RÉPONSE A VN ÉCRIT DES AMIS DE M. DE FERMAT

( Lettre 57 du tome III. )

Monsieur ,

J’admire que l’écrit De maximi* et minimis, qui m’a été ci-devant envoyé , et qui , comme j’apprends maintenant , a été composé par M. de Fermât , ait trouvé des défenseurs , mais je ne vois pas qu’ils l’excusent en aucune façon. Car , premièrement, ils me font dire une chose à laquelle je n’ai jamais pensé , afin par après de la réfuter ; à sav.oir, ils supposent que je parle de tirer une ligne droite du point B , donné en la parabole BDN,

1 » Cette lettre est de M. Descartes, adressée à M. Mydorgc pour en tirer copie, et la rendre ensuite à un ami de M. Fermât. Elle est datée ■' du H février i638. »

LETTRES

savoir la ligne droite BE , rencontrant le diamètre CD au point D, laquelle ligne BE soit la plus grande de toutes celtes qui peuvent être menées du même point B , pris en ta parabole , et coupant le même diamètre CD.

Ce sont leurs mots , et je confesse avec eux que cela est absurde ; mais aussi ai-je dit tout autre chose , à savoir , qu’il faut chercher la ligne droite BE , qui rencontre DC au point E, et qui soit la plus grande qu’on puisse tirer du même point E jusques à la parabole. Or il est évident qu’on peut tirer une ligne de ce point E vers la parabole, qui soit la plus grande de toutes celles qui peuvent être menées de ce même point E ' jusques à la même parabole , à savoir , celle qui sera menée au point B , si on suppose qu elle touche la parabole en ce point B. Car de dire, par exemple, que EP est plus grande que n’est EB, ce n’est rien dire, à cause que cette ligne PE n’est pas tirée jusques à la parabole seulement, mais outre la parabole, et elle s’étend au-delà depuis S jusques à P, en sorte qu’il n’y a que sa partie ES qui soit menée jusques à la parabole , et ES est moindre que n’est EB : ce qui ne sauroit être nié par des personnes qui voudront entendre raison , et aussi n’ont-ils rien dit contre cela. Ensuite de quoi j’ai fait voir évidemment que la règle de M. de Fer-

» Figarc 3.

LETTRES

mat, pour trouver maximam et minimam , est imparfaite , ét je le pourrois encore montrer par une infinité d’autres exemples , mais la chose n’en vaut pas la peine; et je dirai seulement que cette règle étant corrigée comme elle doit être, le vrai moyen de l’appliquer à l’invention des tangentes des lignes courbes est de chercher ainsi le point E , duquel on puisse tirer une ligne jusques à B , qui soit la plus grande ou la plus “petite qu’on puisse tirer du même point E jusques à la ligne courbe donnée. Ce que M. de Fermât témoigne n’avoir point su , puisqu’il en use d’une autre façon en cherchant la tangente de la parabole, à savoir, d’une façon en laquelle (pour nommer les choses par leur nom , et sans avoir pour cela aucun dessein de l’offenser) il se trouve un paralogisme qni ne peut, en aucune façon, être excusé. Je veux bien pourtant avouer que, pour appliquer son raisonnement à l’hyperbole , il ne faut pas seulement substituer hyperbolen au lieu de parabolen , mais qu’il y faut outre cela changer un petit mot qui ne fait rien du tout à la cause , et auquel je n’ai pas honte de dire que je n’avois pas fait de réflexion; car d’abord j’avois reconnu si évidemment le paralogisme de cet écrit , que je n’avois pas daigné par après le regarder, et j’ai pensé que l’auteur même ne pourroit faire aucune difficulté de le reconnoître sitôt qu’il en seroit

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averti. Ce mot donc est, qu’au lieu de dire , major erit proportio CD ad DI quam quadrali BC ad quadratum, 01, il faut, en parlant de l’hyperbole, dire seulement, major erit proportio CD ad DI quam BC ad 01 , ou bien , major erit proportio quadrali CD ad quadratum DI quam quadrati BC ad quadratum 01. D’où tout le reste suit en même façon que si on compare les lignes CD et DI 1 aux carrés de BC et 01. Et ceci s’étend généralement à toutes les lignes courbes qui sont au 'monde. Mais, afin qu’on ne puisse chercher sur cela aucune excuse, qu’on mette, non pas hyperbolen , mais ellipsim ou circuli circonferentiam , ^au lieu de parabolen , et alors il ne faudra pas changer un seul mot en tout le reste , comme on verra ici manifestement.

* RAISONNEMENT PAR LEQUEL M. DE FERMAT PRÉTEND TROUVER LA TANGENTE DE LA PARABOLE.

Sit data parabole BDN , cujus vertex D, diameter DC, çt punctum in ea datum B, ad quod ducenda » est recta BE, tangens parabolen, et in puncto E cum diametro concurrens ; ergo sumendo quodlibet punctum in recta BE et ab eo ducendo ordinatam 01 , a puncto autem B ordinatam BC, major erit proportio CD ad DI quam quadrati BC ad quadratum OI, quia punctum O est extra parabolen. Sed propter similitudînem triangulorum,

• Figure

LETTRES

ut BC quadratum ad OI quadratum , ita CE qua* dratum ad IE quadratum ; major igitur eril proportio CD ad DI quam quadrati CE ad quadratum IE. Cum autem punctum B detur, datur applicata BC ; ergo punctum C. Datur etiarn CD. Sit igitur CD, æqualis D datæ. Ponatur CE esse A. Ponatur CI esse E. Ergo D ad D — E habebit majorem proportionem quam A q ad A <7 -j- Eq — A in E bis. Et ducendo inter se médias et extremas, D in Aq -j- D in Eq — D in A in E bis, majus erit quam D in A q — Aq in E. Adæquentur igitur juxta superiorem methodum. Demptis itaque communibus, D in Eq — D in A in E bis, adæquabitur — A q in E, aut quod idem est, D in Eq-fAq in E, adæquabitur D in A in E bis, omnia dividantur per E.

Ergo D in E-f- Aq adæquabitur D in A bis. Elidatur D in E. Ergo Aq æquabitur D in A bis. Ideoque A æquabitur D bis. Ergo CE probavimus duplam ipsius CD , quod quidem ita se habet ; nec fallit unquam methodus.

application du même raisonnement a toutes les lignes

COURBES, DANS LESQUELLES LES SEGMENTS DU DIAMÈTRE ONT PLUS GRANDE PROPORTION ENTRE EUX (a SAVOIR, LE PLUS GRAND AU moindre) QUE LES CARRÉS DES LIGNES QUI LEUR SONT APPLI- QUÉES PAR ORDRE.

Sit data ellipsis BDN, cujus vertex D, diameter DC, et punctum in ea datum B, ad quod ducenda

LETTRES

est recta BE, tangens ellipsim, et in puncto E' cum diametro concurrens ; ergo sumendo quodlibet punctum in recta BE, et ab eo ducendo ordinatam OI, a puncto autem B, ordinatam BC, major erit proportio CD ad DI quam quadrati BC ad quadratum OI , quia punctum O est extra ellipsim. Sed propter similitudinem triangulorum , ut BC quadratum ad OI quadratum, ita CE quadratum ad ie quadratum. Major igitur erit proportio CD ad DI quam quadrati CE ad quadratum IE. Cum autem punctum B detur, datur applicata BC ; ergo punctum C. Datur etiam CD. Sit igitur CD æqualis D datæ. Ponatur ce esse A. Ponatur CI esse e. Ergo D ad D — F. habebit majorem proportionem quam Aÿ ad A<jr-{-Eÿ — a in e bis. Et ducendo inter se médias et extremas, d in Aÿ-f-n in Eÿ — d in a in e bis, majus erit quam d in \g — in e. Adæquentur igitur juxta superiorem methodum. Demptis itaque communibus, d in e q — d in a in e bis , adæquabitur — a q in e. Aut quod idem est d in Eÿ-j-A</ in e. Adæquabitur n in a in e bis. Omnia dividantur per e.

Ergo d in E*j* s.q adæquabitur d in a bis. Elidatur d iri e. Ergo Aÿ æquabitur d in a /us.Ideoque a æquabitur d bis. Ergo ce probavimus duplam ipsius en quod nullo modo ita se habet ; sed semper fallit ista methodus.

* Figure 5.

LETTRES

APPLICATION DU MÊME RAISONNEMENT A LHYPERBOLE, ET A TOUTES LES AUTRES LIGNES COURBES.

Sitdata hyperbole bon', cujus vertex d, diameter dc, et punctum in ea datum b, ad quod dûcenda est recta be, tangens hyperbolen, et in puncto e cum diametro concurrens ; ergo sumendo quodlibet punctum in recta be, et ab eo ducendo ordinatam 01, a puncto autem b ordinatam bc, major erit proportio cd ad m quam quadrati bc ad quadratum oi , quia punctum o est extra hyperbolen. Sed propter similitudinem triangulorum, ut bc quadratum ad oi quadratum, ita ce quadratum ad ie quadratum ; major igitur erit proportio cd ad m quam ce ad ie, cum autem punctum b detur, datur applicata bc ; ergo punctum c. Datur etiam en. Sit igitur cd æqualis d datæ. Ponatur ce esse a. Ponatur ci esse e. Ergo d ad d — e habebit majorem proportionem quam a ad a — e. Et ducendo inter se médias et extremas, d in a — d in e, majus erit quam d in a — a in e. Adæquentur igitur juxta superiorem methodum. Demptis itaque communibus, — d in e adæquabitur — a in e. Aut quod idem est d in e adæquabitur. a in e. Omnia dividantur per e.

Ergo a adæquabitur d , nihil que hic est elidendum. Sed a, æquatur d, quod nullo modo ita se habet, etc.

* Figure 6.

LETT UES

Si ori avoue que ce raisonnement soit bon pour la parabole, on doit avouer qu’il est bon aussi pour l’ellipse et l’hyperbole, et pour toutes les autres lignes courbes qui sont au monde, où toutefois on voit clairement qu’il ne conclue pas la vé- rité. Quant aux autres choses que ces messieurs disent avoir été inventées par M. de Fermât , j’en veux croire tout ce qu’il leur plaira ; mais n’ayant jamais rien vu de lui que cet écrit De maximis cl minimis, et la copie d’une lettre dans laquelle il prétendoit réfuter le deuxième discours de ma Dioptrique, et ayant trouvé en l’un et en l’autre des paralogismes, jen’ai pu juger que sur les pièces qui sont entre mes mains. Cependant je les supplie de croire que s’il y a quelque animosité particulière entre lui et moi , ainsi qu’ils disent , elle est tout entière de son côté ; car de ma part je pense n’avoir aucun sujet de savoir mauvais gré à ceux qui se veulent éprouver contre moi en un combat où souvent on peut être vaincu sans infamie. Et voyant que M. de Fermât a des amis qui ont grand soin de le défendre , je juge qu’il a des qualités aimables qui les y convient; mais j’estime aussi en eux extrêmement la fidélité qu’ils lui témoignent , et pourceque c’est une vertu qui me semble devoir être chérie plus qu’aucune autre , cela suffit pour m’obliger à être leur très humble serviteur.

Sur le point que je fermois ce paquet j’ai reçu

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une lettre que M. de Fermât * aenvoyée au révérend père Mersenne , pour réponse à ce que j’ai ci-devant écrit sur les objections qu’il avoit faites contre le second discours de ma Dioptriqüe ; et pourceque j’ai vu par les premières lignes qu’il ne désire pas que son écrit soit publié, j’ai cru ne devoir pas achever de le lire : toutefois je n’ai pu m’en empêcher , et pour réponse j’assure que je n’ai pas trouvé un seul mot qui excuse les fautes que j’avois remarquées en ses objections précédentes, ni qui ait aucune force contre moi ; mais en chaque article de ce qu’il objecte de nouveau , il fait un nouveau paralogisme ou bien corrompt le sens de mes raisons et montre ne les pas entendre ; ce que je m’oblige de faire voir aussi clair que le jour, pourvu qu’il trouve bon que le public et la postérité en soit juge , suivant ce que j ’ai mis en la page n5 du discours de ma Méthode: car je n’ai pas résolu d’abuser tant de mon loisir que de l’employer à répondre aux objections des particuliers , ni .même à les lire , sinon en tant que , les publiant avec mes réponses , elles serviront pour tous ceux qui pourroient avoir les mêmes doutes , et pour faire mieux connoître la vérité. Quant à ceux qui ont écrit le papier auquel j’ai répondu en celui-ci, puisqu’ils ont voulu être les avocats de ma partie en une cause la moins soutenable de son côté

1 « C’est la lettre 40 de ce volume. »

qu’on puisse imaginer, j’espère qu’ils ne voudront pas être mes juges, ni ne trouveront pas mauvais que je les récuse, aussi bien que quelques autres de ses amis; car, enfin, je ne connois à Paris que deux personnes au jugement desquels je me puisse rapporter en cette matière , à savoir M. Mydorge etM. Hardy. Ce n’est pas qu’il n’y en ait sans doute plusieurs autres qui sont très capables , mais ils me sont inconnus, et pour ceux qui se mêlent de médire de ma Géométrie sans l’entendre, je les méprise.