SERVANT UK REPONSE A LA PRÉCÉDENTE

( liettrc 58 du tome III.)

Quand M. Descartes aura bien entendu la méthode de M. de Fermât, Dr maximis et minimis et de inventione tangentium linearum curvarum , alors il cessera d’admirer que cette méthode ait trouvédes défenseurs , et admirera la méthode même , qui est

' - Second écrit de M. Robcr val, i638, i5 mars. Voyez le gros catiicr. *

excellente et digne de son auteur. Or il n’est pas vraisemblable que M. Descartes l’ait entendue jusqu’ici, puisqu’ayant fait des objections absurdes à l’encontre par son premier écrit , auxquelles nous avons répondu suivant l’intelligence que nous avons de la même méthode , il réplique de sorte qu’il s’enveloppe dans d’autres autant ou plus absurdes que les premières, et, tant aux unes qu’aux autres, il fabrique des raisonnements à sa mode , lesquels il prétend déduire de cette méthode , et suppose que M. de Fermât en auroit fait de pareils en pareilles questions, quoique ces raisonnements soient contraires non seulement à la même méthode, mais aussi à la méthode générale de raisonner en tous sujets ayant des défauts contre les règles ordinaires de la logique. En quoi M. Descartes ne peut éviter l’un des deux , savoir, ou qu’il ignore la méthode suivant laquelle il raisonne si mal en des questions auxquelles il est très facile de bien raisonner suivant la méthode même , ou bien qu’il 11e procède' pas de bonne foi , si , n’ignorant pas l’excellence de la méthode , il raisonne mal exprès pour avoir occasion de blâmer l’auteur; mais nous ne pouvons croire ce dernier, parcequ’il ne pourroit pas éviter que le blâme ne retombât sur luimême , sinon qu’il eût affaire à des ignorants , et nous estimons qu’il a trop de prudence pour s’exposer à ce danger.

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Pour venir au fait , M. Descartes fait deux objections, toutes deux absurdes : la première est qu’il suppose que la ligne EB , qui touche la parabole au point B, est la plus grande qui puisse être ipenée du point E donné dans le diamètre , jusques à la parabole. Car nous voulons bien que ce soit le point E qui soit donné dans le diamètre, au lieu qu’il avoit dit, dans son premier écrit , que le point donné fût B en la parabole , ce qu’il a corrigé en son second écrit. En quoi nous reconnoissons qu’il n’a pas bien considéré notre réponse, dans laquelle nous avons mis en deux mots que l’un et l’autre étoit également absurde, de prétendre de mener du point B jusques au diamètre la plus grande ligne ou la plus grande du point E jusques à la parabole , d’autant qu’en l’une et en l’autre sorte cette plus grande est infinie , et partant impossible ; d’où l’excellence de la méthode paroît d’autant plus, puisqu’en des questions absurdes elle fait découvrir des absurdités, qui est tout ce que l’on peut espérer d’une bonne méthode en pareil cas. Or, qu’il soit absurde que BE soit la plus longue ligne qui puisse être menée du point B jusques au diamètre , M. Descartes le confesse par son écrit , et il faut qu’il avoue de même que EB n’est pas la plus longue qui puisse être menée du point E donné au diamètre jusques à la parabole , puisque lui-même y mène EP plus longue

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que EB , le point E étant au diamètre , et le point P en la parabole , et ainsi EP est menée du point E donné au diamètre jusques à la parabole , à laquelle elle se termine au point P. Car quant à ce qu’il dit que cette ligne PE n’est pas tirée jusques à la parabole seulement , mais outre la parabole , cela est aussi absurde que de dire que le point P est outre la parabole, lequel toutefois est dans icelle , ainsi qu’une infinité d’autres , plus et plus éloignés à l’infini, auxquels on peut mener des lignes droites du point donné E, lesquelles croîtront toujours sans que l’on puisse déterminer la plus grande.

On pourroit, par une même absurdité, soutenir que, d’un point donné hors un cercle dans le plan d’icelui , la plus grande ligne que l’on puisse mener jusques à la circonférence est la touchante , et ainsi donner un démenti à Euclide, qui a démontré que cettë plus grande est celle qui est menée du même point par le centre jusques à la circonférence concave , de laquelle plus grande on pourroit dire, par la raison de M. Descartes, qu’elle n’est pas seulement menée jusques à la circonférence du cercle , mais outre la circonférence, quoiqu’elle se termine en un point d’icelle circonférence. De dire aussi que, par la plus grande ligne, il entend celle qui ne rencontre la parabole qu’en un point, c’est se contredire, puisque ce n’est pas la plus grande ligne: et, en tout cas, c’est abu-

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ser du mot de plus grande , assignant pour icelle la touchante , laquelle M. de Fermât a trouvée par un raisonnement propre à ce faire , comme il paroît par son écrit; et ainsi , pour faire paroître que M. de Fermât aurait tort , M. Descartes fabriquerait un raisonnement à sa mode , voulant faire croire que ce serait le raisonnement de M. de Fermât; ce qui ne se peut attribuer qu’au défaut de connoissance de M. Descartes touchant la méthode dont est question , car nous ne voulons pas soupçonner sa mauvaise foi : partant nous désirerions qu’il considérât la méthode de plus près , fet il verrait que, pour trouver la plus grande , M. de Fermât a employé le raisonnement propre pour la plus grande, et que , pour trouver les touchantes , il a employé le raisonnement propre pour les touchantes , n’abusant pas du mot de plus grande pour celui de touchante , ainsi que feroit M. Descartes en cette occasion , si, par la plus grande, il entendoit celle qui ne rencontre la parabole qu’en un point.

La seconde objection de M. Descartes est contre la méthode par laquelle M. de Fermât trouve les touchantes des lignes courbes , et particulièrement contre l’exemple qu’il en donne en la parabole, duquel M. Descartes avoitdit, par son premier écrit, que si seulement, au lieu An parabole et parabolen , on met partout hyperbole et liyperbo-

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len , ou le nom de quelque autre ligne courbe telle que ce puisse être , sans y changer au reste un seul mot, le tout suivroit en même façon qu’il fait touchant la parabole ; de quoi toutefois il s’ensuivroit une absurdité. Mais, ayant vu notre réponse et connu sa faute, il prétend la corriger par son second écrit, persistant toujours en son objection , en quoi il réussit si mal, qu’au lieu d’une faute il en fait deux signalées : la première est que, voulant fabriquer un raisonnement à sa mode appliqué à l’ellipse pour le mettre en parallèle avec celui queM. de Fermât fait en la parabole, afin d’en déduire une absurdité contre sa méthode, après avoir supposé que la ligne BE touche l’ellipse au point B donné, et rencontre le diamètre CD au point E, il dit , Ergo sumendo quodlibet punctum O , in recta BE , et ab eo ducendo ordinatam 01 , a puncto autem K ordinatam BC , major erit proportio CD ad DI quam quadrati BC ad quadratum 01, quia punctum 0 est extra ellipsim. Ce raisonnement n’est pas vrai en l’ellipse de tous les points qui sont en la ligne BE universellement parlant, comme le veut la méthode , et c’est ce qui a trompé M. Descartes , qui n’a considéré le point O qu’entre les points BE et non pas aussi au-delà du point B , comme il le falloit car, en cette figure en laquelle le point O est dans la ligne BE au-delà du point B, il est faux qu’il y ait plus

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grande raison de CD à DI que du carré BC au carré 01. Or, pour raisonner suivant la méthode, il faut qu’il soit vrai de tous les points qui sont en la ligne BE , de part et d’autre du point B , ce qui arrive en la parabole seule, à laquelle cette propriété est spécifique ; c’est pourquoi M. de Fermât s’en est servi en la parabole , ce que M. Descartes ni aucun autre ne peut faire en l’ellipse ni en aucunes autres lignes courbes, auxquelles cette propriété n’est point spécifique , voire même elle ne leur convient nullement , et partant elle est inutile pour conclure d’autres propriétés spécifiques des mêmes lignes. Que si au lieu d’une ellipse on avoit proposé une hyperbole ayant pris le point O dans la ligne BE au-delà du point B, alors il y auroit eu plus grande raison de DC à DI que du carré BC au carré OI ; mais le point O étant pris entre les points BE, le raisonnement auroit pu être faux, et l’auroit été en effet, lorsque le point O ' seroit assez proche de B : partant il est clair que ce raisonnement ne vaut rien , ni en l’ellipse ni en l’hyperbole , et c’est faillir contre la méthode de vouloir l’employer en icelle, comme fait M. Descartes ; en quoi il y a une chose digne de remarque , savoir , qu’ayant raisonné par une propriété spécifique de la parabole, et laquelle ne convient pas à l’ellipse ni à l’hyperbole, la force du raisonnement

* Figure 7.

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lui a fait conclure une autre propriété spécifique (le la parabole , que CE est double de CD. Que s’il veut raisonner par une propriété spécifique de lellipse ou de l’hyperbole , telle qu’est celle-ci , posant le diamètre DF , le centre A et le reste de la figure comme auparavant, il y a plus grande raison du rectangle FCD au rectangle FID, que du carré BC au carré OI (ce qui est vrai , de quelque part que soit pris le point O à l’égard du point B); alors, par la force de ce raisonnement , il conclura une autre propriété spécifique de l'ellipse ou de l’hyperbole , savoir que AC sera à CD comme FC est à CE , laquelle propriété est vraie en l’ellipse ou en l’hyperbole seule, et se trouve directement par la méthode de M. de Fermât, ayant substitué, comme il a fait, les carrés El et EC au lieu des carrés OI et BC, et donné un nom , comme C, au diamètre DF, demeurant les autres noms comme ils sont dans les écrits tant de M. de Fermât que de M. Descartes.

La seconde faute de M. Descartes est encore pire que la première, et fort considérable en lui, qui a traité de la méthode de bien raisonner, pourcequ’elle est directement contre les préceptes du bon raisonnement et de la vraie logique , laquelle enseigne que , pour conclure une propriété spécifique de quelque sujet que ce soit, il faut, dans les propositions desquelles les arguments

sont composés, employer au moius une autre propriété spécifique du même sujet, c’est-à-dire quelle soit tirée de sa nature propre , et quelle ne convienne qu’à lui ; autrement, si on ne raisonne que sur des propriétés génériques, et qui conviennent à d’autres sujets , on ne conclura jamais des propriétés spécifiques du sujet dont il est question : c’est une vérité que doivent savoir tous ceux qui font profession de bien raisonner , et la-t quelle M. de Fermât n’a pas ignorée , puisque dans son traité il n’y a rien qui ne lui soit conforme, et qu’il emploie dans son raisonnement des propriétés spécifiques de son sujet, lesquelles, étant dextrement mêlées avec des propriétés génériques et universelles, servent pour conclure les autres propriétés spécifiques desquelles il a besoin.

Au contraire, M. Descartes, voulant à tort contredire M. de Fermât sur le sujet des tangentes de l’hyperbole , fabrique un raisonnement à sa mode, auquel il n’emploie que des propriétés si universelles, quelles conviennent non seulement à toutes les sections coniques, mais encore aux lignes droites, sans se servir d’aucune propriété spécifique. Nous laissons à juger des conséquences qui se peuvent tirer d’un raisonnement si imparfait , contraire non seulement à la méthode dont est question , mais aussi aux règles universelles de raisonner en toutes sortes de sujets. Le raisonne-

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inent est comme s’ensuit. Ayant supposé la construction de la figure comme ci-devant, il dit , major est proportio CD ad DI , quam BC ad 01 , quia punctum O est extra hyperboten cette propriété de la plus grande raison de la ligne CD à la ligue DI, que de la ligne BC à la ligne 01, outre qu’elle ne seroit pas vraie si le point O étoit pris de l’autre part du point B , qui est une faute pareille à la première , ne convient pas à l’hyperbole seule , mais aussi à la parabole et à l’ellipse , et de plus aux lignes droites BE et CE ', quand il n’y aurpit ni parabole, ni ellipse, ni hyperbole; partant, par cette propriété si universelle ainsi employée sans autres plus spécifiques , il est impossible de trouver les tangentes de l’hyperbole, qui dépendent de la nature et des propriétés spécifiques d’icelle. Si quelqu’un vouloit dire qu’au moius la méthode seroit défectueuse, en ce que l’auteur n’avertit point qu’il faut raisonner par des propriétés spécifiques , nous lui répondrons que ceux qui se mêlent de raisonner ne doivent point ignorer cette condition , qui est de la pure logique, laquelle il suppose être connue par ceux qui liront son traité, autrement il les renvoie aux écoles pour y apprendre à raisonner, et les avertit qu’ils ne se mêlent point de reprendre ses écrits qu’ils n’entendent bien la logique et le sujet dont il traite.

* Figure 8.

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Pour changer de discours , nous avons lu assez attentivement le livre de M. Descartes , qui contient quatre traités, desquels le premier se peut attribuer à la logique , le second est mêlé de physique et de géométrie , le troisième est presque purement physique, et le quatrième est purement géométrique. Dans les trois premiers, il déduit assez clairement ses opinions particulières sur le sujet de chacun; si elles sont vraies ou non, celuilà le sait qui sait tout ; quant à nous , nous n’avons aucunes démonstrations ni pour ni contre , ni peut-être l’auteur même, lequel se trouveroit bien empêché, à ce que nous croyons, s’il lui falloit démontrer ce qu’il met en avant : car il pourroit trouver que ce qui passe pour principe à son sens , pour fonder ses raisonnements , sembleroit fort douteux au sens des autres; aussi semble-t-il s’en soucier fort peu, se contentant d’être satisfait soi-même ; en quoi il n’y a rien que d’humain , et qu’un père ne fasse paroitre tous les jours envers ses enfants. Ce ne seroit pas peu si ce qu’il dit pouvoit servir comme d’hypothèses desquelles on pût tirer des conclusions qui s’accordassent aux expériences ; car en ce cas l’utilité n’en seroit pas petite. Dans le quatrième traité , nous lui marquerons une omission , et une chose qui nous semble une faute. L’omission est aux pages 4oé f , 4°5 et 4<>G , où il dit que le cercle IP

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peut couper la courbe ACN en six points, laquelle toutefois il ne peut couper qu’en quatre; mais il a omis sa compagne , décrite de l’autre part de la ligne BR , par l’intersection de la parabole et de la règle, qui se fera au point F, laquelle compagne le cercle pourra couper en deux points pour achever les six. La faute est en la page 34 7 , où ce qu’il dit d’une équation qui a deux racines égales étant vrai aux équations planes et en celles qui en dépendent, il nous semble faux aux cubiques et en celles qui en dépendent. Qu’il y j>ense, s’il croit que la chose en vaille la peine ; et, s’il désire communiquer sur ce sujet ou autres , il aura en nous avec qui traiter amiablement. Nous trouvons très bon qu’il nous récuse pour juges en la cause de M. de Fermât, pourcequ’il ignore que nous ne connoissons ni lui ni M. de Fermât qtfe de réputation. Que s’il nous doit soupçonner, c’est pour ce que nous prononcerons en faveur du bon droit, de quelque part qu’il soit ; nous voulons bien aussi qu’il fasse imprimer tout ce qui viendra de nous, pourvu qu’il ne change rien , sinon qu’au lieu du nom de M. de Fermât, il mette l’auteur du traité De maximis et minimis. Nous sommes ses très humbles serviteurs, R.

M. Pascal est absent.