EXTRAIT D’UNE LETTRE

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l)E M. DÉSCARTES ATT R. p. MERSENNE.

Si du nombre mesuré par 8 ? on ôte une unité, le nombre restant ne sera ni carré ni composé de deux carrés ni de trois carrés. Et si d’un nombre * mesuré par 4 on ùte l’unité, le nombre restant ne sera ni carré ni composé de deux nombres carrés. Ce que je démontre facilement par cela seul que, de tout nombre carré qui est impair, si on ôte

une unité", le res te’ se mesure par R, et par conséquent qussi par quatre (coipfme il se prouve de ‘ce qu’on les peut tous produire en ajoutant 8 à î qui

fait 9 , et deux lois 8 à 9 qui fait 2*5 , et trois fois § à 25 qui fait 49, et ainsi à l’irjjini ) J et que tout nombre carré qui est pair se mesure par 4 : d’où il suit clairement que deux nombres carres joints ensemble en composent un, lequel, ou bien se mesure par 4, à savoir si ces deux carrés sont,» ombres pairs, ou bien* qui est plus grand d’une unité qu’un nombre mesuré par 4 , à savoir si l’un d’eux est impair ou qui est ptus grain,! de deux unitçs ,

• •*’Ce théoreraejSoa dans la page 400 de ce volume. Il est ici plus .étendu et u.ie«x expliqué Ve dans la page 400; il faut par conséquent . l’imprimer comme ü est ici , mais l’insérer dans la page 4op de la lettre ■ 69. » ' •

pigitizÿby Googlç

i5a • LET/r^:?.

s’ils -tout tous deux impairs ; et de là^e déiribntce

leur second théorème : car si tout nombre carré ou^composé de clètpc*, carrés ^|^eul .^ijp^sser Tm « nombre^ mesuré par 4 ' qUe d’union de, deux , fou^ ceux* qui le surpassent de trois, comme font tous ceux qui Sont moindres d’uue unité qu’un nombre mesuré par 4 ■> ne peuvent être ni carrés ni composés de deux carrés. Tout de même, si on joint ensemble trois carrés qui soient pairs , ils ne pour- • ront surpasser un nombre mesuré par 8 que de 4 ; et 4 si l’un d’eux est impair, ils ne Je pourront surpasser que d’un ou de 5 ; et s’il y en a deux impairs, ils ne le surpasseront que de 2 "ou de 6 ; et -s’ils sont toûs trois, jmpairs , ils ne le surpasseront que de j5*: de façon qu’ils ne le peuvent ja- • mais surpasser dfe 7 , ainsi que font tous les nombres mesurés-par 8 ? après qu’on les a,, diminués* d’une unité , qui est ce qu’il falloit démontrer , et pour Jeà fractions c’est la même chose. Leur autre question est ce problème : '

TROUVER UNE INFINITÉ DK NOMBRES, LESQUELS ÉTANT FRIS DEUX A DEUX^ LUN EST EGAL AUX^ PARTIES AIJQUOTES DF..' É’aUTRE , ET RECIPROQUEMENT £ AUTRE EST ÉGAL AUX PARTIES AL1QUOTF.S TH T PREMIER, A QITOI^IR SATISFAIS .PAR CETTE RÈGLE.

Si sumatur binarius ' , vel quilibet alius nume-

< « Ce problème est mieux expliqué ici que dans la page 401 ; ainsi il » le faut ôter, d’ici pour le mettre dan» la page <01 de la lettre 69 de ce » volume. •>

* LETTRES

rus ex solius binarii multiplicatione productifs , modo sit talis , ut si tollatur imitas abeius triplo

bat numerus primus; item , si tollatur unitas ab ejus sextuplo, fiat numerus primus, etdenicjue si • tollatur unitas ab ejus quadrati octo-cîecuplo, fiat numerus primus. Ducaturque hic ullimus mime- -rus primus perduplum nümeri assumpti *fiet numerus cujus partes aliquptan dabunt alium nurne ram ,qui vice versa, partes aliquotas habebitæqua-

‘ -lès numéro præcedenti. Sic, assumendo très riüme-

ros 2 , 8 et 64 , habeo hjcc tria paria numerorum ; abaque infinila possunl inveniri eodem modo.

284 cujus partes aliquotæ sunt 220, et vice versa.

’ .. La suite dé cette lettre e^t à la J2 r ligue de la page irti de ce 1 ' s

volume : Je n'ai. que faire...., »

• * a fc. 1 ,

LFTT1VES.*

rr ,rr „ , *..

AMM. DESCARTES

(.LetU^* 67 du tome III.)

â Monsieur," '*. * . * > ' *.

Quant au sieur de Roberval , il a trouvé quantité de belles spéculations nouvelles , tant géométri-*qqCs que mécaniques , et entre autres je vous en dirai une^.à savoir qu’il a démontré que l’espace compris par la ligne courbe AÇB et la droite AB, est triple du cercle ou de la roue % ou roulette AEF ; or ledit espace est fait par la roulette qui se meut . depuis A jusques à B. sur le plan ou sur la ligqe AB , lorsque la ligne* AB est égale à la circonférence dedadite roülette. Et puis il jt démontré la proportion , de cet espace avec ledit cercle ;, lorsqqe la roulette^décrit *AB plus grande cy< plfts petite que sa' circonférence fin qudeünfyuératione data.

„a. Or «agréez, S’il vous plaît, que je vous .propose deuxdifficuItéA dont’ je suis en controverse- avec le-

* «Ceci est un extrait d'une lettre du P. Mersenne. contenant des* *

» objections detJVÏ. de Robdrval et de M. de Fermai. Cette lettre est datée

t ef r . +* + ‘ « • • v

,»du 28 avril ou do 1 mai i 638 . V<*ye7. dei» deux premières ligues de *

» la suivante ; e’eji est tint prebve infaillible. •• * -a * »

« «# Figure 29. V *

"fil sieur de*Roberval , lesquelles vous nie ferez plaisir de résoudre, 'si vous le pouvez. La première est”, Supposé que Dieu n’eïil rien créé ? il prétend qu’il /auroit encore le même espace solide réel qui est maintenant , fit fonde lu vérité éternelle dé la géométrie sur cet espace, tel queseroit l’espace où sont tous les qorps enfermés dans le . firmament si Dieu anéantissoit tous Ces corps. Et moi je dis qu’il n’y auroit nul espacé réel, autrement il*y auroit quelque être réel qui ne dépendroit point de Dieu.,

3‘.'La seconde difficulté, laquelle il me semble, déjà vous avoir touchée autrefois, est d’une arbalète*, à savoir, si là corde étant bandée depuis A jus* qu’à D, si ce décochant île D, elle ne, va pas plus vite de D à Gque de C à A, en achevant son chemin. j<* dis que, puisqu’elle endure plus de violence en D qu’en C, elle ira plus vite en partant de D qu’en passant et chemin faisant par G; et lui dit quelle ira plus vite en G, et encore plus vite en arrivant en A ou est son terme. Ge qui fait pour lui est qüe, si elle alloit plus vite en D, supposé que la corde fût arrêtée en C , le trait poussé de D en G iroit plus vite que lorsqu’il est tout en A ; et aussi V - e . À ■ » + ' ' JÊ

■ .«««dr * i * r • # # ^

* Fignee 3o. , ' .

^ „ Peat.£ue qu’iV/aut inettré de I) en A. J’ai l’original ; » y » *<«

. I) ni C, inmff’est pentdtre uni faute du rupiatc i

que le triaugle EDF est plus grand ’que EGF, ê? . ainsi qu’il lui faut plus de temps pour mouvoir et attirer la corde de D à C que de C à A; mais je m’appuie sur la plus grande force , ou le plus fort bandement de la coyde en D. Il ajoute que,, comme la corde GH , attachée en G , et tirée de .

II en I , descend et se meut plus lentement en commençant son mouvement en I , et plus vite en . H, par où elle passe, qu’en aucun autre endroit, de même la corde, partant de D, va plus lentement qu’en aucun autre lieu du fut de l’arbalète DA, et en A plus vite qu’en aucun autre lieu. Or ce qui m’étonne ici est que la corde frappant aussi vite et aussi fort la flèche en A, Jorsqu’elle ne viendroit que de, C en A, elle n’enverroit pas la flèche si loin que si la corde venoit de D ou de plus loin, c’est-à-dire qu’un arc, q,uo.ique moins vite et ” happant la flèche moins fort, l’envoie plus loin, quand il est plus grand ; de sorte que si , avec la même flèche, vous bandez un arc dêux fois plus grand que les précédents, il enverra la flèche beaucoup plus loin, encore que vous ayez moins de peine à bander le grand arc que le petit , et , par conséquent, encore que le petit frappe la flèche plus vite et plus fort ; de sorte que la longueur de la conduite de la corde de l’?rc semble imprimer de nouvelles forces à la flèche , et que ce n’est pas la plus grande vitesse de -la corde frappante qui

* a J a |t. a ‘*Q r i,f > 'U s loin ,, mais la longueur du cfiçinin que la corde accompagne la flèche. Que serpit-ce donc si la corde accompagnoit une toise de long ladite flèche ? le crois néanmoins que cet accompagnement n’y apporte plus rien après un certain espace 1 , comme il arrive que les* canons , après/uné Certaine longueur' passée, diminuent plutôt la longueur des portées qu’ils ne l’augmentent ; mais il n’est peut-être pas possible de déterminer. la longueur de. cet accompagnement , et où finit son utilité. i \j

4* Finalement, nous sommes aussi en grande difficulté pourquoi la balle d’arquebuse n’a pas tant d’effet à quinze ou vingt pieds de la bouche du canon qu’à chiquante n puisquil^emble quelle va plus vite les vihgt premiers pieds qu’aprè» ; c’est de même/ d’une pierre qu’on jette , si à la sortie de la main elle rencontroit votre corps, elle ne vous blesserait pas tant qu’après dix ou douze pasx donc ce n’est paè la seule vitesse des»mîssilés qui fait la plus grande impression , ou bien il ne vont pas si vite’ au çômra^nceçignt Mprès7çequi est contre votre opinion aussr Bien que coiitre la mienne. Et je sais qu’un tour de chambre, fait tout • doucement , vous suffira pour nous dire ce qui est de ces difficultés. \ • S •!,

LETTRES

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