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Vous m’excuserez s’il vous plaît, si je vous parle si librement, mais l’injprèt que je prends en ce qui vous regarde m’y oblige; et votre dernière lettre ne m’ayant pas fait voir le contraire de ce que je vous avois écrit, j’eusse bien désiré que vous vous fussiez donné le loisir de relire ce qui regarde le lieu ad très et quatuor , etc., contre lequel, au moins contre os que vous en avez mis dans votre Géométrie, vous me permettrez de vous dire ingénument, et par le seul amour de la vérité, ce que j’en pense, et qui est conforme à la démonstration que M. de Roberval m’en a montrée il y a très long -temps, et que je vous enverrai quand il vous plaira, vous assurant que je l’ai parmi mes papiers , et qu’il ne me faut qu’un peu de temps pour la mettre en ordre. Car lorsque je vous ai écrit que ledit sieur de Roberval ne vous étoit pas ennemi, je vous assure que je vous l’ai mandé candidement, et comme je lui ai ouï dire, ne l’excusant pas aussi s’il s’est servi des termes dont vous m’écrivez, bien que le plus souvent la chaleur de la dispute nous emporte au-delà de ce que nous ne ferions pas dans une autre rencontre. Et pour ce qui est du père Mersenne, je ne l’ai accusé que de ce que tous ceux qui l’ont connu ont remarqué en lui, ce qui n’étoit pas toutefois absolument blâmable dans son intention, qui n’alloit qu’à la recherche de la vérité , qui ne se trouve d’ordinaire
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que par le moyen de quelque émulation, et qui ne s’établit qu’a près plusieurs contestations; mais il m’a semblé qu’il ne mettoit pas toujours assez de différence entre ceux qui disputent en matière de science, et les autres qui se battent pour le point d’honneur , ce que j’ai tâché de faire en cette occasion , où vous me faites la faveur de me témoin gner la satisfaction que vous en avez , et vous me donnez des louanges qui me persuadent que vous agréerez que je continue, ou plutôt que je finisse dans cette lettre ce que vous avez commencé de lire dans la précédente.
Et premièrement, je vous assure que ledit sieur de Roberval ne pense aucunement à biaiser, ni à prendre vos paroles autrement que vous ne les avez écrites; car lorsque dans ma lettre j’ai dit par l’angle, s’il y a quelque faute elle est à moi, parcéqu’il l’entend de même que vous, et comme vous l’expliquez dans votre lettre et dans votre livre, c’est-à-dire dans l’espace compris par les lignes qui forment l’angle; et ayant pris votre énonciation en même sens que vous, il m’en a fait voir la démonstration, ainsi que je vous ai dit il y a très long-temps, et même la publia dès l’année 1637, en l’assemblée de quelques messieurs qui conféroient des mathématiques. Il ne s est pas aussi arrêté aux figures de votre livre, mais seulement à votre énonciation ; car celle de
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Ja pagéôôi montre évidemment le peu d'intelligence de celui à qui vous vous êtes fié pour la tracer ; c’est où’le lieu est représenté par une hyperbole, laquelle ne passant par aucun des six points où les quatre lignes peuvent s’entrecouper, coupe néanmoins la ligne TG au point H, fort éloigné de tous ces six points, qui est une absurdité si manifeste, qu’cncore que ledit sieur de Roberval croie que vous ne vous soyez pas donné la 1
peine de construire ce lieu, il ne doute pas toutefois que vous ne la voyiez incontinent; de même i
que celle de la page 3o 8, où vous dites que pour trois ou quatre lignes données, les points cher- |
chés se rencontrent tous en une section conique., ce I
qui n’est pas véritable; car ils ne se trouvent pas i
tous dans une de ces sections, quand vous pren— I
driez les deux hyperboles opposées pour une sec- i
lion, comme nous faisons avec les anciens. Et il |
m’a fait remarquer que cette faute peut bien avoir j
été cause d’une autre dans la page 3 1 3 , où vous !
dites qu’on pourra trouver une infinité de points i
par lesquels on décrira la ligne demandée: car il se {
pourra faire que tous ces points ne seront pas dans l
une même ligne, savoir, lorsque quelques uns \
d iceux seront dans 1 un des espaces qui sont I
distingués par les quatre lignes données , et d’au- I
très en un autre espace ; et finalement, il soutient i
que vous ne sauriez donner aucun cas auquel la
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qucsticAi ne soit toujours possible., comme vous verrez , si vpus désirjez que nous iftn parlions davantage. Je vous prie dp me 6iii;e la faveur de croira;. que je procède en ceci très franchement, et que je ne vous manderois pas toutes ces choses, ni n’aurois pas prié M. de Roberval (duquel j'ai assez de peine à chevir à cause des écoliers qui l’occupent ) de s’expliquer davantage sur celles qui suivent, si ce n’étoit par une estime très particulière que je fais de votre personne, car il me suffiroit de les savoir.
Il in’a donc dit sur le sujet des racines ( quelques unes desquelles nous appelons positives en-dessus, ou positiva supra, savoir, celles que ’ vous appelez vraies ; les autres positives en- « dessous, ou positiva infra, qui sont celles que • vous appelez fausses; et les autres impossibles, qpe vous appelez imaginaires ) qu’il y a des équations qui changent alternativement de signe*-)- et — , qui .ne laissent pas d’avoir quelque racine fausse ou positive en-dessous, contre ce que vous avez pris la peine de m’écrire, touchant vos pages 5^3 et 58o. Et voici une de Ces équations qui est cubique , en laquelle il n’y a et në peut 'avoir, par sa génération 7 aucune racine impossible , niais seulement une positive endessus, et une positive en-dessous, quoique ‘la plus grande ‘partie de celles de ce degré, c’est-à-
dire cubique, en aient trois, excepté quand il y en a d’impossibles , -,
Et pour montrer qu’il n’y en a point d’imaginaire, il ne faut que remarquer qu’en toute équation où il y a de ces racines impossibles, il n’y en a jamais moins de deux, et partant en une équation cubique, où il y auroit deux telles racines impossibles , il n’y en pourroit avoir qu’une positive en-dessus ou en-dessous, ce degré cubique ne pouvant souffrir au plus que trois racines. Donc, puisqu’en l’équation ci-dessus il y a deux racines positives , il ne se peut faire qu’il y en ait • de ces impossibles. On peut dire le même de l’équation carrée suivante, qui a trois racines positives en-dessus , et une en-dessous , quoique , suivant votre doctrine, elle n’en dût point avoir endessous; et si elle en avoit d’impossibles, elle ne pourroit avoir que deux positives au plus,
Pour ce qui regarde votre conchoïde parabolique, voici le calcul que nous en avons fait sur votre figure de la page 4<>4 , que nous ne voulions pas vous envoyer sans y ajouter quelque chose dé plus précis; la lettre a est l’inconnue en la manière de M. Viète.
ÇQ, veJ MH talus réctum
AB
HB
lettbps. 56g
L équation est entre les carrés
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IM et MC ensemble d’une part, et ie carré IC de l’autre, c’est-àdire, entre les carrés de
f-a dey- «
d’une part, et hh de l’autre, et l’équation vient de cette sorte.
o. -h b' c* d‘ — a fc. cdga -f. 4» »• „* - f. a bdga* — a bgai — t . * 4*c» i/a + b’ c* a» +4 bdea* — a bca*
- • * — a 6cd* a» — * b’ fa* + d‘ a*
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+ -bb‘ /» <j>
y Dans laquelle équation toutes les espèces sont distinguées avec leurs signes, supposant "Votre figure comme elle est. Nous l’aurions aussi faite \ supposant la ligne L1I ( que nous appelons G) de l’autre part vers L; mais nous ne vous l’envoyons pas, parcequ’on rçconnoît incontinent quelle est inutile en 1 équation particulière que vous avez envoyée , qui est celle que nous voulions, précisé-: meut examiner , où il se trouve quW la parabole requise à votrèdite équation numérique, savoir, f — 3o6o a f 2664 a* — n i5 a3 f 25() a3 a6 |J 0, le côté droit doit être Àp-, le carré de DE, ou c * en nos espèces’} ^ * ° ^ ^ |a
ligôé AB, ou D, .1 2 v III ouF,^t; I o* ou II*,
7 o 1 ” vu 11 y
Pt le rectangle sous le côté droit et la ligne II B, ou b in g, est 5g —
