I-ETTHES

laires ay, ax; et je considère que le point n de la roulette étant appliqué sur le point N de la droite AB, son point a se trouve joint au point de la cçurbe marqué k , qui est tel , que tirant kM parallèle à BA , cette ligne kM est égale à NB plus ay,

( car si on droit NRQ parallèle à BC, joignant kQ, les triangles kQR, aey seroient égaux et semblables, et partant ay, kR seroient égales), et que MD (ou QR) ' est égal à ye.

Je considère de même que le point p 1 de la roulette, étant appliqué sur le point P de la droite AB, son point a touche la courbe au point G, qui est tel que la ligne GI est égale à PB plus af, et que ID est égale à fe. Si bien que les deux lignes en- . semble GI plus kM sont égales à la ligne AB plus la ligne az; car il est manifeste que af-fay sont ensemble égales à la toute az ; et que NB plus PB sont égales à la toute AB, vu que AN est égalera PB. Outre cela, je considère que H étant le point où GI coupe AC, et L celui où kM coupe la même AC, les lignes LM etHI sont ensemble égales à la toute AB , car MB est égale à CI ; et si on mène LV, parallèle à MB, elle sera aussi égale à CI, et par conséquent HI égale à AY : car les triangles AVL et IIIC sont égaux et semblables, et LM est

' «* Ces deux, parenthèses n’étoient point dans le manuscrit de M. de » la Hire. »

* Figure 2 5.

Il6 LETTRES.

aussi égale à VB. Or, puisque LM plus HI sont égalés à la ligne AB, et que kM plus GI sont égales à la même AB plus la ligne az, il est évident que les deux restes kL et GH sont ensemble égaux à cette ligne az, laquelle est autant éloignée du centre de la roulette e que kL et GH le sont du point E , c’est-à-dire de la ligne EF. Et pourceque les points N et P ont été pris à direction, excepté qu’ils sont également éloignés du point O (ce qui est cause que les lignes kL et GII sont aussi egalement, éloignées de la ligne EF), ceci se doit entendre généralement de toutes les deux lignes menées entre la droite AC et la courbe AFC, qui sont parallèles à EF, et également distantes d’elles, 1 une dun côte, l’autre de l’autre , a savoir , qu elles sont ensemble égales à la ligne droite inscrite dans la roulette , et autant éloignée de son centre que ces lignes le sont du point E , ou bien de la ligne FE.

D’où il suit que si sur une même ligne droite, comme a 6pw, on décrit le demi-cercle aSp, égal à la moitié de la roulette, et la figure <pyx^w, dont la partie (pyx6e soit égale et semblable à FGCHE, et l’autre partie soit égale et semblable à ELAkF (car AE étant égal à EC, et l’angle AEF à 1 angle DEC, il est évident que ces deux parties défigurés peuvent aussi être jointes), la base <po> sera égale à a fi , et la hauteur de la figure <pxw égale à celle du demi-cercle a5(î ; et outre cela tous les segments des

Il 7

mêmes lignes droites parallèles à la base aftyw , qui seront compris l’un dans la figttfre <pxw, l’autre dans le demi-cercle , seront égaux l’un à l’autre , comme yw sera égal à (xv, 4> 5, à 2,3, 5, 9, à 6, 7, et ainsi des autres.

Ce qui prouve assez que l’espace <pxw est égal au demi - cercle a 8 (î , pour ceux qui savent que généralement lorsque deux figures ont même base et même hauteur, et que toutes les lignes droites parallèles à leurs bases qui s’inscrivent en l’une sont égales à celles qui s’inscrivent en l’autre à pareilles distances, elles contiennent autant d’espace l’une que l’autre. Mais pourceque c’est un théorème qui ne seroit peut-être pas avoué de tous , je poursuis en cette sorte.

Ayant mené les lignes droites S a , £ ê , x«‘, il est évident que le triangle est <pxw égal au triangle a5|î,car je prends * et i pour les plus hauts points de ces deux figures. Tout de même, ayant mené les lignes (ia , , vS, v (3 ; y* , y<p , 'l'* , <]><«> , il est. évi-

dent que les deux triangles yx<p et <{ixü> sont ensemble égaux aux deux [x&a et v$|3; car <pw, étant égale à ap , 12 1 3 est aussi égale à 10 1 1 ; et pourceque yt|> , est égale à (xv , y 12, plus i3 , | , qui sont les bases des triangles yxw et sont en-

semble égales à fx , 10 , plus 11, v # , qui sont les bases des triangles jxâa et v&ê, et ces quatre

• Figure 16.

triangles ont même hauteur. Ainsi derechef inscrivant d’autres triangles des points 45, S 9 , et a3, 67 , et tant d’autres qu’on voudra à l’infini , on trouvera toujours en même façon que ceux de la figure x<pw seront égaux à ceux du demi-cercle; et par conséquent toute cette figure est égale à ce demi-cercle , car toutes les parties d’une quantité étant égales à toutes celles d’une autre /le tout est nécessairement égal au tout. Et c’est une notion si évidente, que je crois qu’il n’y a que ceux qui sont en possession de nommer toutes choses par des noms contraires aux vrais qui soient capables de la nier, et de dire que cela ne conclut qu’à peu près.

Au reste, l’espace compris entre la droite AC et la courbe AKFGC étant égal au demi-cercle, il est évident que tout l’espace AFCB est triple du demi-cercle ; car le triangle rectiligne ABC est égal à tout le cercle , puisque la ligne AB est supposée égale à la moitié de sa circonférence , et BC à son diamètre. Mais encore que cette ligne AB fût supposée plus grande ou plus petite (comme lorsqu’on imagine que le point qui décrit la courbe AFC est au dehors ou au dedans de la roulette, et non pas en sa circonférence) , l’espace compris entre la droite AC et la courbe AFC ne laisseroit pas d’être toujours égal au demi-cercle , dont le diamètre seroit égal à BC, en sorte qu’il n’y auroit que le triangle rectiligne ABC qui chan-

Digitiÿçtby

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geroit de grandeur, ainsi qu’il est assez manifeste de cela seul que, bien que la grandeur de la ligne AB soit changée , il ne faut rien changer pour cela en la démonstration que je viens d’écrire ; et ce que j’ai mis ici fort au long, afin de pouvoir être entendu par ceux qui ne se servent point de l’analyse, peut être, trouvé en trois coups de plume par le calcul

Les deux feuillets précédents ’ ont été pour les autres. Je viens ici aux divers articles de votre lettre , dont le premier est que le sieur N. vous a dit que les capucins avoient tous unanimement admiré , étant en leur assemblée générale , ce qu’il a écrit contre moi , de quoi je pense avoir sujet de me rire ; car il n’y a aucune apparence que la dévotion de ces bons religieux les rende si simples , qu’ils ne puissent remarquer les fautes qui sont en toutes lés lignes de son discours, ni qu’ils approuvent toutes ses impiétés , qui sont telles en quelques endroits , que , s’il êtoit en un pays où l’inquisition fût un peu sévère, il auroit sujet de craindre le feu. Outre que la profession qu’ils font de reprendre les vices les oblige à blâmer le désir de médire , dont on voit qu’il n’a pas été moins embrasé que les plus saints d’entre eux le sauroient être de

* «'La suite est à la page 375 de ce vol., au premier alinéa, qui est » ligne 18 : Pour P objection.... »

a D'une autre main : «Autre lettre, septembre i 638 . » — D’une antre main encore : « Cela est faux. »

lao

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l’amour divin. Pour moi je ne crains pas que ceux qui ont du jugement , et qui me connoissênt, s’imaginent qu’il me fut malaisé de lui répondre , si je pensois qu’il fût de la bienséance que je le fisse. Mais je vous dirai que je n’aurois pas moins de honte d’écrire contre un homme de cette sorte , que de m’arrêter à poursuivre quelque petit chien qui aboieroit après moi dans une rue. Ce qui n’empêche pas que je ne veuille tâcher d’éclaircir les raisons que j’ai données de l’existence de Dieu , mais j’en écrirai en latin ; et pourceque la plupart des objections qu’on m’a envoyées , et que j’ai dessein de faire imprimer lorsque j’en aurai un assez bon nombre , sont aussi latines , je serois bien aise que ceux qui m’en voudront faire à l’avenir les écrivissent en même langue : et pourceque j’ai quasi opinion que les jésuites de La Flèche me feront l’honneur de m’en envoyer, je vous prie de les en faire avertir , car je crois que si cela est, ils aimeront mieux les mettre en latin qu’en français ; mais que ce soit , s’il vous plaît , comme sans dessein et par occasion, à cause que peut-être ils ne pensent point à m’en envoyer. Je voudrois bien savoir aussi de quelle façon ils traitent mes Météores en leur philosophie , savoir , s’ils les réfutent , ou s’ils s’en taisent ; car je n’ose encore penser qu’ils les suivent , et cela se peut voir par leurs thèses publiques , qu’ils font environ çette saison.

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M. Des Argues m’oblige du soin qu’il luüplait avoir de moi , en ce qu’il témoigne être marri de ce que je ne veux pli* étudier en géométrie ; mais je n’ai résolu de quitter que la géométrie abstraite,

c’est-à-dire la recherche des questions qui ne ser- ^ »

vent qu’à exercer l’esprit , et ce afin d’avoir d’autant plus de loisir de cultiver une autre sorte de géométrie , qui se propose pour question l'explication des phénomènes de la nature : car,, s’il lui plaît de considérer ce que j’ai écrit du sel , de la neige, de l’ai‘c-en-ciel , etc. , il.connoitra bien que toute ma physique n’est autre chose que géométrie.

Pour ce qu’il désire savoir de mon opinion touchant les petites parties des corps , je vous dirai que je ne les imagine pas autrement (Jue comme les pierres dont une muraille est composée, ou les planches dont est fait un navire; à savoir , on peut plus aisément les séparer les unes des autres que les rompre ou les rejoindre, ou leur donner d’autres figures ; mais on peut aussi toutes ces choses , pourvu qu’on ait les outils qui sont propres à cet effet.

Pour vos difficultés touchant la page a58 de mes Météores, elles requièrent un long discours, et c’est l’endroit le plus difficile de tout le livre ; mais j’en ai écrit ’ assez amplement en ma réponse à quelques objections venues de Louvain, lesquelles j’espère que vous verrez imprimées avant la fin de

' « Voyez la 56 e lettre do 1 ” v olume. ■>

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l’annte. Et par provision , je vous dirai ', premièrement , que les boules qui sont peintes en la figure de cette page ne servent qifo 'd’exemple , et doivent être prises pour des boules de bois, ou autres , et non pour les parties de la matière subtile; secondement, qu’il seroit très mal aisé et fort peu utile de penser à déterminer absolument la vitesse du tournoiement des parties de cette matière subtile , et que je l’ai seulement déterminée à comparaison du mouvement droit ; à savoir , que si le droit est surpassé par le cirçulaire, cela produit le rouge , et les autres couleurs voisines en forme de nuance , à raison du plus ou du moins dont il en est surpassé; et que si c’est le contraire, cela produit le bleu , etc. Je ne vous ai rien répondu ci-devant touchant la pensée de M. Gandais, pour expliquer les réfractions, à cause qu’elle ne se rapporte point du tout à la mienne.

Pour le géostaticien , je vous assure que je me soucie fort peu si lui ou ses semblables écrivent contre moi ; car pljis il y en aura qui s’en acquitteront mal , plus la vérité paroîtra , et je sais bien qu’il ne sauroit s’en acquitter que très mal.

Le raisonnement dont M. F... prétend prouver le même que le géostaticien , est défectueux en deux choses: la première est qu’il suppose que le poidsC, étant parvenu au centre de la terre, doit

1 Figure 27.

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passer plus loin de l'autre côté, ce qu’il lui faudrait prouver , car on le. peut nier avec raison ; et la seconde est qu’il considère B et C comme deux corps séparés, au lieu qu’étant joints par la ligne BC, qu’on suppose ferme comme un bâton, ils ne doivent être considérés que comme un seul corps, duquel le centre de gravité étant au point A, ce n’est pas merveille si l’une des parties de ce corps se hausse, afip que les autres s’abaissent, jusqu a ce que son centre de gravité-soit conjoint avec celui de la terre.

Je remercie M. Des Argues de l’observation qu’il dit avoir apprise des mineurs : mais il est malaisé de bien juger de la cause de telles expériences lorsqu’on ne les sait que par le rapport d’autrui , outre qu’il faudroit s’enquérir si le semblable arrive aux autres pays , et si c’est partout à même heure ; car, si cela est, la chose est grandement considérable et me pourroit beaucoup servir.

Encore que ce que j’ai écrit touchant la géostatique ne mérite en aucune façon d’être publié , toutefois , si , selon ce que vous me mandez , on désireroit qu’il le fût, il m’importe fort peu , pourvu que mon nom n’y soit point mis; et, s’il vous plaît aussi, qu’on en retranche ces mots : Il témoigne en cela i fu’il n’a pas moins d’ impudence et d’effronterie que d’ignorance ; au lieu desquels on peut mettre : Il fait voir par là qu’on ne doit pas djouler beaucoup de

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foi à ce c/u’it écrit ; et plus bas, où j’ai mis que ce livre est si impertinent , si ridicule et si méprisable , on peut ôter impertinent et ridicule , et laisser seulement que ce livre est si méprisable. Ce n’est pas que ces éçitbètes ne lui conviennent très bien, ni que j’aie aucune peur de l’offenser , mais c’est qu’il ne me semble pas qu’il me convienne de les écrire, et Ü6 né sont échappés de ma plume qu’en faveur du tour qu’il nous a < joué pour le privilège. •> *• :f - *

J’en étois parvenu jusques ici , lorsque j’ai reçu votre dernier paquet du deuxième de ce mois , lequel ne contient que des écrits de M. de Fermât , auxquels je n’ai pas besoin de faire grande réponse ; car pour celui où il explique sa méthode ad maximas , il me donne assez gagné , puisqu’il en use tout autrement qu’il n’avoit fait la première fois , afin de la poqvoir accommoder à l’invention de-la tangente que je lui avois proposée; et, selon ce dernier biais qu’il la preûd , il est certain qu’elle est très bonne, à causS-qu’elle revient à celui dont j’ai mandé ci-devant qu’il la falloit prendre. En sorte que, pour en dire entre nous la vérité, je crois que s’il n’avoit point vu ce que j’ai mandé y devoir être corrigé , il eût eu de la peine à s’en démêler. Je crois aussi que toute cette chicanerie de la ligne EB , savoir , si elle devoit être nommée la plus grande , que ses amis de Paris ont fait durer près

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de six mois , n’a été inventée par eux que pour lui donner du temps à chercher quelque chose de mieux pour me répondre. Et ce n’est pas grande merveille qu’il ait trouvé en six mois de temps un nouveau biais pour se servir de sa règle ; mais on n’auroit pas de grâce de leur parler de cela , car n’importe pas en combien de temps , ni en quelle façon il l’a trouvée, puisqu’il l’a trouvée. On n’auroit pas de grâce non plus de dire que le quatrième nombre, dont les parties aiiquotes font le double , qu’il vous a envoyé en sa dernière lettre , étant justement le même que je vous avois envoyé auparavant , il est fort vraisemblable qu’il l’a eu de quelqu’un de Paris , auquel vous , ou M. de Sainte - Croix , l’avez fait voir ; et je m’assure quasi que cela est, car il le donne assez à connoître par ce qu’il vous écrit en vous l’envoyant , à savoir, qu’il l’a trouvé par une méthode semblable à la mienne, etc. Et particulièrement aussi par ce qu’il met un peu devant touchant la quatrième question de M. de Sainte-Croix, que j’y aurai peutêtre fait la même équivoque qui lui arriva la première fois quelle fut proposée, et que j’aurai cru qu’il suffisoit que les nombres cherchés ne fussent ni carrés ni composés de deux carrés , bien qu’ils fussent composés 4e quatre , ce qui n’est pas pourtant selon le sens de l’auteur, etc. Car comment auroit-il deviné que j’ai eu cette pensée , et com-

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ment oseroit-il assurer quelle n’est pas selon le vrai sens de l’auteur, si cela même ne lui avoit été écrit de Paris par quelqu’un ? Mais on n’a point droit d’accuser un homme de telle chose , si çe n’est qu’on le puisse prouver fort clairement, il est seulement permis de le penser. Cependant toutes ces procédures indirectes me dégoûtent si fort de leur conférence, que je ne demande pas mieux que de la finir '.

Pour l’objection de M. de Fermât contre ma , Dioptrique, il en écrit si sérieusement, que je commence à me persuader qu’il croit avoir raison , et ainsi je ne le prends nullement en mauvaise part; mais je pense avoir grand droit de lui rendre ces mots,* à savoir que je ne saurois comprendre comment un homme qui est d’ailleurs très habile et de très bon esprit entreprend de réfuter des démonstrations qui sont très fermes et très solides, avec des arguments si fragiles, et auxquels il est si aisé de répondre. Car pour ce dernier, à savoir que si la balle qui est au point B * est poussée par deux forces égales , dont l’une la.porte de B vers D, et l’autre de B vers G, elle se doit mouvoir vers I , en sorte que l’angle GBI soit égal à IBD; et que tout de même, étant pous-

1 « La suite de cette lettre est dans l’alinéa de la page suivante, M. de « Roben'al » V

» Figure 9.8.

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sée de B vers N et vers I, elle doit aller vers L, qui divise l’augle NBl en deux parties égales ; ces prémisses sont vraies , mais elles ne contiennent rien du tout qui regarde les fractions , car elles ne sont point causées par deux forces égales qui poussent la balle , mais seulement par la rencontre oblique de la superficie où elles se font : et ainsi je ne sais par quelle logique il prétend inférer (je là que ce que j’en ai écrit 11’est pas vrai. Mais je suis bien aise de ce qu’il veut tâcher de répondre à ce que j’avois demandé à M. Mydorge touchant ses autres objections ; car je me promets qu’en l’examinant de plus près , il reconnoîtra enfin que ce qu’il nomme des subterfuges sont des vérités très certaines , par lesquelles je réponds à des sophismes : et si ma démonstration n’est pas comprise par plusieurs, l’on ne doit pas juger par là qu’elle manque d’être évidente , mais seulement que la matière en est difficile ; ainsi que les démonstrations d’Apollonius et d’Archimède ne laissent pas d’être fort évidentes , encore qu’il y ait quantité d’honnêtes gens , et qui sont très habiles en antre chose, qui nesauroient les comprendre. Vous pourrez envoyer , s’il vous plait , ces lignes à M. de Fermât lorsque vous lui écrirez Et M. de Roberval me semble aussi vain avec son galanth qu’une femme qui attache un ruban

1 ■■ La suite est à la page suivante : Ceux qui reprennent... -

LETTRES

à ses cheveux afin de paroître plus belle ; car il n’a eu besoin d’aucune industrie pour trouver la figure de cette ligne , puisque je lui en avois envoyé la définition; et son écrit ne sert qu’à me faire connoître qu’ils l’ont fort examinée et fort travaillée avant que d’en pouvoir trouver la tangente, car il y a six ou sept mois que je la leur avoi» proposée , et ils n’ont commencé à en parler que depuis un mois. Mais je vous prie de ne me plus brouiller avec lui , car je suis entièrement dégoûté de sa conférence, et je ne trouve rien de raisonnable en tout ce qu’il dit ici; comme d’estimer la façon de conclure ad absurdum plus subtile que l’autre: c’est une chose absurde, et elle n’a été pratiquée par Apollonius et par Archimède que lorsqu’ils n’ont pu donner de meilleures démonstrations.

Vous verrez clairement pourquoi un corps pendu à une corde pèse moins étant proche du centre de son arrêt qu’en étant plus loin, si vou# considérez ce que j’ai écrit 1 du plan incliné,' du levier et de la balance , car il se meut suivant un plan beaucoup plus incliné sur l’horizon. Je ne vous envoie point le centre de gravité qu’ils demandent , car je n’ai pas loisir à ce soir de le calculer , et je crois vous en avoir envoyé assez d’autres il y a quinze jours; j’aime mieux le faire

* « Voyez le* lettres 7 3 et 7 4 du 1 cr vol. »

liETTBKS. 120

chercher à Gillot lorsqu’il sera ici , où je crois qu’il viendra dans cinq ou six semaines, afin de leur, envoyer de sa part. Et pour Ôillot, je vous dirai qu encore qu’il ne pût peut-être pas tant gagnçr à Paris qu’ici , je serois néanmoins bien aise qu’il y fût , afin de faire entendre ma Géométrie. * Et pourvu que je fusse seulement assuré qu’il auroit moyen d’y subsister sans nécessité , je ne laisserons pas'de Fy envoyèr ;-.car, sans lui, j’appréhende que malaisément elle soit entendue par

ceux qui n ont point su auparavant d’analyse , et je vois que ceux qui eiront su né lui rendent aucune justice et qu’ils tâchent de la mépriser le plus qu’ils peuvent. Que si l’on^rouve que l’intrcK duction qui a été envoyée d’i^i y puisse aider, je ne serai pas marri que les jésuites la voient aussi , car je serois bien aise que plusieurs l’entendissent

Ceux qui reprennent le mot de tantôt en la ► pagç 38o a font le même que s’As me- blâmoient ,de ce que mon collet seroit de travers, car l’un ne touche pas plus à mon honneur que l’autre, et s’ils n’approuvent pîis que j’ai écrit, ainsi qu’il a tantôt été dit, ils devroient Vissi reprendre le mot dit , e*t m’obliger à mettre, ainsi qu’il a été ci-de-

* « La suite de cette lettre est dans la page suivante j Pavois quasi

» oublie »

* Du 3° livre tic ma Gèbmétne. ^ .

vant èbrit, ou plutôt ainsi- qu’il % ôté ci-devant imprimé, à cause que c’est un livre imprimé et non pas écrit à la main. .

Pour le mof", car au bien la quantité, etc.;- en

la page 38 i , ceux-là ne l’entendent pas qui ne voient pas que cette disjonction ou bien y est .très nécessaire, ^ussi bien que les lignes qui suivent,, comme ils connoîtront par l’exemple que j’y ai frijs , s’ils* changent seulement les signes f et — , et qu’ils lisent f / 1 8 J 4 — 1 yy f'b/pjj o ; car, le binôme rationnel par lequel oh pfeut diviser cette équation est yy f 16, et toutefois la racinefcherchée n’est pas 1 6 , maii 4 f V 1 2 ou bien 4— V i à . C’est une misère ^pie d’être blâmé en ce qui est bien , pour cela seql que ceux qui se mêlent d’en juger ne l’entendant pas 1 . Pavois quasi oublié à vous remercier de la peinture des couronnes que vous m’avez envoyées, laquelle j’ai été fort aise de voir, car elle se rapporte entièrement à celle que je décris*. Je suis, etc. ’ , . ■ m

i .. La suite est à. la page 370 de ce vojritrtc , â l’alinéa : Les deux » feuillets ■> H *,* « t •

• «-La suite sont ces paroles : Je vous ^envoie une lettre pour Mi de » Fermât, tout ouverte, mais iipus la Jeritierez, s'il ■vo/ls plaît , avant

. que de la lui envoyer ,^'onr la blin séance.

, LETTRES

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