C-) Lellro inédilc
i') Cp. LcUrcs LI, 1; l.ll, 2: LIV. 6. 0) foir Letlic LIV. 3 el 4.
3. Si M. de Saint-Martin est exercé aux questions des nombres, voici ce que je prends la liberté de lui proposer en revancbe de ses deux questions :
Trouver deux triangles rectangles dont les aires soient en raison donnée, m sorte que les deux petits côtés du plus grand triangle diffèrent par l'unité.
Trouver deux triangles rectangles en sorte que le contenu sous le plus grand côté de l'un et sous le plus petit du même soit en raison donnée au contenu sous le plus grand et le plus petit côté de l'autre ( ' ).
Après qu'il aura résolu ces deux questions, je lui en fournirai de plus dilRciles.
4. Que s'il croyoit que les solutions des deux que je lui ai données ne soient pas de moi, il m'obligera de choisir des plus dilTiciles qui sont résolues dans les écrits qu'il a de M. Frcnicle, et, si je n'en lais pas la solution, je consens de ne voir point le dit travail de M. Frenicle, que je désire plutôt voir pour apprendre quelles sont les questions, que pour la solution qu'il en donne. Ce n'est pas que je ne l'estime beaucoup, mais c'est que je m'imagine que je n'aurai pas beaucoup de peine ;i la trouver.
Si je puis trouver du loisir pour satisfaire au désir de M. de SaintiMartin sur le sujet de ma méthode de maximis et minimis et sur celle dont je me sers \\ la résolution de ses questions numériques, je serai ravi de lui plaire et ;i vous qui me l'ordonnez.
5. Pour les lignes courbes auxquelles vous m'écrivez que M. de Roberval a trouvé d'autres lignes égales, sur lequel sujet vous m'alléguez l'hélice (-), j'appréhende qu'il y aura de l'équivoque. 11 semble d'abord, par la raison des inscrites et circonscrites, que l'hélice
(') Voir l'Observation XXX sur Diopliante.
i"^) Ce. passage donne une date pour la découverte par Roberval de l'égalité entre la longueur des arcs de la spirale d'Archimède et ceux d'une parabole, égalité démontrée plus lard par Pascal. Voir Tome I, p. 206, note 1.
LVl. - 7 AVIUL 1(JV3. -20:5
(rArcJiiinède est ia moitié de la circoni'érencc du cercle (|iii sert ii la décrire, et c'étoit une pensée que j'avois eue il y a fort loni^tenips. mais je me détrompai d'abord. Si c'est celle de M. de Hoherval, je m'assure qu'il ne sera pas longtemps de même avis, et qu'il n'aura besoin que d'une seconde réflexion pour se dédire.
Je suis en peine de savoir des nouvelles de M. de (larcavi; vous m'obligerez de m'en donner et de me croire, mon Révérend Père,
Votre très humble et très aflectionné serviteur,
Feumat.
A Toulouse, ce 16 février 1G43.
FERMAT A MERSENNE (')
MARDI 7 AVRIL iGi3.
Monsieur mon Revéuend Pèue,
1. Vous n'eûtes pas de mes lettres par le dernier courrier, à cause d'une petite absence qui m'a tenu huit jours à la campagne pendant la fête. Vous aurez maintenant la réponse que je fais k M. de Brulart ('•') jointe à celle-ci; je l'ai écrite à la hâte, comme vous verrez, et c'est la raison qui m'oblige à vous prier qu'il n'en soit pas fait de copie et qu'elle ne sorte pas d'entre les mains de M. de Brulart.
(' ) Lcllre inédile.
(^) Le personnage désigné dans les Lettres LIV et LV sous le nom de Saint-Martin s'appelait Pierre Bruslart de Saint-Martin et était collègue de Carcavi au Grand-Conseil. Il semble qu'ici il s'agit encore de lui ( Cp. LV, 4).
La réponse dont parle Fermai est perdue; on voit qu'elle concernait sa méthode de niaximis et mininns.
■loï Œ U V lî !•: s J) E F E II M AT. - C ( ) Il U E S P 0 N DA N C E.
{'a' n'est pas que ce que j'y ai mis ne puisse être expliqué assez aiséuienl. mais il v a ([uelque petit équivoque où on me pourroit accusée lie négligence, comme lorsque j'ai dit que les deux derniers termes de I'é(|ua(ion (|ui se trouvent mesurés par E sont en plus grande raison (jw'aucuns autres qui leur soient relatifs dans les plus hautes puissances. On pourrait dire (ju'ù le prendre corwerte/ulo , ils sont en moindre raison qu'aucuns autres de leurs relatifs; mais c'est en ma règle et en mon raisonnement toute la même chose, et les mêmes consé(juences se déduisent de l'un et de l'autre.
Il V ])onrr(»it encore avoir équivoque en ce que j'ai dil : que non seulement A — I^ doit donner la même équation que A-f-E, mais encore (jU(\ si A + E donne moins que A, A — E doit aussi donner moins (|ue A. Car il semble d'abord que, si A — E donne la même é(nialion ([ue A + E, qu'il est infaillible que, l'un donnant moins (|ue A, l'autre donnera de même moins que A; ce qui pourtant n'est pas e[ (ju'il me semble avoir suirisamment explifiné par l'exemple que j'ai ajouté.
Mais, pour ê>ter tout équivoque, lorsque j'ai dit que A — E doit donner la même équation que A + E, j'entends que par la position d(ï A — E. en suivant ma méthode, on doit trouver A égal à nue même (jtiantilé que si nous employons A-f-E par la même méthode. .Mais, lors(|ne j'ai ajouté, en la seconde condition, que si A-f-E donne moins que A, A — E doit de même donner moins que A, j'entends (jue si, par la position de A -h E, les homogènes qui représentent le plus grand sont moindres que les homogènes qui représentent le plus grand en la position de A seul, de même, en la position de A — E, les homogènes qui représentent le plus grand doivent être moindres (|ue les homogi'ues qui représentent le plus grand en la posilion de A seul.
Voilà ce (juc j'ai cru vous devoir dire sur ce sujet, (^ar pour rendre la chose entièrement claire et parfaitement démontrée, il faudroit un Traité entier, que je ne refuirai pas de faire, dès que je pourrai trouver du loisir assez pour cela.
