun nombre , son exemple ne satisferoit pas à la question , vu que 210 , 720 et 750 étant divisés par 3o, produisent 7, 24, 25, qui sont les côtés primitifs du tri rectangle.

Pour la troisième question, je crois y avoir satisfait, en démontrant qu’elle est impossible; et ainsi il ne reste que la quatrième, en laquelle je n’eusse jamais deviné qu’il falloit trouver un nombre composé de trois carrés , à l’exclusion de 4 ; car, ne cachant point la remarque de M. Bachet sur ce sujet , je ne voyois pas plus de raison d’en exclure les quatre carrés que les cinq ou les six , ou plus grand nombre; mais , si je l’eusse sue, j’aurois répondu qu’en ce sens là cette question ne peut être résolue par d’autres nombres que par 3, 3, 6; 3 , 1 1, 14, et 3, 21, 24; car, supposant le théorème de M. de Sainte-Croix, à savoir, que tout nombre se peut réduire à trois trigones, à quatre carrés, à cinq pentagones , etc. , ou, à moins , je crois pouvoir démontrer que tous les nombres divisibles en trois carrés qui sont au-delà de 33, peuvent aussi être divisés en quatre carrés, excepté seulement ceux qui se produisent de 6 ou de 14, multipliés par 4, comme 24,96, 384, '236, etc., et 56, 224, 896,

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3584 5 etc., lesquels ne suffisent point pour cette question , à cause que l’agrégat de deux tels nombres ne sauroit jamais être égal à un autre de même nature.

Mais pour ce théorème , qui est sans doute l’un des plus beaux qu’on puisse trouver touchant les nombres, je n’en sais point la démonstration, et je la juge si difficile, que je n’ose entreprendre de la chercher. Au reste, je suis très obligé à M. Sainte- Croix du favorable jugement' qu’il lui plaît faire de moi, et je crois avoir très bien employé le temps que j’ai été occupé en ces questions , si j’ai pu acquérir par ce moyen quelque part en ses bonnes grâces , auxquelles je vous prie de me conserver* en l’assurant de mon très humble service.

Je passe à la démonstration de la roulette, que je ne vous^avois pas ci-devant envoyée', comme une chose d’aucune valeur, mais seulement afin de faire voir à cèux qui en font grand bruit qu’elle est très facile ; et jeJTaurois écrite fort succinctement , tant afin d’épargner le temps , que parceque je pensois qu’ils ne manqueroient pas de la reconnoître pour bonne sitôt qu’ils en verroient les premiers mots ; mais , puisque j’apprends qu’ils la nient, je l’éclâircirai ‘ ici en telle façon qu’il sera facile à un chacun d’en juger.

' « Voyez la page 384 de la lettre 68 de ce vol., qui , étant écrite le a 7 n mai i638, est antérieure à celle-ci , écrite du 37 juillet i638.»

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Soit AkFGC la moitiéde la lignecourbe que décrit le point a de la roulette anopb ' , pendant que. cette roulette se meut sur la ligne droite AB , en sorte que cette ligue AB est égale à la moitié de sa circonférence, et la perpendiculaire CB est égale à son diamètre. Je mène les perpendiculaires OE et DF, qui divisent AB et CB, en parties égales; je mène aussi la ligne droite AC qui ferme le triangle ABC; . puis je considère que le point O de la roulette est ajusté sur le point O de la ligue AB, son centre e se trouve sur le point E, ou AC et DI s entrecoupent; à cause que CD étant la moitié de CB, DE doit être égale à la moitié de B A , c’est-à-dire à BO.

Je considère aussi que son demi-diamètre ea se trouve alors appliqué sur la ligne EF , qui par conséquent lui est égale, à cause que la ligne AO étant égale au quart de la circonférence de cette roulette, l’angle aeo doit être droit ainsi qu’est l’angle FEO , et enfin AE est égal à EC. De plus, ayant pris les points N et P dans la ligne AB, des deux côtés du point O, autant éloignés de ce point O l’un que l’autre, et à telle distance de lui qu’on voudra, pourvu que ce soit entre les points A et B; puis ayant pris aussi dans la roulette les points n et p qui leur correspondent , en sorte que l’arc an soit égal à l’arc pb, et aussi aux droites AN et PB, je tire les diamètres ne, pe, avec les perpendicu-

• Figure

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