POUR DÉMONSTRATION AU PRINCIPE SUPPOSÉ CI-DESSUS

(Lettre 74 du tome I.)

Mon révérend père,

Je pensois différer encore huit ou quinze jours à vous écrire, afin de ne. vous importuner pas trop souvent de mes lettres. Mais je viens de recevoir votre dernière du 1 " septembre, laquelle m’apprend qu’on fait difficulté d’admettre le principe que j’ai supposé en mon examen de la question géostatique; et poureeque , s’il netoit pas vrai , tout le reste que j’en ai déduit le seroit encore moins , je ne veux pas attendre un seul jour à vous en envoyer une plus particulière explication.

1 «■ Voyez la lettre 92 du 2' vol., dans l'alinéa qui commence : La » pensée de M. Desargues.... »

■ ” 1 -a 74 ' <tn tome I est la 17' de M. de la Hire , et fixement datée par ■* M. Descartes du 12 septembre i 638 . »

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jag

Il faut surtout considérer que j’ai parlé de la force qui sert pour lever un poids à quelque hauteur , laquelle force a toujours deux dimensions , et non de celle qui sert en chaque point pour le soutenir , laquelle n’a jamais qu’une dimension ; en sorte que ces deux forces diffèrent autant l’une de l’autre qu’une superficie diffère d’une ligne. Car la même force que doit avoir un clou pour soutenir un poids de 100 livres un moment de temps, lui suffit aussi pour le soutenir un an durant, pourvu quelle ne diminue point. Mais la même quantité de cette force qui sert à lever ce poids à la hauteur d’un pied ne suffît pas , eodem numéro , pour le lever à la hauteur de deux pieds ; et il n’est pas plus clair que deux et deux font quatre , qu’il est clair qu’il en faut employer le double. Or, pourcequece n’est rien que cela même que j’ai supposé pour un principe , je ne saurois deviner sur quoi est fondée la difficulté • qu’on fait de le recevoir. Mais je parle ici de toutes celles que je soupçonne, lesquelles ne viennent, pour la plupart, que de ce qu’on est déjà trop savant aux mécaniques , c’est à-dire de ce qu’on est préoccupé des principes que prennent les autres touchant ces matières , lesquels n’étant pas du tout vrais trompent d’autant plus qu’ils semblent plus l’être.

La première chose dont on peut en ceci être préoccupé, est que plusieurs ont coutume de con-

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fondre la considération de l’espace avec celle du temps ou de la vitesse. En sorte que, par exemple, au levier, ou, ce qui est le même, en la balance BCDA , ayant supposé que le bras AB ' est double de BC , et que le poids en C est double du poids en A , et ainsi qu’ils sont en équilibre , au lieu de dire que ce qui est cause de cet équilibre est que, si le poids C soulevoit ou bien étoit soulevé par le poids A, il nepasseroit que par la moitié d’autant d’espace que lui , ils disent qu’il iroit de la moitié plus lentement ; ce qui est une faute d’autant plus nuisible qu’elle est plus malaisée à reconnoître, car ce n’est pas la différence de la vitesse qui fait que ces poids doivent être l’un double de l’autre, mais la différence de l’espace : comme il paroît de ce que pour lever , par exemple , le poids F avec la main jusques à G , il n’y faut point employer une force qui soit justement double de celle qu’on y aura employée le premier coup si on le veut lever deux fois plus vite, mais il y en faut employer une qui soit plus ou moins grande que la double, selon la diverse proportion que peut avoir cette vitesse avec les causes qui lui résistent , au lieu qu’il faut une force qui soit justement double pour le lever avec même vitesse deux fois plus haut , à savoir jusques à H. Je dis qui soit justement double , en comptant qu’un et un sont justement deux : car il faut employer

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certaine quantité de cette force pour lever ce poids de F jusques à G , et derechef encore autant de la même force pour le lever de G jusques à H. Que si j’avois voulu joindre la considération de la vitesse avec celle de l’espace, il m’eût été nécessaire d’attribuer trois dimensions à la force , au lieu que je lui en ai attribué seulement deux, afin de l’exclure. Et si j’ai témoigné tant soit peu d’adresse en quelque partie de ce petit écrit de statique, je veux bien qu’on sache que c’est plus en cela seul qu’en tout le reste , car il est impossible de rien dire de bon et de solide touchant la vitesse, sans avoir expliqué ce que c’est que la pesanteur , et ensemble tout le système du monde. Or, à cause que je ne le voulois pas entreprendre , j’ai trouvé moyen d’omettre cette considération , et d’en séparer tellement les autres que je les pusse expliquer sans elle ; car encore qu’il n’y ait aucun mouvement qui n’ait quelque vitesse , toutefois il n’y a que les augmentations ou diminutions de cette vitesse qui sont considérables ; et lorsque, parlant du mouvement d’un corps, on suppose qu’il se fait selon la vitesse qui lui est la plus naturelle, c’est le même que si on ne la considéroit point du tout.

L’autre raison qui peut avoir empêché qu’on n’ait bien entendu mon principe, est qu’on a cru pouvoir démontrer sans lui quelques «unes des choses que je ne démontre que par lui ; comme, par

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exemple, touchant la poulie ABC 1 , on a pensé que c’étoit assez de savoir que le clou en A soutient la moitié du poids B, pour conclure de là que la main en C n’a besoin que de la moitié d’autant de force pour soutenir ou soulever ce poids ainsi appliqué à cette poulie, qu’il lui en faudroit pour le soutenir ou soulever sans elle. Mais encore que cela explique fort bien comment se fait l’application de la force en C à un poids double de celui qu’elle pourroitlever sans poulie, et que je m’en sois servi moi-même , je nie pourtant que ce soit simplement à cause que le clou A soutient une partie du poids B, que la force en C, qui le soulève, peut être moindre que s’il n’étoit point ainsi soutenu : car si cela étoit vrai, la corde CE étant passée autour de la poulie D, la force en E pourroit tout de même être moindre que la force en C, à cause que le clou A ne soutient pas moins ce poids qu’auparavant, et qu’il y a encore un autre clou qui le soutient, à savoir celui auquel la poulie D est attachée. Ainsi donc, pour ne point faillir , de ce que le clou A soutient la moitié du poids B, on ne doit conclure autre chose, sinon que par cette application l’une des dimensions de la force qui doit être en C, pour lever ce poids, diminue de moitié, et que l’autre ensuite devient double; de façon que si la ligne FG repréjenfe la force qu’il faudroit pour soutenir

1 Figure 5o ter.

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en un point le poids B, sans l’aide d’aucune machine, et le rectangle GH celle qu’il faudroit pour le lever à la hauteur d’un pied , le soutien du clou A diminue de moitié la dimension qui est représentée par la ligne FG, et le redoublement de la corde ABC fait doubler l’autre dimension, qui est représentée par la ligne FH ; et ainsi la force qui doit être en C pour lever le poids B à la hauteur d’un pied est représentée par le rectangle IK ; et comme on sait en géométrie qu’une ligne étant ajoutée ou ôtée d’une superficie ne l’augmente ni ne la diminue de rien du tout , ainsi doit-on ici remarquer que la force dont le clou A soutient le poids B, n’ayant qu’une seule dimension, ne peut faire que la force en C , considérée selon ses deux dimensions, doive être moindre pour lever ainsi le poids B que pour le lever sans poulie.

La troisième raison qui aura pu faire imaginer de l’obscurité en mon principe, est qu’on n’a peutêtre pas pris garde à tous les mots par lesquels je l’explique; car je ne dis pas simplement que la force qui peut lever un poids de 5 o livres à la hauteur de quatre pieds en peut lever un de 200 livres à la hauteur d’un pied , mais je dis qu’elle le peut, si tant est qu’elle lui soit appliquée : or est-il qu’il est impossible de l’y appliquer que par le moyen de quelque machine, ou autre invention , qui fasse que ce poids ne se hausse que d’un pied pendant

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([lie toute cette force agira en toute la longueur de quatre pieds , et ainsi qui transforme le rectangle par lequel est représentée la force qu’il faut pour lever ce poids de 4oo livres à la hauteur d’un pied , en un autre qui soit égal et semblable à celui qui représente la force qu’il faut pour lever un poids de 5o livres à la hauteur de quatre pieds.

Enfin, peut-être qu’on a eu moins bonne opinion de ce principe à cause qu’on s’est imaginé que j’avois apporté les exemples de la poulie, du plan incliné, et du levier, afin d’en mieux persuader la vérité, comme si elle eût été douteuse; ou bien que j’eusse si mal raisonné que de vouloir prouver un principe qui doit de soi être si clair qu’il n’ait besoin d’aucune preuve, par des choses qui sont si difficiles qu’elles n’avoient peut-être jamais cidevant été bien démontrées par personne. Mais aussi ne m’en suis-je servi que pour faire voir que ce principe s’étend à toutes les matières dont on traite la statique; ou plutôt j’ai usé de ce prétexte pour les insérer en mon écrit, à cause qu’il meut semblé être trop sec et trop stérile, si je n’y eusse parlé d’autre chose que de cette question de nul usage, que je m’étois proposé d’examiner.

Or on peut assez voir de ce qui a déjà ici été dit comment les forces du levier et de la poulie se démontrent par mon principe; si bien qu’il ne reste

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plus que le plan incliné, duquel on verra clairement la démonstration par cette figure', en laquelle FG représente la première dimension de la force qui décrit le rectangle FH, pendant qu’elle tire le poids D sur le plan BA par le moyen d’une corde m parallèle à ce plan et passée autour de la poulie E , en sorte que GH, qui est la hauteur de ce rectangle, est égale à la ligne BA, le long de laquelle se doit mouvoir le poids D pendant qu’il monte à la hauteur de la ligne CA. Et NO représente la première dimension d’une autre semblable force, qui v décrit le rectangle NP pendant quelle fait monter le poids L jusques à M. Et je suppose que la ligne ML est égale à BA, double de CA, et que NO est • égale à FG, et OP à GII. Après cela je considère que lorsque le poids D se meut de B vers A, on peut imaginer que son mouvement est composé de deux autres, dont l’un le porte de BR vers CA, pour le- • quel il ne faut aucune force, ainsi que supposent tous ceux qui traitent des mécaniques, et l’autre • le hausse de BC vers RA, pour lequel seul il faut de laforce; en sorte qu’il n’en faut ne plus nernoins pour le mouvoir suivant le plan incliné BA, que • pour le mouvoir suivant la perpendiculaire CA : *

car je suppose que les inégalités, etc., du plan n’era- * pèchent point, ainsi qu’on a coutume de faire en • '

traitant de telle matière. Ainsi donc toute la force

1 Figure Si. 4

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FTI n’est employée qu a lever le poids D à la hauteur de la ligne CA ; et pourcequ’elle est entièrement égale à la force NP, qui est requise pour lever le poids L à la hauteur delà ligne LM, qui est double de CA, je conclus par mon principe que le poids D est double du poids L : car puisqu’on doit employer autant de force pour l’un que pour l’autre, il y a autant à lever en l’un qu’en l’autre; et il ne faut que savoir compter jusques à deux pourconnoître que c’est autant de lever 200 livres depuis C jusques à A , que d’enlever 1 00 livres depuis L jusques à M, puisque ML est double de CA, etc.

Vous me mandez aussi que je devois plus particulièrement expliquer la nature de la spirale qui représente le plan également incliné, et la façon dont se plie une corde lorsqu’ayant été toute droite et parallèle à l’horizon, elle descend librement vers le centre de la terre , et la grandeur de la petite sphère en laquelle se trouve le centre de gravité d’une autre plus grande sphère. Mais pour cette spirale elle a plusieurs propriétés qui la rendent assez reconnoissable : car si A est le centre de la terre', et que ANBCD soit la spirale , ayant tiré les lignes droites AB, AC, AD, et semblables, il y a même proportion entre la courbe ANB et la droite AB qu’entre la courbe ANBC et la droite AC ou ANBCD et AD, et ainsi des autres. Et si on tire les

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tangentes DE, CF, GB, etc., les angles ADE, ACF, ABC , etc. , seront égaux. Pour la façon dont se plie une corde en tombant , je l’ai, ce me semble, assez déterminée par ce que j’en ai écrit, aussi bien que le centre de gravité d’une sphère ; il est vrai que j’en ai omis la preuve ; mais je vous dirai que ce n’est pas mon style de m’arrêter à de petites démonstrations de géométrie, qui peuvent aisément être trouvées par d’autres , et que ceux qui me connoîtront ne sauroient juger que j’ignore '.

Il faut se ressouvenir ici de ce que M. Descartes a désiré qui fût rayé.

■ Je trouve plusieurs autres points dans vos lettres , auxquels je dois répondre ; mais il est fort tard , et je m'assure que vous voulez bien que j'aie un peu soin de moi-même. Je suis environné de fièvres de tous cotés ; tout le monde en est malade en ces quartiers , et il n’y a que moi seul en ce logis qui en aie été exempt jusqu'à présent. M. Banni us en a bien eu sa part à Harlem , mais j’apprends qu’il se porte mieux. Il y a long-temps qu’il m’avoit dit qu’il vous écri t'oit ; peut-être que son mal l’eu a empêché. Je répondrai an reste de vos lettres lorsque j’ cuirai eu nouvelle de mes précédentes , ou je vous envoyais la solution de toutes les questions qu'un de vos géomètres a voit conféré ne savoir pas ; mais n'attendez plus rien de moi , s'il vous plaît , en géométrie , car vous savez qu’il y a long-temps que je proteste de ne mfy vouloir plus exercer , et je pense pouvoir honnêtement y mettre fin. Je suis, mon révérend père , etc. Du ia septembre i638.

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