I. KTTIt KS
AU R. P. MERSENNE
»U SUJF.T ne l’f.crit précf.df.rt ( Lettre 5g du tome III. )
Mon révérend père,
J’ai reçu l’écrit des amis de M. de Fermât, et je n’y fais point de réponse , à cause que je vois que celui qui l’a composé se pique; mais lorsque sa colère sera passée, vous pourrez , s’il vous plaît , lui faire connoître le peu de raison qu’il a eu de s’échauffer à vouloir prouver que la ligne EB n’est pas, absolument parlant, la plus grande, au lieu que, ne pouvant nier quelle ne fût au moins la plus grandesous certaines conditions, il eût dû montrer comment on la peut trouver par la règle de M. de Fermât, vu qu’il avoit assuré que cette règle enseigne à trouver les plus grandes sous toutes sortes de conditions, et que la question étoit de savoir si elle étoit bonne ; de quoi il n’a donné aucune autre preuve en ces deux écrits, sinon qu’il dit que c’est un témoignage de sa bonté de ce quelle ne réussit pas en cet exemple. S’il croit que cela soit bien raison-
* « Cette lettre est écrite le 14 avril i638. Voyez le gros cahier. »
Djaitized by C .OOgl
LF.TTKES.
11er, je serois marri qu’il ne dît pas qu’il raisonne très mal ; mais je vois bien que c’est la passion qui l’a transporté, et qui lui a fait nommer toutes choses par d’autres noms qu’il ne devoit. Ainsi , à cause que , pour éclaircir et confirmer ce que j’avois mis dans mon premier écrit , j’ai ajouté dans le second qu’encore que ce ne fut pas le point B qui fût donné, mais le point E , la règle de M. de Fermât ne réussiroit pas mieux pour cela en cet exemple, il dit que je me suis corrigé, et que j’ai reconnu la faute que j’avois faite. Ainsi il m’accuse d’avoir très mal raisonné en l’exemple de l’ellipse et de l’hyperbole , que je n’ai proposé que comme très mauvais pour le mettre en parallèle de celui de M. de Fermât touchant la parabole, et montrer qu’il n’j r raisonne pas bien. En quoi il fait tout de même que s’il accusoitun prédicateur d’avoir juré, à cause que, pour montrer l’énormité du péché des blasphémateurs , il auroit dit en chaire qu’ils ne jurent pas seulement le nom de Dieu , mais aussi par la mort, par le sang, par la tête , etc. Ainsi, enfin, ayant changé de discours pour censurer les essais que j’ai fait imprimer , il ne s’aperçoit pas qu’en pensant les mépriser il donne plus de sujet d’en avoir bonne opinion que ne font les louanges de ceux qui les approuvent : car on petit penser que les choses qui plaisent à ceux-ci les empêchent de
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voir , ou bien leur font dissimuler les défauts qu’ils pourraient sans cela y remarquer ; au lieu que lui, qu’on voit assez à son style n’avoir pas eu dessein de m’épargner, y reprend seulement deux choses, qui, n’étant point du tout sujettes à répréhension , font juger qu’il n’y a reconnu aucune faute, bien que je ne veuille pas dire pour cela qu’il n’y en ait point. Et de plus , ce que j’ai écrit en géométrie est un peu au-delà de sa connoissance ; car, pour ce qu’il nomme une faute en la page 3 /j 7, c’est une vérité très certaine , et dont il ne pourra ignorer la démonstration lorsqu’il aura assez étudié ce que j’ai écrit au troisième livre touchant la nature des équations. Et pour ce qu’il dit que j’ai omis en la page 4<>4 5 à savoir , la compagne de la ligne courbe que j’y décris, j’aurais commis une grande faute si j’avois manqué de l’y omettre; car il est très certain que cette compagne n’a point de lieu en la règle que j’ai donnée, ni ne peut jamais être coupée par le cercle en la façon que je le décris , et en supposant , comme j’ai fait , que toutes les racines de l’équation soient vraies, et que la quantité connue du troisième terme soit plus grande que le carré de la moitié de celle du second. (Voyez page 4o3.) Et on no peut dire que je n’ai pas connu cette ligne, car je l’ai mise très expressément en la figure de la page 338, où elle a lieu, et où je la nomme la
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contre-posée de l’autre , à cause qu’elle en est séparée par une asymptote, à la façon des hyperboles opposées. Mais ce qui l’a fait se mécoropter en ceci , c’est.qu’il n’a pu s’imaginer que cette ligne pût être coupée en six endroits par le cercle , ce qui est néanmoins très vrai ; et il arrive infailliblement , toutes et quantes fois que les six vraies racines de l’équation sont réelles sans qu’il y en ait aucune de celles que je nomme imaginaires , comme il pourra voir en examinant la démonstration qui commence en la page /jo8- Mais la figure de la page 4<>4 a aidé aussi à le tromper, à cause que la courbe n’y est coupée par le Cercle c^u’en quatre endroits , ce qui vient de ce que, supposant les quantités données suivant les mesures de cette figure , il y a deux racines en cette équation qui ne sont qu’imaginaires ; et je l’ai ainsi fait faire tout à dessein , à cause qu’aux exemples où les sixf vraies racines sont réelles , le cercle coupe si obliquement la ligne courbe qu’on ne peut bien distinguer les points de l’intersection , comme j’ai averti en la page l\\a, ligne i5. Mais il faut qu’il ait fort mauvaise opinion de moi , et fort bonne de soi-même , de se fier assez sur ses pures imaginations, et sans démonstration, pour reprendre des choses que j.’ai écrites en géométrie. Vous ne laisserez pas de l’assurer , s’il vous plaît , que je suis son très humble serviteur , et que je
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ne m’offense non plus de tout ce qui est en son papier , qu’on fait ordinairement dans le jeu de la colère de ceux qui perdent. Mais comme il n’y a pas de plaisir à jouer contre ceux qui se fâchent , ainsi je ne répondrai jamais à aucun écrit où je remarquerai plus de passion que d’envie de connoître la vérité, et je ne prendrai pas même la peine de les lire lorsque je saurai qu’ils seront tels Je suis , etc.
* « Il faut joiudre à cette lettre les questions numériques proposées par » M. de Sainte-Croix , qui font la 74 e lettre du 3° volume. »
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AU R. P. MERSENNE
REPONSE AUX QUESTIONS NUMÉRIQUES PROPOSÉES *4PAR M- DE • SAINTE CROIX*.
(Lettre 74 du tome III.)
Mon révérend père,
La première question est telle :
Trouver un trigone qui plus un trigone tétragonc fasse un tétragone , et derechef ; et que de la somme des côtés des tétragones résulte le premier des trigones, et de la multiplication d’elle par son milieu le second. J’ai donné i 5 et 120. J’attends que quelqu’un y satisfasse par d’autres nombres , ou qu’il montre que la chose est impossible.
Je remarque ici premièrement que, de la multiplication du premier trigone par son milieu, il doit résulter un second trigone, ce qui seroit manifestement impossible, si on n’entendoit parler que de la juste moitié, et qu’on 11’imaginât ces trigones qu’en nombres entiers. Mais cette difficulté m’est ôtée par l’exemple donné de i 5 et de
■ « Les questions numériques de Sainte-Croix doivent être jointes à la » 53 e lettre du 3 e volume , pareeque dans l’original de M. de la Hire ■> elles étoient jointes à ladite lettre. -
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1 20 , à cause que 8 , par lequel on multiplie 1 5 pour produire 120, n’est pas la juste moitié de i 5 . Et ainsi je vois que , pour satisfaire au sens de la question , il faut que le premier trigone soit un nombre impair , et qu’on le multiplie ou par sa plus grande ou par sa plus petite moitié , comme 1 5 par 8 ou par 7,21 par 1 1 ou par 1 0 , et ainsi des autres , car par ce moyen il produit toujours un trigone. Il est vrai que si l’on veut imaginer aussi ces trigones en nombres rompus à savoir , en les composant de la moitié d’un carré et de la moitié de sa racine , on peut faire qu’un trigone étant multiplié par sa juste moitié produise un autre trigone. Ainsi est un trigone , dont la racine est \ , car la moitié de j , qui est son carré , plus la moitié de \ fait j , et multipliant ce trigone par sa juste moitié, à savoir par -pg-, il produit , qui est aussi un trigone, dont la racine est j, car la moitié de qui est son carré, plus la moitié de ^ fait Mais on n’imagine ordinai-* rement ces trigones qu’en des nombres entiers, et l’exemple de 1 5 et de 120 , qui seroit faux en cas qu’on considérât les fractions , m’oblige à ne les point ici considérer. Outre cela , je remarque de l’ambiguïté au mot et derechef ; car on peut entendre par ce mot qu’il faut trouver un autre trigone qui , plus le même trigone tétragone qui a été joint au trigone précédent, fasse ùn tétragone;
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ou bien un trigone qui , plus un autre trigone tétragone, fasse un tétragone; ou enfin un trigone qui , plus le même trigone tétragone , et derechef un autre trigone tétragone, fasse un tétragone. Et bien que l’exemple de 1 5 et 1 20 ne s’accorde qu’avec le premier sens , il n’exclut point toutefois le second ; et le mot et derechef semble favoriser le troisième.
Or, pour le premier sens, il est facile à démontrer qu’il est impossible d’en donner aucun autre exemple en nombres entiers que ceJui de i5 et 1 20 ; car on trouve par le calcul que cherchant généralement un nombre qui étant ajouté à un trigone tétragone fasse un tétragone , et que ce nombre multiplié par sa moitié , et ajouté au même trigone tétragone , fasse derechef un tétragone , duquel la racine ajoutée à la racine de l’autre tétragone soit égale au premier nombre , il faut que la racine carrée du trigone tétragone soit composée de '^J, c’est-à-dire de 3 moins un nombre carré divisé par le double de la racine de ce même carré; au moins si on suppose que ce premier nombre doive être multiplié par sa plus grande moitié, c’est-à dire par sa juste moitié, plus un demi. Et si on suppose qu’il doive être multiplié par sa juste moitié, la racine carrée du trigone tétragone sera Et enfin, s’il doit être multiplié par sa juste moitié moins un demi , elle
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sera i zij , ce qui ne peut produire aucun nombre entier que lorsqu’on suppose la plus grande moi- ^ tié, et qu’on fajt n égal à limité; et lors le piemier nombre doit être composé de 7 f 2 n f JL-, qui est i5.
Mais si le sens de la question est qu’on puisse ajouter au second trigoue un autre trigone tétiagone que celui qu’on aura ajouté au premier , elle 11 ’est nullement impossible. Et selon la dernière interprétation , à savoir , qu’on ajoute au second trigone le trigone tétragone qu on aura ajouté au premier , et derechef un autre trigone tétragone, on peut donner des nombres fort courts pour la résoudre, à savoir, 45 et io35 pour les deux trigones demandés : car ajoutant à 4 > } le trigone tetragone 36, il vient 81 qui est carré, puis ajoutant à io35 le même 36, et derechef un antre trigone tétragone, à savçir 225, il vient 1296 qui est carré , et dont la racine, à savoir 06 , ajoutée à g , qui est la racine de 8 1 , fait 45 , et multipliant 45 par 23, qui est sa plus grande moitié, il vient io35.
On peut aussi trouver des nombres fort courts pour résoudre cette question selon 1 autre interprétation . à savoir , qu’il faille ajouter un trigone tétragone à un trigone pour faire un carré , et derechef un autre trigone tétragone à un autre trigone pour faire aussi un carré, pourvu qu’on veuille recevoir des nombres rompus pour trigones le-
tragones, non point en tant que trigones, niais en tant que tétragones; en sorte que, par exemple, soit pris pour un trigone tétragone , à cause que la racine tétragonale est et que les nombres 3 et 1 o sont des trigones, et ainsi des autres. Et il n’est pas moins inusité de refuser des, nombres rompus pour des tétragones, qu’il est d’en recevoir pour des trigones. C’est pourquoi il me semble que les deux trigones ai et 25 1 satisfont entièrement à la question proposée : car si à 2 i j’ajoute 4 5 que je nomme et ainsi j’en fais un trigone tétragone en fractions, il vient 25 qui est carré; et si à 23 i j’ajoute 25 , que je nomme pour en faire aussi un trigone tétragone en fractions, il vient 256 qui est carré, et sa racine, qui est 16, jointe à la racine de a 5 , fait 21. Et multipliant 21 par sa plus grande moitié, qui est 1 1 , il vient 23 1. Mais si on 11e veut point recevoir ici de fractions , on ne peut trouver de nombres si courts pour résoudre cette question ; et pourceque je ne sais pas combien longs pourront être les premiers qu’on rencontrera , j’aime mieux mettre ici une règle par laquelle on les peut trouver tous, et qui est, je crois , la plus simple et la plus aisée qu’on puisse donner pour cet effet, que de m’arrêter moi-même à faire le calcul qui est nécessaire pour les chercher. Voici donc la règle.
Il faut examiner par ordre tous les trigones im-
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pairs, en ôtant par ordre tous les carres impairs moindres qu’eux et plus grands que l’unité , jusqu’à ce qu’on trouve, en divisant le reste du trigone dont on a ôté un carré par le double de la racine de ce carré , que le quotient soit un trigone , et qu’ôtant le double de ce quotient , plus le double de cette racine de la plus grande moitié du premier trigone , puis multipliant le résidu par ce premier trigone , et lui ajoutant le carré du second , il vienne un trigone tétragone, ou du moins qu’il en vienne un après qu’on aura encore ajouté le premier trigone à la somme trouvée ; et lorsque cela se rencontrera , le trigone qu’on aura examiné sera le premier des deux qui sont requis pour la solution de la question ; puis en le multipliant par sa moitié on aura le second , à savoir en le multipliant par sa. plus grande moitié , si l’on a trouvé le trigone tétragone de la dernière somme sans y ajouter le premier trigone , et en le multipliant par sa plus petite moitié , s’il a fallu l’y ajouter. Par exemple, j’examine le trigone ai duquel j’ôte 9 , reste 1 2 que je divise par G , le quotient est 2 qui n’est pas trigone; c’est pourquoi il faut passer à un autre , au moins si l’on veut absolument que le premier trigone soit ajouté à un trigone tétragone en nombres entiers; mais si on se contente qu il soit ajouté à un simple tétragone , on doit poursuivre et ôter le double de 2 qui est 4 , plus ledou-
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i>Ic de 3 qui est 6, de la plus gsande moitié qui est i , et il reste î , qu’il faut multiplier par 21 ,et lui ajouter le carré de 25 il vient 25* qui n’est pas trigone tétragone; mais à cause qu’il est tétragone j’apprends par là que si, au lieu de trigones tétragones,on avoit seulement demandé des tétragones , les trigones 21 et 23 1 satisferoient à la question. De plus, au nombre trouvé 25 j’ajoute 21 , et il vient 46 qui n’est pas trigone tétragone non plus que 25; mais si, au lieu du premier trigone tétragone , ou avoit demandé un simple tétragone , et qu’au lieu du second on eût demandé un nombre composé d’un trigone tétragone , qui avec cela fût trigone , et des trois différences qui seroient entre ces trois raçines, voyant que le nombre 46 a cette propriété ,.iût connoîtroit de là que les trigones 21 et 2 1 o seroient les cherchés ; car 46 est composé de 36 -j- 5 -J* 3 *t" 2 » et 5 est . la différence qui est entre 3 et 8 , qui sont , l’un la racine tçigonale tétragonale de 36, et l’autre sa racine trigonale ; 3 est la différence qui est entre 3 et sa racine tétragonale 6 , et 2 est la différence qui est entre 6 et 8. Tout de même pour examiner le trigone 46 j’en ôte le carré 9 , reste ">6 , que je divise par le dou-, ble de la racine de 9 qui est fT , et*il vient 6 qui est un trigone ; c’est pourquoi je poursuis et de 23 j’ôte 6 -f- 1 2 reste 5 , que je multiplie par 45 ; il vient 225, auquel ajoutant 36 , il vient 261 qui
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n’est pas trigone tétragone, mais qui est composé du précédent trigone tétragone qui est 36 , et d’un autre trigone tétragone qui est2a5. De façon qu’il satisfait à la question , en cas que ce soit cela qui est demandé; et peut-être qu’on pourroit examiner tous les nombres jusques à plus de cent chiffres de suite, avant de rencontrer un exemple qui fût pareil à celui-ci ou au précédent. Ce qui fait voir que chaque nombre qu’on examine par cette règle , lorsqu’il ne donne pas la solution de la question proposée , donne celle d’une autre de même nature, et . qui est autant ou plus difficile.
La seconde question est telle :
Trouver un trirectanglc dont chacun des côtés soit l’aire d’un trirectàngle. J’ai donné 210, 720, 75o. J’attends, etc.
Ou, pourcequ’il n’y a aucune ambiguïté, je me contenterai de donner d’autres nombres pour la résoudre, à savoir, 33 o, 55 o pour les côtés
du triangle rectangle; car 33 o est aussi l’aire d’un triangle rectangle , dont les côtés sont 11, 60, 6 1 ; 44° es t l'aire d’un autre , dont les côtés sont 66 -î-p-; et 55 o est l’aire d’un friàngle rectangle, dont les côtés sont Que si on trouve
à redire à ces nombres à cause qu’il y a des fractions, il ne faut que multiplier les trois premiers par 44* y et les autres par 21 , pour les réduire à des entiers, eton a 1940^0, a/jaôôo, etc.
- Digilized by Gc
LETTK ES.
La troisième question est telle :
Trouver un barlong ou tétragone, plus sa pleure, et tel que l’agrégat dudit tétragone et de son double tétragone fait un tétragone, dont sa pleure soit le barlong ou tétragone, plus sa pleure. J’ai donné 6. J’attends, etc.
Si par un barlong on entend un vrai nombre pronic, qui ne soit composé que d’un carré plus sa racine , il ne faut qu’un trait de -plume pour montrer qu’il est impossible d’y satisfaire par au» cun autre nombre que par 6 : car posant x pour la pleure on a xx -{- x pour le barlong ; et il y a équation entre -J- 2 x 3 , -f- xx qui est son carré, et ux*-f xx qui est le tétragone plus son double tétragone ; ce qui montre que x est égal à 2 , et ainsi que 2 est nécessairement la pleure de ce barlong. Mais si par un barlong on entend un carré plus quelque nombre de ses racines^ il est aisé d’en trouver une infinité , eu, cherchaift seulement un carré qui soit moindre d’une unité que le double d’un autre ; car l’agrégat des racines de ces deux carrés est la racine du carré qui compose le barlong, et multipliant cet agrégat par la racine du carré dont le double surpasse l’autre d’une unité on a sa pleure. Comme à cause que '19 est moindre d’une unité que 5 o qui est le double de 2.5 , 7 -f- 5 , c’est-à-dire 1 2 , est la racine du carré i 44 ^ et multipliant 12 par 5 , an a 60 pour
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la pleure , en sorte que 204 est le barlong requis ; car 1 44 plus deux fois 20736 fait un carré dont la racine est ao 4 - ' » ?
La quatrième question est telle : » -v.
Trouver deux nombres, chacun desquels , comme auîsi la somme de leur agrégat, ne soit que de trois tétragones. J’ai donné 3 , xi, 14. J’attends, etc.
— , Pour résoudre cela généralement, il ne faut que prendre deux carrés impairs tels qu’on voudra , et à chacun ajouter le nombre 2 , puis les joindre ensemble : car on petit démontrer qu’aucun de
ces trois nombres ne sauroit être carré , ni com-
posé de deux carrés , ni manquer de l’être de trois. Comme si , puisque 1 et 9 sont déjà occupés par l’exemple donné, je prends les detux carrés impairs jj 5 et 49 , j’ai 27,51 et 78 pour les nombres qui Satisfont à la question.
La cinquième question est telle :
On demande aussi un nombre dont les parties aliquotes fassent le double; etparcequ’on en- a déjà trois, qui sont 120, 672 et 523776, il est question de trouver le quatrième, lequel est 1476304896 , et il se compose de 3 , 11, 43 , 127 et 8192, multipliés l’un par l’autre.
Au reste , mon révérend père , je vous crie merci , et j’ai les mains si lasses d’écrire cette lettre , que je suis contraint de vous supplier et de vous
LF.TTRKS.
conjurer de ne me plus envoyer aucunes questions «le quelque qualité qu’elles puissent être ; car lorsque je les ai , il est malaisé que je m’abstienne de ♦ » *
les chercher, principalement si je sais qu’elles viennent , comme celles-ci , de quelque personne de mérite ; et m étant proposé' une étude pour laquelle tout le temps de ma vie^ quelque longue qu’elle puisse êtofe , ne sauroit suffire , je ferois très mal d’en employer aucune partie à des choses qui n’y servent point. Mais outre .cela, pour ce qui est des nombres , je n’ai jamais prétendu d’y rien savoir „ et je m’y suis si peu exercé / que je puis dire avec vérité que, bien que j’aie autrefois appris la division et l’extraction de la racine carrée, il y a toutefois plus de dix-huit ans que je ne les sais plus , .et si j’avois besoin de m’én servir, il faudroit que je les étudiasse dans quelque livre d’arithmétique , ou que je tâchasse de les inventer, tout de même que si je ne les avois jamais sues. Je suis, etc.
LETTRES. 5l
Atf R. P. MERSENNE \
(Lptfre 60 du tome III.)
Mon révérend père,'
Il y a déjà quelques jours que j’ai reçu votre dernière du 26 mars, où vous me mandez les exceptions de ceux qui soutiennent 1 écrit de M. de Fermât , De maximis , etc. Mais elles ont si peu de couleur , que je n’ai pas cru quelles valussent la peine que j’v répondisse. Toutefois, pourceque je n'ai point eu depuis de vos nouvelles, et que je crains que ce ne soit l’attente de ma réponse qui vous fasse différer de m’écrire, j’aime mieux mettre pour une fois tout ce que j’en pense, afin de n’avoir jamais plusbesoin d’en parler. Premièrement, lorsqu’ils disent qu’il 11’y a point dé tnaxima dans la parabole , et que M. de Fermât trouve les tangentes par une règle du tout séparée de celle dont il use pour trouver maximam, ils lui font tort en ce qu’ils veulent faire croire qu’il ait ignoré que la règle qui enseigne à trouver les plus gran-
’ « Cette lettre esl la 12 e des manuscrits de M. delà Hire , fixement « datée au 3 mai i 638 . Le manuscrit de M. de la Hire va justement jus- » qu’à la huitième ligne de la page 1 1 1 , et le reste n’est qu’un éclaircis- » sement trouvé parmi les papiers de M. Descartes, et qui n’a peut-être .» jamais qtc envoyé. Voyez le gros cahier. •> *
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<les, sert aussi à trouver les tangentes des lignes courbes, ce qui seroit une' ignorance très grossière, à cause que c’est principalement à cela qu’elle doit, servir, et ils démentent son écrit, où, après avoir expliqué sa méthode pour trouver les plus grandes , il met expresséirfent ad superiorem methodum, inventionem tangenlium ad data puncta in lineis quibuscunque curvis , rcducimus. Il est vrai qu’il ne l’a pas suivie en l’exemple qu’il en a donné touchant la parabole, mais la cause en est manifeste : car étant défectueuse pour ce cas-là et ses semblables ( au moins en la façon qu’il la propose), il n’aura pu trouver son compte en la voulant suivre , ce qui l’aura obligé de prendre un autre chemin , par lequel, rencontrant d’abord la conclusion qu’il savoit d’ailleurs être vraie, il a pensé avoir bien opéré, et n’a pas pris garde à ce qui manquoit en son raisonnement. Outre cela , lorsqu’ils disent que là ligne EP, tirée au-dedans de la parabole, est, absolument parlant, plus grande que la ligne BE,ils ne disent rien qui serve,à leur cause : car il n’est pas requis qu'elle soit plus grande absolument parlant, mais seulement sous certaines conditions , comme ils ont eux-mêmes défini au commencement de l’écrit qu’ils m’ont envoyé, où ils disent que cette invention de M. de Fermât est touchant les plus grandes et les moindres lignes, ou les plus grands et les moindres espaces que l’on puisse mener ou faire
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sous certaines conditions proposées , et ils ne sauroient nier que la ligne EB ne soit la plus grande qu’on puisse mener du point E jusques à la parabole , sous les conditions que j’ai proposées , à savoir, en sorte qu elle n’aille que jusqu’à elle sans la traverser , comme ils ont assez dû entendre dès le premier coup. Mais pour faire mieux voir que leur excuse n’est aucunement valable , je donnerai ici un autre exemple où je ne parlerai ni de tangente ni de parabole, et où toutefois la règle de M. de Fermât manquera en même façon qu’au pré cèdent. Aussi bien vous vous plaignez quand je vous envoie du papier vide, et vous ne m’avez poinl donné d’autre matière pour remplir cette; feuille.
Soit donné le cercle BND', et que le point E qui en est dehors soit aussi donné, et qu’il faille tirer du point E vers ce cercle une ligne droite, en sorte que la partie de cette ligne qui sera hors de ce cercle entre sa circonférence et le point donné E . soit la plus grande : voici comme la règle donnée par M. de Fermât enseigne qu’il y faut procéder Ayant mené la ligne EDN par le centre du cercle et sa partie ED étant nommée B, et sa partie ÜN qui est le diamètre étant C, statuatur quilibel quœstionis terminus esse A; ce qui ne se peut mieux 'faire qu’en menant BC perpendiculaire sur DM , et prenant A pour CD et inventa muxima, etc. Pour
’ Figure 9. .» •
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trouver donc cette rwiximam , à savoir BE, -puisque DC est A , et DN est C, le carré de BC est A in C — A q , et puisque DC est A ef DE Est B , le carré de CE est A q f B q f.A in B bis, lequel joint au carré de BC tait le carré, de la plus grande BE , qui est A in Cf B q + A in B bis. Ponatur rursus idem qui prias terminus esse A E , ilerumque inveniatur maxima. Ce qui ne se peut faire autrement, ensuite de ce qui a précédé, qu’en pôsant Af E pour DC , et lors le carré de - BC est C in A -f C i„ E — Aq — a" in Y. bis — F.q. Puis le carré de CE est A? + A in E bis f E q f n 7 t A in B bis -f- E in B bis, lequel étant joint à l’autre fait A 1 in C f E t h C f B<y f A in B bis f E in B bis pour le carré de la plus grande B E; adœquentur , c’gstdire qu’il faut poser A in C Bq -J" A in B bis , égal à in C f E in C + l)q f A in B bis' E in B bis. Et demptis ccqualibus , il reste E in C f E in B bis égal à rien ; ce qui montré manifestement 1 erreur dé la règle! Et afin qu’il ne puisse plus y avoir personne si aveugle qu’il ne la voie ,‘ je dirai ici en, quelle sorte on la peut corriger : car , bien que j’en aie touché un mot en ce que j’ai écrit à M. Mydorge, il y est néanmoins en telle façon, que je ne désirois pas encore, que. tout le monde le put entendre. Premièrement donc, à ces mots , et inventa maxima , il est bon d’ajouter , vel alia quælibet cujus ope possit postea maxima inveniri. Car sou-
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vent, en cherchant ainsi la plus grande, on s’engage en beaucoup de calculs superflus. Toutefois cela n’est pas un point essentiel; mais le principal, et celui qui est le fondement de toute la règle, est omis en l’endroit où sont ces mots : Adcequentur duo homogenea , maxime et minimal, œqualia , lesquels ne signifient autre chose, sinon que la somme qui explique maximam in lerminis sub A.gradu utlibet involulis , doit être supposée égale à celle qui l’explique in terminis sub A et E gradibus , utlibet coefficientibus. Et Vous demanderez , s’il vous plaît , à ceux qui la soutiennent , si ce n’est pas ainsi qu’ils l’entendent , avant que de les avertir de ce qui doit y être ajouté : à savoir , au lieu de dire simplement adœquentur , il falloit dire ada quentur tali modo , ut quantitas per istam œqualionem invenienda , sit quidem una, cum ad maximam aut minimam referlur , sed emergens ex duabus qua per eandem œquationem possent inveniri , essentquc
inæquales , si ad minorem maxima , vel ad majorem * *■ « minima referrentur. Ainsi, en l’exemple que je viens
de donner , ce n’est pas assez de chercher le carré
de la plus grande en deux façons ; mais outre cela,
il faut dire , comme ce carré lorsqu’il est A in G -j-
Bq -j; A in B bis , est au même carré , lorsqu’il est
 in C-f” E in C-|-B7 -f A in B bis f E m B bis , ainsi
C in A — A q, qui est le carré de BC ,est àG in A-f-C/
in E — A q — A in E bis — E7, qui est aussi le inertie
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carré. Puis , jnultipliant le premier de ces carrés par le quatrième , on le doit supposer égal au second multiplié par le troisième, etaprès, en démêlant cette équation suivant la règle, on trouve son compte, à savoir que CD est , comme il doit être.
Tout de même, en l’exemple de la parabqle.qui ayoit été pris par M. de Fermât , et que j’ayois suivi en mon premier écrit , voici comme il faut opérer : soit BDN ’ la parabole donnée, dont DC est le diamètre , et que du point donné B il faille tirer la ligne droite BE,qui rencontre DC au point et qui soit la plus grande qu’on puisse tirer du même point E , jusques à la parabole ( à savoir au dehors de cette parabole , comme ceux qui ne sont point sourds volontaires entendent assez de ce que je la nopme la plus grande ) , je prends B pour BC et D pour DC , d’où il suit que le côté droit est et , sans m’arrêter p chercher la plus grande , je cherche seulement le carré de BC , en d’autres termes que ceux qui sont connus, en prenant A pour la ligne CE, et par après en prenant A -j- E pour la même : à savoir, je la cherche premièrement par le triangle BCE : car, comme A est à B, ainéi A -f E est à AiJLiliil, qui par conséquent représente BC. Et son carré est de 11!" *1 1 A ^ B ?-?“ t H* B . . Puis je cherche par la parabole ; car , quand EC est' A -f- E , DC est D -j- E ,
1 Figure ro. * : v »
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et le carré de BC est * p f%- E , qui dt»it être égal au précédent, à savoir égal à w
D’où Fon trouve , en süivant la Tègle, que A , c’est-à-dire CE , est double de D , c’est-à-dire CD, comme elle doit être. Or il est à remarquer que cette condition, qui étôit omise , est la même que j’ai expliquée en la page 346 , comme le fondement de la méthode dont je me suis servi pour ' trouver les tangentes , et qu’elle est aussi tout le fondement sur lequel la règle de M. de Fermât doit être appuyée ; en sorte que , l’ayant omise , il fait paroître qu’il n’a trouvé sa règle qu’à tâtons , ou du moins qu’il n’en a pas conçu clairement les principes. Et ce n’est pas merveille qu’il l’ait puformer sans cela, car elle réussit en plusieurs oas, nonobstant qu’on ne pense point à observer cette condition, à savoir en ceux où Tort ne peut venir *à l’équation qu’en l'observant , et la plupart sont de ce genre. Pour ce qui est de l’autre article , bù j’ai repris la façon dont se sert M. de Fermât pour trouver la tangente de la parabole, vous dites qu’ils assurent tous qu’il faut prendre une propriété spécifique de l’hyperbole ou de l’ellipse, pour en trouver les tangentes, en quoi nous scffnme^ d’accord ; car j’assure aussi la même chose, et j’ai apporté expressément les exemples de l’ellipse et de l’hyperbolè, qui concluent très mal pour montrer queM. de Fermât conclut mal aussi touchant la pa-
rai) oie jjdbht il ffe^don ne point de propri&té spé- ^ cifjgne^^an'Üe qu’il y « plu^ graritîe proportion de'ÇB à ÔI que ^ii«k:dta-é,dfê l BC 1 au «uréde est^hujileraeftt une- propriété spétÿfiqAe de d^paraUyle , vu q quelle convient à* toutes les *eHip|es ; et à iu»ë infinité tfautres ligtfSjg courbas , au moins lorsqu’on prend le pqjnt O entre les paifîtsjB v efc E ctrfhme il a fait;'ej s’il eût pris audelà ?,ejle eût convenu aux hyperboles. ) De façôn qtîe pour la rendre spécifique , il» ne falloit pas simplement diFfe sumendo quodlibet punctum in recta fi£, inasil y falloit ajouter sive sumalur illudintra puncta B et B, sive ultra punctum B , in linea +BB producta. Et cela ne peut être sous-entendu eu, sôn discours , à cause qu’il y décrit la ligne UE comme terminée des deux côtés, à savoir, d’un côté par le point B» qui est donné , et de l’autre par la rencontre du diamètre CD.
Outre cela il falloit foire deux équations ,et mon- , trer qu’on trouve la même chose eu supposant <EI être A -f E , que lorsqu’on le suppose être A—
, E , car sans cela le raisonnement* dé cette opération est imparfait et ne conclut rien., Voilà sérieusement la 1 * vérité de cette affaire.
Au reste , pour ce que vous ajoutez, que ces messieurs qui ont pris connoissance de notre entretien ont envie de nous rendre amis M. de Fermât et moi , vous les assurerez, s’il votis plaît, qu’il
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n’y a personne au monde qui recherche ni qui . chéri sèe l’amitié des honnêtes gens plus que jé fais , et que je ne crois' pas qu’il me piiîsse savoir mau- • . vais gré de ce que j’ai dit franchement mon opinion de son écrit, vu qu’il m’y avoit provoqué , .
C’est un exercice entièrement contraire à mon humeur que de reprendre les autres , et je ne sache point l avoir encore jamais tant pratiqué ' qu’en cette occasion ; mais je ne la pou vois évi- * ter après son défi, sinon en le méprisant, cë qui ^ f l’eût sans doute plus offensé que ma réponse. Je suis, etc. ’. •
