VT

(i)Ces deux expressions sont les mêmes; par conséquent l’ace d’elles est fautive. On peut faire la même remarque sur d’autres expressions des deux pages suivantes. La première édition est pleine de fautes, dont on n’a pu corriger que les plus légères.

des-^ = *\/»-\4 +V\rV~

des = y /.-V^r'Vî-yT

des -A-f • • • • = y/»\A— -t-V ; - »

des tt- • • 4 - • = y/sWZ&W

des TT< ’• = y/ a +\4 -|/j - VT „

et ainsi des autres à l’infini.

De la même manière la corde de la i5 e partie de la* demi-circonférence

est * *• = y/i-îV^s -Vt +-: y/~

des-n-.. . . V = v/hOtV^-V^-iVs -

des — \/ 5-V V-f-1 V~ï~

des -pj- = ^ ~V~£~

1 des tV = y^CTT^ *“

( ^ es ^ = y î —7 y/ s + \/ v — ; v/T"

• Manque ici le signe.

1>E RF.WÉ DESCARTES.

des-H.. ; » . *= \/ •^Vs + v/v-^v'T- *

(les -14..../. = x / 1 + 1 |/s + v^¥ + :

du ^

9 * ” jV| a# •

TU.» IO nnilt n/i />A£T AV nVt AA Wi r>'« a

• jVJajs peut-être ces' expressions peuvent - elles être simplifiées, comme par .exemple la valeur de v}

* '^jj/ ^ly ' —

peut se rétluire à {-^5 4 . y/ v — î v/~ T *

JEt cette table peut être continuée à l’infini , si l’on continue à chercher la valeur de la corde de

la moitié de chaque arc,* d’après la valeur de la corde de l’arc entier, delà manière,suivante : *

Soit a la corde d’une partie de la circonférence ,

la corde de la*mpitié de cette partie sera . % •

et la corde du supplément 9era

Au moyeirtde. cette seule règle on expriqie en nombres Jby? les. àiulS ^ue la géométrie peiït trouver. >*¥ tv .• . .

•Celte table étant dohc formée, si un triangle est donné dont on veuille trouver les angles, je décris un triangle qui lui soit semblable* dans le cercle

dont le rayon est = 1 ^ et ensuite je regarde à . qu

les

cnn de's nombres de notre table , alors nous affirmerons démonstrativement que nul des ang!es„du triangle donné ne peut sfe trouver par la géométrie simple. Ou bien, d’.mm autre manière , <je cherche la différence entre le carré de la base et la somme des carrés des côtés, et s'i je ne trouve qu’elle soit , au rectangle compris entre les deux côtés du triangle donné, dans le même' rapport que l’un des nombres tlè notre table, est à l’unité, nous prononcerons affirmativement que cet angle (c’està-dire l’angle^ ‘compris 'entre les deux côtés) ne 'peut se trouver par la géométrie simple : ou bien bd’ -f- dç’ = bc' -f- le produit du rectangle bd X de par la ligne be; ae étant supposô= 1.

De là nous pouvons déduire la progression de la table de Pythagore à tous les angles car comme dans le triangle rectangle le carré de la ba^e est pgal à la somme des carrés des côtés, ainsi dans le triangle où l’angle au sommet est de 6 o°, le carré" de lavbase est égal à la somme des carrés des côtés, moins le rectangle compris entre ceux-ci; et dans le triangle où l’anglë’aù sommet -est le supplément de l’angle de 6 o°, c’est-à-dire estde 120", le carré de la base excède la somme des carrés des côtés d’une quantité égale à ce même rectangle;

els nombres correspondent, dans notre table, cotes de celui-ci ; et s’ils ne correspondent à au

'car la corde du supplément est dans notre table

De la même manière dans lé triangle dont l’angle au sommet est fie 43°, le carré de la base est égal à la somme des carrés des côtés, moins une quantité moyenne proportionnelle^ntre le rectangle compris entre les deux côtés et un rectangle double; et dans le triangle dont l’angle au sommet est le supplément de l’angle de 45°, c’est-à-dire est. de i55°, le carré de la L^|c excède de cette même quantité la somme des carres des côtés; car la corde du supplément est = y/ 2 .

De la même manière dans le triangle dont l’angle au sommet 1 est de 3o°, te’ carré de la base est égal à la somme des carrés ^âerfcèfës, moins une moyenne proportionnelle entre le Rectangle compris .entre les côtés et un rectangle triple , ?t dans* le triangle ayant pour angle au sommet le supplément de l’angle de 3o, le carré de la* base

surpasse la somme des carrés des côté^ de la mëipe

quantité; car la corde du supplément est =? y/3. .

EEgénéralement dans tout triangle aigu le carré de la base est égal à la somme des carrés des côtés, moins le rectangle compris entre les côtés, multiplié par le nombre qui exprime, dans notre table , la corde du supplément.

Et plus généralement encore, dans tout triangle btlc , le carré de la base bc est excédé par la somme

436 EXtltAIT DES MANUSCRITS

îles carrés des côtés d’une quantité qui doit être aii rectangle compris entre, ceux-ci, comme le rectangle compris entré les lignes be et en (dont l’une, c’est-à-dire Ae, est la corde du supplément y et l’autre, c’est-à-dire ca , est le rayon dn cercle circonscrit au triangle donné) est au carré de la ligtie’ca; ou bien comme be est à ea\ c’est-àdire , soit ea à be connue le rectangle bdc à mi qua- Ineme terme que nous nommerons A, je dis que

bd’ -f- de' = bc' la ^antité A. Au contraire, dans le triangle obtus bfc , Je carré de la base surpasse ta somme des carrés des côtés de cette • ‘ même quantité. , » . ,

•f » A «Ai » « * •

Un triangle étant donne , on trouve aisément le diamètre du x cercle circonscrit an moyen de la proportion suivante.: comme ta perpendiculaire bd est à l’un des côtés , ainsi l’autre côté est au * diamètre cherché.

N. B. ac est la base, ab et bc lès côtés.

On tire de ce qui a été dit ci-dessus le théorèrtie suivant: si, deux triangles inégaux et dissemblables étant donnés , la différence entre le carré dç ta base et la somme des carrés des côtés est an rectangle compris entre les côtés dans le;même rapport dans l’un que -dans l’autre, les angles op-

DE 11ENÉ IjESCARfES. . /| 37

ppsés à la base sont égaux clans les deux triangles («pourvu que la somme*. des carrés excède dans tous les deux le carré de la base, ou en soit excédée dans tous les detfx ; mais si elle excède dans l’un et est excédée dans l’autre, alors les angles opposés à la base sont, le supplément l’un cfe l’autre ).

Dans ies triangles dont on peut exprimer tous

• les côtés en nombres rationnels , on peut aussi ex- • ♦ * • • * »* primée en nombres rationnels tous les angles, en

prenant pour quantité de l’angle le rapport entre le rectangle compris entre les côtés et la différence ^lont le carré de la base opposée à l’angle surpasse la somme des carrés des côtés , ou en est •

• surpassé. Elle la surpasse , si l’angle cherché est plus grand qu’un droit; elle en est surpassée , s’il . est moindre ; et il faut indiquer cela par quelque marque: comme, par exemple, dans le triangle dont les côtés sont 5, 8,-9, l’angle abc est ; l’angle cab est •*-£ ; l’angle acb est -f -j- 0. Où il faut remarquer que je mets toujours au-dessus le nombre qui résulte de la multiplication des côtés , et au-dessous celui fcpji résulte de la différence entre le carré de là base iet ceux des côtés; et lorsque le carré de la base surpasse ceux des côtés , j’ajoute pour faire voir que l’angle est plus grand qu’un droit, car cet 0 est le nombre exposant dç l'angle droit. ' •

Tbut nombre se compose ou d’un, ou de deux, ou de trois nombres triangulaires; et encore il se compose ou d’un, ou de deux, ou de* trois, ou de quatre nombres carrés; et encore ou d’un, ou de deux, ou de trois, ou de quatre, on de cinq pentagones; et encore, ou d’un, ou de deux, ou de trois , ou de quatre , ou de cinq, oli de six nombres hexagones; et ainsi à l’infini.

Si l’on multiplie par 8 un nombre triangulaire quelconque , et qu’on ajoute une unité au produit, le résultat est un nombre carré. Ce qui se démontre

aisément. Car tout nombre triangulaire est exprimé

par cequi multiplie par 8 devient

ou L \x -f- i\x' , à quoi si l’on ajoute ^ , l’on a î -f-4æ-}-4aé, dont la racine est i -\-2X.