DES PARTIES ALIQUOXES DES NOMBRES

Pour résoudre les questions sur les parties aliquotes des nombres , nous les imaginons composés ou de nombres premiers ou de puissances do

DE RENÉ DESCA.RTES. 4^9

• ® • fTpmljres premiers, ou du produit de celles-ci par

ceux-là. D'abord, nul nombre premier n’a de par

ties'aliquotes H sinon l’unité. Les parties aliquotes

d’une puissance quelconque d’un nombre pre-

mier, çornnie a", sont

c’est-à-dire cette *

puissance moins l’unité , divisée par sa racine moins l’unité. Si" nous voulons trouver les parties ✓ alicjuote’s d’un nombre premier / multiplié par un autre nombre dont on contioisse déjà les parties -aliquotes; par exemple , si les parties aliquotes de a sont b, et que x soit ûn nombre premier, les parties aliquotes «le ax sont bx-\-a-\-b.

.Si maintenant nous voulons trouver les parties « * ■ •

aliquotes d’une puissance d’un nombre premier multipliée par une autre puissance tl’ûn autre nombrp ( premier aussi), et que l’une de ces deux quantités sdît < et l’autre ç% les parties aliquotes de a"c° seront . - - ■ * " ' , % «

aa"<f -f- a”c<f — C(f — aa" — a"c° -t- 1 ac — a — c —J— i

. Si nous cherchons les parties aliquotes d’une puissance quelconque d’un nqmbre premier multipliée par un autre nombre dont on connoît les parties aliquotes , et qui , bien qu’il ne soit*premier en lui-même, est néanmoins premier à l’égard de la puissance qu’il multiplie, soit la première

quantité af et la seconde a doùt les parties*ali-

quotes sont b , les parties aliquotes dfe la quantité

ox" seront ». * *

• * • bxx'*-\- ax" — a — b.

Si nous avons deux nombres premiers entre eux, et leurs .parties aliquotes, nous avons aussi les parties aliquotes de leur produit*; comme si l’un d^s- nombres est a et ses parties aliquotes b, l’autre nombre c, et ses parties aliquotès d, les parties aliquotes de ac seront ad-^- bc-\-bd.

Et il n’y a rien’ de neuf en cette matière qu’on ne puisse trouver à l’aide des théorèmes que je mets ici. « . t

Si nous cherchons un cube et un carré égaux à un carré, nous avons i 38 a 4 , 100, et 13944» dont les racines^ont 24, 10, 1 i8;,et encore 27^9, 56 ; et d’autres , à l’infini. N. B. J’ai trouvé One solution

très aisée : x s -\-x' — a' x'. Partant, x -f- 1 — a\ et

x = a’ — -, 1. D’où l’on tire une infinité de valeurs , • • pour x. «

Pour extraire la racine*cubique dji binôme je cherche la racine de cette équation ;

, DE RENE DESCARTES. !\ i I

si a' est plus grând que b ; l’ayant trouvée,* je la multiplie par 3 , j’y ajoute 2 a, et la moitié de la ra^ne cubique de cette somme qst le premier terme de la racine cherchée. Si a’ est moindre que b , je cherche la racine de cette équaiioif :

.. — 3 bx -f- ? .

je la multiplie par 3 et*je soustrais ce produit de 24 > la moitié de la racine cubique de cette différence est le premier terme qute je cherôlie. Ensuite je soustrais de a le cube de ce premier terme, et je divise la différence par le triple de ce meme premier terme: la ratifie carrée du quotient est le second terme cherché.

Ainsi ayant à trouver la racine cubique de 1 o -f- , j’ai x û ~ 6 x -f- 4 ° , dont la racine est ,

4 , cfui, multipliée par 3 , devient' 1 2 ; ajoutant 20 ,

j’ai 3 a, dont là racine cubique est t/39***divisant

par 2 ? j’obtiens 1/4 pour premier’ terme.* En-^ suite 4 étant soustrait de 10, reste 6* que je divine

par 3 \/ 4 ; J e quotient est* y a, dont la racine car-

r , rr f

, rée est y y 9 , pour second terme. Et voulant

trouver la racine cubique de 2 -f- ■> j’ai «

x 5 = — 3 x , 4 - 4 ,’ dont la racine est 1. Je fa rouir* tiplie par 3 et soustrais de 4 le produit , reste

44 2 EXTRAIT lJKf MANUSCRITS,

i , ck>nt la raciue cubique est* i , et la "moitié

ilè celle-ci , ~ , pour premier terme. Ensuite je soustrais le ejibe ne 4, qui est ÿ, de 2 , et^j’ai , que je divise par j , et le quotient est dont la raciné es| y-|, pour second terme. Et ainsi des autres. . •" . V

En général , pour trouver la racine cubique d’un binôme , j’appelle c le plus graipl des deux termes qui le composent, et d le moindre , etj’extrais la racine de l’équation < » ..

( . x" = ÔC‘X -f- 2C’

• • ,i* ' ^ • » — 3 d'X — 2 cd\- ■ *

Jë multiplie cette éacine par 3, j y ajoute 2 c, et la moitié de la racine cubique de cette somme est

une des parties dé la racine cherchée. Je’divise c • ••».. * . * . . « par cette première partie , je soustrais du quotient

le carré de cette'même première partie, et le\ier§

de la différence qui en résulte est l’autre partie de

la racine. .? • - * ». .

Pour carrer le cercle , je ne trouve rien de meilleur que d’ajouter au carré donné bf le rectangle cg compris entre les lignes ac, cb , et égal à la quatrième partie du carré bf ; puis, le rectangle dh , compris entre les lignes da , de , et

égal à la quatrième partie du rectangle précédent; puis, de la même manière, le rectangle ei , et ainsi à l’infini jusqu’à x; rectangles qui tous, pris ensemble , équivaudront au tiers du carré bf, et la ligne ax sera le diamètre du cercle dont la circonférence est égale an périmètre de ce carré bf-,ac est le diamètre du cercle inscrit dans l’octogone isopérimètre au carré bf ; ad , le diamètre du cerdle inscrit dans le polygone régulier de seize côtés isopérimètre au même carré bf ; ae le diamètre du cercle inscrit dans le polygone de 32 côtés, et ainsi à l’infini.

Les courbes dont nous cherchons les tangentes ont leurs propriétés exprimées*par des rapports ou de lignes droites seulement , ou de lignes courbes avec des droites on d’autres courbes. Soit, par exemple, la courbe I1R1C, dont C soit le sommet , CF Taxe; et ayant décrit le demi-cercle COMG , soit pris un point quelconque dans la courbe, comme R, duquel il faut tirer la tangente RR. Du point R abaissons une perpendiculaire RMD sur la droite CDF, qui coupera le demi-cercle en M. ‘Soit donc la propriété spécifique de la courbe , que la droite RD soit égale à la portion CM du cercle , plus l’ordonnée DM.

Du point M soit tirée la droite MA tangente au cercle, et du point E la droite EOVIN parallèle à la droite RMI)'. Supposons trouvé ce que nous cherchons , et soit la droite DB , <^ue l’on cherche, = a; DA, trouvée par . construction , -- 6; MA = d ; MD = r ; RD = z ; la portion de cercle CM = n; et DE = e.

Établissons la proportion

DB : BE : : Rl)

c’est-à-dire

NE, az — ez

la droite ' — — — doit donc être égalée à a *

OE CM — MO ; mais si nous voulons transformer ces teignes en expressions analytiques pour la ligne OE, pour éviter l’asymétrie ( les radicaux), considérons la droite EV comme ordonnée à la tangente, et pour la courbe MO prenons la portion de tangente MV qui est adjacente à cette même MO. Et pour trouver l’expression-analytiquedeEV, faisons DA : AE : : MD : EV,

• br — er

c’est-à-dire b : b — e : : r : ;

pour trouver ensuite l’expression de MV , faisons

DA : MA : : DE (ou hipn K.V ) : MV,

c’est -à-d ire