A M. HARDY

(Lettre 61 du tome III.)

Monsieur,

Au reste , je vous suis très obligé de ce que vous avez soutenu mon parti, touchant la règle de maximis de M. de Fermât; et je ne m’étonne point de ce que vous n’en jugez pas plus avantageusement que je n’ai fait, car, de la façon qu’elle est propos sée , tout ce que vous en dites est véritable. * . r ' Mais pourceque j’ai mis , dès mon premier écrit %* qu’on pouvoit la rendre bonne en la corrigeant , et que j’ai toujqurs depuis soutenu la même chose, je m’assure que vous ne serez pas marri que je ' vous en dise ici le fondement; aussi bien' je me

persuade que ces messieurs qui l’estiment tant ne

' «. Cette lettre est de M. Descartes à M. Hardy. Elle est certainement ., écrite depnis la 60° de ce volume, fixement datée da 3 mai i638, puis- » que snr la fin il cite quelque chose de la 60' ; elle est aussi écrite .. avant la 65' de ce volume, datée fixement du a3 août t638 , puisque dans cette 65 e il est cité quelque chose de cellc-ci. C’est ce qui fait que » je fixe celle-ci au t5 mai i638. »

* » Voyez la 56' de ce volume, vers le milieu. «

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l’entendent pâs, ni peut-être même celui qui en est l’auteur. ... \ • •

, Soit donc la ligne courbe donnée ABD et que le point B de cette ligne soit aussi donné, à savoir, je fais l’ordonnée BC || b , et le diamètre .AC || c ; et qu’on demande un point en ce diamètre comme E qui soit tel , que la ligne droite qui en sera menée vers B coupe cette courbe en B et encore en un autre point comme IE, en sorte que l’ordonnce DF soit à l’ordonnée BC,en raison donnée, par exemple, comme g à h. Vous savez bien que pour trouver ce pointE,on peut poser EC || À et ÇF || E , et dire premièrement, à cause des triangles semblables ECB et EFD , comme CE || a est à

BC || b , ainsi EF || a -j- e , est à DF , qui par con-

séquent est DF || Puis, à cause que DF est l’une dés ordonnées en ■ la ligne courbe , on la trouve aussi en , d’autres termes , qui seront divers selon les diverses propriétés de cette courbe. Par exemple, si c’est la première des lignes que M. de Fermât a imaginées, à l’imitation de la parabole , c’est-à-dire celle en laquelle les segments du diamètre ont entre eux même proportion que les cubes des ordonnées, on dira, comme AC ||‘c est

à FA || c -f- e , ainsi le cube de BC qui est b* est au cube de DF , qui par les termes trouvés ci-dessus est b5j3 ' ' 51,3 Ml ' - . Car ceci est le cube

■ Figure 12.

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de *** [ . Puis multipliant les moyennes et les extrêmes de ces quatre proportionnelles c | c-J- e | b 3 | et on a ^ -j- e b 3 1|

. Et divisant le tout par b 3 , et le multipliant par a 3 , il vient a 3 c -|- a 3 e || ca 3 -}*3caae -f- 3 caee -f- ce 3 , et ôtant de part et d’autre ca 3 , il reste a 3 e || 5caae-f- 3 cdce -f ce 3 . Et enfin , pourceque le tout se peut diviser par e, il vient a 3 1| 3caa -j* 3cae -f* ce 3 . Mais pourcequ’il y a ici deux quantités inconnues, à savoir a et e,et qu’on n’en peut trouver qu’une par une seule équation , iL en faut chercher encore une autre , et il est aisé par la proportion des lignes BC et DF ' qui est donnée , à savoir comme g est à h , ainsi BC || b est à DF || — a tb< ? , et par conséquent bh || RïLtîËL, ou bien ha || ga -{- ge ; et par le moyen de cette équation on trouve aisément l’une des deux quantités a ou e ; au lieu de laquelle il faut par après substituer en l’autre équation les termes qui lui sont égaux, afin de chercher ensuite l’autre quantité inconnue. Et c’est ici le chemin ordinaire de l’analyse pour trouver le point E , ou bien la ligne CE , lorsque la raison qui est entre les lignes BC et DF est donnée. Maintenant, pour appliquer tout ceci à l’invention de la tangente (ou, ce qui est le même, de la plus grande), il faut seulement considérer que, lorsque EB est la tan-

1 Figure i3.

Lettres.

"ente , la ligne DF n’est qu’une avec BC , et toutefois qu’elle doit être cherchée par le même calcul que je tiens de mettre, en supposant seulement la proportion d’égalité au lieu de celle que j’ai nommée de g à h , à cau^e que DF est rendue égale à BC par EB , en tant quelle est la tangente (au moins lorsqu’elle l’est) en même façon qu’elle e?t rendue double ou triple',' etc. , de BC par la même EB, en tant quelle coupe la courbe en tel ou tel point, lorsqu’elle l’y coupe. Si bien qu’en la seconde équation, au lieu de ha || ga -f- ge, pourcequeh est égale à g , on a seulement a || a -j- ç, c’est-à-dire e égal à rien. D’où il est évident que pour trouver la valeur de la quantité a il ne faut que substituer un zéro en la place de tous les termes multipliés par e , qui sont en la première équation , laquelle est a 3 1| 3 caa-j-3 cae -}-cee , c’est-à-dire qu’il ne faut que les effacer. Car une quantité réelle étàht multipliée par une autre quantité imaginaire, qui est nulle, produit toujours rien. Et ceci est l’élision des homogènes de M. de Fermât, laquelle ne se fait nullement gratis en ce sens-là. Or cette élision étant faite , il ne reste ici en notre équation que>a B || 3 caa,oubiena || 3 c;d’où l’on apprend quelorsque EB est la tangente de la ligne courbe proposée , la ligne EC est nécessairement triple de la ligne AC.

Voilà donc le fondement de la règle, en laquelle il y a virtuellement deux équations, bien qu’il ne

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soit besoin d’y faire mention expresse que d’tine , à cause que l’autre sert seulement à faire effacer ces homogènes ; mais il est fort vraisemblable que M. de Fermât ne l’a point ainsi entendue, et qu’il ne l’a trouvée qu’à tâtons, vu qu’il y a omis la principale condition , à savoir celle qui présuppose ce fondement , ainsi que vous pourrez voir , s’il vous plaît, par ce que j’ai mandé ci-devant devoir y être corrigé dans une lettre adressée au révérend père Mersenne. Je suis , etc.

AU R. P. MERSENNE •

( Lettre fia du tome III. )