AUX DEUX PRÉCÉDENTES DE M. DE FERMAT

(Lettre 49 du tome III. )

0|A • Dn ar août i658.

Monsieur, •'

Je me trouve aujourd’hui plus empêché à répondre que je n’étois la dernière fois ; aussi avezvous changé de condition, et déjugé que vous étiez, vous êtes devenu partie. Quand je n ’avois qu’à défendre devant vous la cause de M. Descartes contre votre sceptique , je ne me promettois pas un succès moins favorable que celui que j’ai eu; j’avois une bonne cause à défendre, des subtilités à éclaircir, et un juge clairvoyant pour m’entendre et prononcer. Mais quand je vous considère descendu de votre siège, pour vous porter vous-même partie contre celui que je défends, le respect que je vous

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Ê f.tt rfs.

dois en quelque état que vous paroissien , la grande estime que j’ai toujours conçue de vous, et qui s’augmente en moi à mesure que vous vous faites davantage cbnnoître, et le peu d’usage que j’ai dans la matière que nous agitons., à comparaison de celui que vous vous y êtes acquis, tout cela m’étonne, el fait.qué je ne sais ênçore quelle issue me promettre de tout ce démêlé. Je vous dirai pourtant d’abord que si je'youlois agir çvec moins de franchise que ue m’oblige ’ l’honnête procédé que vous gardez avec moi, je pourrois user d’une exception, qui paroîtroit peut-être assez légitime et recevable, en vous accordant tout cé qùe vous . dites, et prétendant que toiit cela 4ie fait rien contre M. Dêsçartes, et ne combat eu aucune façon sa doctrine touchant la réflexion et la réfraction.

Car je veux que la balle de la figure de la page >29. delà Dioptrique, selon la supposition qqe vous faites dans votre première lettre, se trouve .empêchée (comme vous dites sans doute agréablement) à trouver quelque issue pour prendre sa route; et je veux même que le passé-port que vous lui avez •donné par avance en votre seconde, de peur que nous n’eussions pas asSez.de crédit pour lui en obtenir un , et même que la routé que vous avez eu la bonté de lui marquer en cet endroit lui fut si aisée et si commode quelle ne fit point de dif-

ficulté-de la suivre, que pourroit-on conclure delà contre M. Descartes? lequel n’ayant apporté en ce lieu-là les exemples de la balle que pour expliquer certains effets particuliers de la lumière, à savoir, celui de la réflexion , qui se fait toujours à angles égaux , et celui de la réfraction , qui se fait toujours de la même sorte dans un même milieu , et qui change selon la proportion qui est entre le milieu d’ou elle sort et celui où elle entre, ce qui fait que tantôt elle s’approche et tantôt elle s’éloigne de la perpendiculaire; qui , dis-je, n’a eu aucune occasion d’expliquer le cas que vous proposez, pourccqu’il n’a aucun rapport à son dessein.

Il n’y en avoit qim trois qui y pussent servir, et il les a tons trois expliqués^ et, à mon avis, d’une» manière si claire et si simple , qu’il n’y a que ceux qui veulent trop subtiliser qui y puissent trouver de la difficulté. -

Le premier cas, qui explique la réflexion, est celui d’une balle qui, étant poussée suivant la ligne AB, rencontre de biais dans son chemin un corps dur, impénétrable et inébranlable; qu’y a-t-il de plus simple et de plus clair que celte balle, qui ne perd rien de sa vitesse, doit rejaillir à angles égaux , c’est-à-dire remonter aussi vite qu’elle est descendue, et avancer autant qu’elle faisoit vers le côté où ce corps dur n’est point du tout opposé. t ’ . ;v ' -V

4j56 ' • LETTRÉS. * ,

Le second, qui se rapporte à la réfraction lorsqu’elle s’éloigne de la perpendiculaire, est celui de la même balle qui , étant poussée comme dessus, rencontre aussi de biais un autre milieu dans lequel elle pénètre , et qui lui fait perdre une partie de sa vitesse. Quoi de plus clair et de plus simple que de dire que cette balle , ne pouvant plus aller si vite qu’elle faisoit auparavant, doit pourtant conserver toute la détermination qu’elle avoit à avancer vers le côté, à laquelle ce milieu n’est aucunement opposé, et à quoi la perte qu’elle a soufferte en sa vitesse ne résiste point et se peut accommoder. Pourquoi vouloir obliger cette balle à faire plus qu’elle ne doit, puisque la nature ne fait *rien en vain.

Enfin le troisième cas, qui se rapporte à la réfraction lorsqu’elle s’approche de la perpendiculaire , et lé seul qui restoit à M. Descartes à éclaircir, s’explique heureusement par la même balle, qui, étant poussée comme auparavant, rencontre • aussi de biais dans son chemin un autre milieu, dans lequel elle pénètre avec une égale facilité de tous cotés, et qui augmente sa vitesse crime certaine quantité. Que peut-on penser dè plus simple et de plus naturel que de dire que cette balle devant aller plus vite qu’elle ne faisoit auparavant, n’avance pourtant pas davantage, selon cette détermination à laquelle cjé corps, par qui

Digiti

LETTRES. * ' «MB*'

sa vitesse a été augmentée, n’est point du tout; opposé. < t 4 *

Le cas que vous proposez outre cela dans votre première lettre est superflu , et ne peut servir à > expliquer aucun de ces phénomènes de la lumière, et par conséquent il n’est ici d’aucune considération; et, quelque inconvénient qui en pût suivre, cela ne pourroit préjudicier à ce que M. Descartes a auparavant prouvé, et par quoi il a expliqué si intelligiblement ces effets merveilleux de la lumière, qui ne laisseroient pas d’être, vrais, et tels qu’il les a démontrés, quand votresupposition seroit difficile à expliquer par ses principes, ce que je ne déses- • père pourtant pas de faire ,*nt quand elle se devroit expliquer suivant les vôtres, ce que je n’estime pas.

Mais pourceque c’est en ceci que consiste toute notre dispute , il faut que j’éclaircisse une fois pour toutes un point qui vous semble n’avoir pas été prouvé par M. Descartes, à cause que sa preuve n’est pas purement géométrique, mais quelle est ^ en partie fondée sur quelques principes de la nature, si clairs qu’ils ne demandent aucune explication. Ces principes sont, premièrement, que • chaque chose demeure en l’état qu’elle est pendant que rien ne la change. Secondement, que lorsque deux corps se rencontrent qui ont en eux des modes incofnpatibles , il se, doit véritablement faire quelque changement en-ces modes pour

les rendre compatibles, mais que ce changement est toujours le moindre qui puisse être. Troisiè- ’ mement, qu’un corps 11e peut résister, ou causer du changement dans un autre, qu’en tant qu’il lui est opposé.

Ainsi donc, si une balle se meut d’A vers B, dans la figure de la page 16 de la Dioptrique, avec une certaine vitesse , elle continuera toujours d aller avec la même vitesse dans la même ligne, si rien 11e la change. Mais si vous lui opposez le corps dur, impénétrable "et inébranlable CBE, pourceque les modes de ces deux corps, l’un qui tend de B vers D, et l’autre qui s’oppose à cette route, sont incompatibles, mais qui ne s’oppose point à sa vitesse, il faut qu’il arrive du changement en l’un de ces modes, mais le moindre qui puisse être; c’est pourquoi la balle changera de détermination, et gardera sa vitesse; et d autant que le corps CBE n’est opposé qu’à l’une des deux déterminations, dont il est vrai que celle de la balle est composée, eu égard au corps CBE sur lequel elle tombe, à savoir, à celle qui la faisoit descendre , et non point à celle de gauche à droite, ce corps ne peut apporter de changement qu’à celle-là, et non point à l’autre, à laquelle il n’est point opposé; c’est pourquoi il oblige la balle de remonter, et la laisse continuer à s’avancer

vers ladroitecomme elle faisoit auparavant, à quoi

V "LETTHES.* 44*

il ne change rien, le' mocle.de son corps n’ayant rien d’incompatible et d’opposé à celui-là. U ne faut plus ajouter à ce raisonnement que ce qui appartient à la géométrie , yt la preuve sera achevée. Si vous n’appelez pas cela une preuve démonstrative, je ne sais plus de quelles raisons il faudra se servir pour en composer une ; mais, pour moi, je me contente de pareilles démonstrations. Or, le . . même raisonnement que je viens de faire se peut accommoder à la ligure de la page 20 et à celle? de •la page 22, et à tous les cas qui se peuvent proposer, et je n’y vois rien de différent que. les différentes -v suppositions; à savoir, que le corps CBE tantôt est dur et tantôt liquide,- tantôt pénélrable et tantôt impénétrable; que la vitesse tantôt diminue, tantôt augmente , et tantôt demeure la même; et que la balle tantôt continue de descendre, et tantôt est obligée de remcmter, et même que tantôt ,r on peut opposer un corps au cours de la balle, et tantôt uon.

* Examinons maintenant ces cas l’un après l’auü’e suivant ces principes, et voyons ce qui doit ar-

• y river, et je m’assure que loir ne trouvera point

que la chose doive allef comme vousalites, mais ^ , bien comme dit M. Descartes, etcela répondra en même temps à toutes vps nouvelle^ diffi- ** * dUItes. m 1 j,.

- Prefliièrenieiit , vous dites au commencement de

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voire seconde lettre que si l’on suppose «pie la balle qui va dans la ligne droite AU diminue sa vitesse de moitié en arrivant au point B, elle ira toujours en ligne droite vers D si elle continue d’aller dans le même milieu et que le plan CBE ne lui soit point opposé, avec cette différence seulement , quelle emploiera depuis B jusqucs à D le double du temps qu’elle avoit mis auparavant depuis A jusques à B , et cela à cause qu’un corps doit toujours demeurer dans le même état où il est, ou auquel on suppose qu’il soit , si rien ne le change. Or, n’y ayant rien qui change en la halle, que la vitesse, ni rien par quoi la détermination doive être altérée plus d’un côté que d’un autre, tout cela faif qu’elle doit continuer dans, la même ligne, aller seulement moins vite selon cette détermination ; de même que lorsqu’un corps tombe perpendiculairement de l’air dans l’eau il continue d’aller suivant la ligne de sa chute , et va seulement d’autant moins vite que sa vitesse est diminuée à la rencontre de l’eau. • , *

Si pourtant j’eusse été d’humeur à vouloir chicaner ( ce qui ne m’arrivera jamais lorsque j’aurai affaire à une personne d’honneur et de mérite comme vous), j’aurois pu nier que le cas que vous proposez fût concevable et admissible , à savoir, qu’un mobile sans changer de milieu, puisse tout d’un coup passer d’une vitesse à une auti^ sans

. . . I.ETTRfiS.

passer par les degrés qui sont entre deux ; ce que vous dites vous-même être contraire aux lois invioj labiés de la pure géométrie, et qui même est contraire à cette loi de la nature qui est que chaque corps continue toujours de demeurer dans le même état autant qu’il se peut, et que jamais il ne le change que par la rencontre des autres. Le moyen donc de concevoir qu’un corps puisse tout d’un coup, étant arrivé au point 1$, perdre la moitié de sa vitesse, lorsqu’il ne se rencontre rien qui la lui puisse faire perdre. Mais je veuxbien vous accorder toutes vos suppositions, et ne vous rien nier que ce qui ne se pourra absolument admettre , à moins de renverser toutes les lois de la nature , et toutes les notions claires et simples qui sont en nous.

Passons «à votre seconde supposition , qui est à mon gré une des plus adroites que l’on put faire en ce genre , et dont sans doute j’aurois eu peine à apercevoir la subtilité, n’étoit qu’étant accoutumé à suivre des voies fort simples dans mes raisonnements , je me défie de tout ce que je vois qui s’en écarte.

Vous supposez après cela que la balle perdant comme auparavant la moitié dé sa vitesse au point IP, le plan CBE impénétrable se trouve entre deux, et empêche que la balle ne passe au-dessous ; et voirê dités que la balle réfléchira aussi lüen à angles

égaux que si la vitesse ou le mouvement demeurait le même: et certainement je confesse que vous le prouvez, d’une manière la plus ingénieuse qu’il est possible; mais permettez-moi aussi de vous dire qu’elle est captieuse , et souffrez que je vous fasse voir en quoi je pense que vous vous ètesmé-

Quand eu l’exemple ci-dessus je suis demeuré

* d’accord que la balle, perdant au point B la moitié de sà vitesse, ne laissoit pas de continuer son chemin suivant la ligne BD, avec cette seule différence qu’elle alloit de moitié moins vite , cela à été parcequ'e, fie changeant point de milieu, et aucun plan 11e lui étant opposé * on ne pouvoit pas dire que la détermination de la balle suivant la ligne AB fût comppsée de deux déterminations , non plus que lors-

^ qu’une balle tombe perpendiculairement sur un plan. Mais ici, où vous supposez que le plau CBE lui est opposé’, il est certain qu’à son égard la dé-

* • termination de la balle sur la route AB est com-

posée de deux autres , l’une qui la fait descendre » vers lui , et l’autre qui la fait avancer vers la droite , ou horizontalement , et que ce plan s’oppose à celle-là et non point à celle-ci.

Maintenant, de deux choses l’une, ou vous supposez qu’après que la balle est venue avec deux degrés de vitesse wWipuis A jusques à B , étant au point Belle rencontre le plan CBE, qui lui fait

perdrç la. moitié de sa vitesse; du bien vous supposer que, sans qûp ce plan v contribue , ayant1 perdu la moitié de sa vitesse au point B , elle rencontre le plan CBE : et si j’ai bien compris te seus « de votre seconde lettre, c’est principalement. à ce dénier cas- quelle se rapporte. Mais remarquez encore ici en passant que je vous accorde p^is que je lie devrois; caf le moyen de concevoir qu’une balle perde Ta moitié de sa vitesse au pefeÿ» sans la rencontre d’aucun corps qui la lui fasse

perdre ? îV'jW \j

f’4 u premier cas, il est aisé de voir qu il ne fallt ( comme vous ayez fait dans votre prèmjere lettre)^.' que transférer lè raisonnement de la figure de ,kf~ page 20 au-dessus du plan , et dire que, puisque la ba}le ne perd rien du tout de la détermination

quelle avoit à avancer vers la droite , elle doit

(.toutes lés autres conditions étant gardées) arri-t

^ver au püint O , ainsi que vous avez fort bien re- A marqué, Cjest pourquoi je n’aurois garde de dire, coftme vous faites, pourquoi de grâce le raisonne nement de M. Descartes conclura-t-il au-dessous* s’il ne conclut pas au-dessus ? O qui est une dé- ' inoifstration ‘en uti cas devi£ndra-t-il qôjjjar*^ cisme emTajitre ? *Non sans doute: l’un et l’a

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c&iragjt paiement. bietfl’ * . \ '

'ÂnaBécotyl cas , la balle- peut suivre la route que vous avez marquée dairs Votre second^ lettre ,. et

qiîTTRES.

réfléchir toujours à angles égaux , de quelque manière et en quelque «proportion que la vitesse ou le mouvement change au point B ; mais non pas à la vérité par la raison que vous dites , car la même proportion ne doit pas être gardée par une halle qui, rencontrant de biais un plan impénétrable, est obligéede réfléchir, que celle qui est gardée par une autre balle que Ton suppose n’en point rencontrer: à cause qu’une balle qui ne rencontre aucun plan n’a qu’une seule détermination, elle ne va ni à gauche ni à droite; au lieu qu’une balle qui tombe de biais sur un plan y va toujours avec deux déterminations, à l’une desquelles ce plan est opposé, et à l’autre non; et cette circonstance en doit changer l’effet , selon les principes ci-devant posés.

Mais voici comme la balle peut suivre la route que vous avez marquée, et réfléchir à angles égaux: '•à savoir, il faut supposer que la balle étant au point B , et ayant perdu la moitié de sa vitesse ( ou telle autre quantité qu’il vous plaira), commence là à suivre la route quelle suivroit si elle avoit commencé à ce point-là à se mouvoir avec la vitesse qui lui reste ; or il est constant que si, sans avoir égard à la ligne AB, quelle a parcourue avec deux degrés de vitesse, elle commenroit à se mouvoir en B avec la vitesse qu’on suppose qui lui reste , etjsuivant la direction quelle a véritablement au point B, elle iroit vers D avec un degré de vitesse.

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et y arriveroit en deux fois autant de temps qu’il lui en a fallu pour venir d’A en B, si rien nes’opposoitàson mouvement. Et si, au lieu de lui opposer le plan GRE au point B, on le lui opposoit au point D , il est évident, par ce que nous avons dit ci- dessus ,4 que ce plan l’empêchant seulement de passer outre, et non point d’avancer vers la droite , etne diminuant ni n’augmentant la vitesse avec laquelle elle seroit venue vers lui depuis B , elle rejailliroit vers G , et feroit un angle de réflexionUK, égal à celui d’incidence BDG, lequel se trouveroit égal à celui de la première incidence ABC. Or estil dit qu’il doit arriver au point B le même changement en la détermination de la balle que celui qui arriveroit au point D si le plan CBE lui étoit opposé en ce point-là, puisque dèsle point B la balle a toute la même vitesse et la même détermination quelle auroit au point D après avoir parcouru la ligne BD? et partant, la balle, selon votre supposition , doit au point B rejaillir suivant un angle égal v

à celui d’incidence; non point, comme j’ai dit, par la raison que vous dites, car il n’est pas vrai que l’interposition du plan CBE n’empêchant que l’une des parties dont la détermination est composée , celle de gauche à droite reste la même qu’elle étoit quand la balle n’avoit aucun plan qui lui fut op- $é ; car, en ce dernier cas , la balle n’avoit qu’une détermination, et l’on ne peut pas dire qu’elle avan-

roit vers la draite. C’est pourquoi la conclusion

que vousen tirezn’estpas non plus véritable. Donc , dites-vous, la balle a dû avancer autant au-dessus vers la droite qu’éfie'cût fait au-dessous si le plan n’eût pas empêché sa route; et comme lorsqu’elle, seroit au point D au-dessous elle auroit*avaocé en deux moments vers la droite depuis B jusques en E , et de même aussi pour avancer en deux moments autant au-dessus vers la droite elle doit aller au point F, qui est autant avancé vers la droitè que le point D, et qui coupe lerercle au-dessus en même proportion que D le coupé au-dessous, et fait un angle de réflexion égal à celui d’incidence.

Car toute cette proportion de. gauche à droite que vous dites devoir être .gardée au-dessus comme ./ elle eût -été au-dessous si le plan CBE ireùt pas empêché sa route, n’est qu’une proportion imaginaire , puisque au-tlessous , quand il n’y o aucun plan intetposé, la balle n’a aucune direction vers la droite, cCtte direction ou détermination vers la droite estant toujours relative au plan qu’on lui interpose : et , par exemple , si le plan CBE lui eût été opposé d un autre sens., comme en celte figure, où seroit tout votre raisonnement, vers la droite? Mais cela doit arriver dans votre supposition même, et dans toute autre’ par la raison -que j’ai dite, qui est conforme aux lois de la nature et aux principes ci-devant établis. * ■ » . •**