SUJET DU LIVRE DE MAXIMIS ET MINIMIS DE M. DE FERMAT

(Lettre 56 du tome III.)

Mon révérend père ,

Je serois bien aise de ne rien dire de l’écrit que vous m’avez envoyé, parceque je n’en saurois par-

1 « Cette lettre est écrite le 18 janvier i638, en pareil jour que la pré- » cédente. Voyez les raisons dans le nonvean cahier. Collationné sur l’ori- » ginal de M. de la Hire. Peu exact. »*

LETTRES. 7

1er autant que je voudrois 1 à l’avantage de celui qui l’a composé ; mais à cause que je reconnois que c’est celui-là même qui avoit ci-devant entrepris de réfuter ma Dioptrique, et que vous me mandez qu’il a envoyé ceci après avoir lu ma Géométrie , et s’étonnant de ce que je n’avois point trouvé la même chose, c’est-à-dire ( comme j’ai sujet de l’interpréter) à dessein d’entrer en concurrence , et de montrer qu’il sait en cela plus que moi ; puis aussi à cause que j’apprends par vos lettres qu’il a la réputation d etre fort savant en géométrie , je crois être obligé de lui répondre. Premièrement donc , je trouve manifestement de l’erreur en sa règle, et encore plus en l’exemple qu’il en donne, pour trouver les tangentes de la parabole, ce que je prouve en cette s?orte:soitBDN la parabole donnée, dont DC est le diamètre , ét que du point donné B il faille tirer la ligne droite BE, qui rencontre ÜC au point E, et qui soit la plus grande qu’on puisse tirer du même point E, et jusques à la parabole. Sic enim proponilur quœrenda maxima. Sa règle dit : Statualur quilibet quœstionis terminus esse A ; je prends donc EC 1 pour A , ainsi qu’il a fait , et invematur maxima ( à savoir BE) in ter minis , sub A , gradu, utlibet involutis. Ce qui ne se peut faire

mieux qu’en cette façon : que BC soit B, le carré

1 Pourccqucjc n’en saur ois dire aucune chose qui soit à l’avantage , etc,

* Figure i.

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de BE sera A q -f- B/y, à cause de l’angle droit BCE. Ponatur rursum idem terminus qui prius esse À -J- E.

A savoir , je fais que EC est A -f- E ( ou bien suivant son exemple A — E, car l’un revient à l’autre '); iterumque inveniatur maxima ( à savoir BE ) in terminis, sub A , et E gradibus , utlibet coefficientibus. Ce qui ne se peut mieux faire qu’en cette sorte. Posons que CD ait été ci-devant D , lorsque BC étoit B , et le côté droit de la parabole sera dÿ-, à cause qu’il est à BC, la ligne appliquée par ordre , comme BC est à CD , le segment, du diamètre auquel elle est appliquée. C’est pourquoi maintenant que CE est A -f- E, DC est D -f- E; et le carré BC est - ? 1 3 qui étant ajouté au carré de CE, qui est A q f A in E bis -f* E/y, il fait le carré de BE. Adœquentur duo homogenea maxime œqnalia , c’est-à-dire que A q -f B q soit posé égal à B, y iüsiiï -j- A/y -j- A in E bis -f* E/y. El demptis communibus , il reste -j- A in E bis f E<y égal à rien. Appliceniur ad E , etc., il vient A bis -j- E. Elidatur E , il reste -j - A bis égal à rien. Ce qui

* « Il y avoit ainsi dans la lettre manuscrite de M. de la Hire , qui n’étoit

» pourtant pas de la main de M. Descartes , mais d’une écriture différente : - » ( ou bien , suivant son exemple AE , car Vun revient à Vautre ) in ter- »» minis snb A et E gradibus utlibet coefficientibus, il dit qu’il faut mettre „ yiis a prioribus di versis , ou per diversum medium , ou quelque chose de » semblable , pour rendre la règle bonne ; ce qui ne se peut mieux , etc. »

* « La lettre D sous cette raie n’étoit point dans l’original de la Hire. »

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ne donne point la valeur de la ligne A , comme assure l’auteur; et par conséquent sa règle est fausse.

Mais ilse mécompte bien encore plus en l’exemple de la parabole, dont il tâche de trouver la tangente; car, outre qu’il ne suit nullement sa règle, comme il paroît assez de ce que son calcul ne se rapporte point à celui que je viens de faire , il use d’un raisonnement qui est tel, que si seulement, au lieu de parabole et parabolen , on met partout en son discours hyperbole et hyper bolen, ou le nom de quelque ligne courbe , telle que ce puisse être , sans y changer au reste un seul mot , le tout suivra en même façon qu’il fait touchant la parabole jusques à ces mots : Ergo probavimus CE , duplam ipsius CD , quod quidem ita se habet ' ; nec unquam fallit methodus. Au lieu desquels on peut mettre : Non ideo sequilur CE , duplam esse ipsius CD , nec unquam ita se habet alibi quam in parabole , ubi casu et non ex vi præmissarum' , verum concluditur ; semperque fallit ista methodus. Si cet auteur s’est étonné de ce que je n’ai point mis de telles règles en ma Géométrie , j’ai beaucoup plus de raison de m’étonner de ce qu’il a voulu entrer en lice avec de si mauvaises armes. Mais je veux bien lui donner encore le temps de remonter à cheval , et de

■ ■■ n y avoit dans l’original de la Hirc : Ergo CE probavimus ipsius a CD , quod quidem ita se habet , etc. ■>