LXXII. — 2'i. AOUT ICoi

l'hypotlièsc qu'il manque deux parties à l'uu et trois îi l'autro, conviennent maintenant de gré à gré qu'on joue quatre parties complètes, c'est-à-dire qu'on jette les quatre dés à deux faces tous à la fois, n'estil pas vrai, dis-je, que, s'ils ont délibéré de jouer les (|uatre parties, le parti doit être, tel que nous avons dit, suivant la multitude des assiettes favorables ii chacun?

Il en demeura d'accord et cela en eflet est démonstratif; mais il nioit que la même chose subsistât en ne s'astreignant pas 'a jouer les quatre parties. Je lui dis donc ainsi :

N'est-il pas clair que les mêmes joueurs, n'étant pas astreints ii jouer < les > quatre parties, mais voulant quitter le jeu dès que l'un auroit atteint son nombre, peuvent sans dommage ni avantage s'astreindre à jouer les quatre parties entières et que cette convention ne change en aucune manière leur condition? Car, si le premier gagne les deux premières parties de quatre et qu'ainsi il ait gagné, refuserat-il de jouer encore deux parties, vu que, s'il les gagne, il n'a pas mieux gagné, et s'il les perd, il n'a pas moins gagné? car ces deux que l'autre a gagné ne lui suffisent pas, puisqu'il lui en faut trois, et ainsi il n'y a pas assez de quatre parties pour faire qu'ils puissent tous deux atteindre le nombre qui leur manque.

Certainement il est aisé de considérer qu'il est absolument égal et indifférent à l'un et à l'autre déjouer en la condition naturelle à leur jeu, qui est de finir dès (ju'un aura son compte, ou déjouer les quatre parties entières : donc, puisque ces deux conditions sont égales et indifférentes, le parti doit être tout pareil en l'une et en l'autre. Or, il est juste quand ils sont obligés de jouer quatre parties, comme je l'ai montré : donc il est juste aussi en l'autre cas.

Voilà comment je le démontrai et, si vous y prenez garde, cette démonstration est fondée sur l'égalité des deux conditions, vraie e( feinte, à l'égard de deux joueurs, et qu'en l'une et eu l'autre un même gagnera toujours et, si l'un gagne ou perd en l'une, il gagnera on perdra en l'autre et jamais deux n'auront leur compte.

4. Suivons la même pointe pour /row joueurs et posons (ju'il manque

:50i ŒUVRES DE FERMAT.- CORRESPONDANCE.

it/ic parlic au promicr, qu'il eu mauque deux au second cl deux au Iroisièmc. Pour faire le parli, suivant la même méthode des combinaisons, il faut chercher d'abord en combien de parties le jeu sera déi-idé, comme nous avons fait quand il y avoit deux joueurs : ce sera en trois, car ils ne sauroient jouer trios parties sans que la décision soil arrivée nécessairement.

Il faut voir maintenant combien trois parlies se combinent entre Irois joueurs et combien il y en a de favorables à l'un, combien à l'autre et combien au dernier et, suivant cette proportion, distribuer l'argent de même qu'on a fait en l'hypothèse de deux joueurs.

Pour voir combien il y a de combinaisons en tout, cela est aisé : c'est la troisième puissance de 3, c'est-à-dire son cube 27. Car, si on jette trois dés à la fois (puisqu'il faut jouer trois parties), qui aient chacun trois faces (puisqu'il y a trois joueurs), l'une marquée a favorable au premier, l'autre b pour le second, l'autre c pour le troisième, il est manifeste que ces trois dés jetés ensemble peuvent s'asseoir sur 27 assiettes différentes, savoir :

a a tt

Or, il ne manque qnunc partie au premier : donc toutes les assiettes où il y a un a sont pour lui : donc il y en a i().

Il manque deux parties au second : donc toutes les assiettes où il y a deux b sont pour lui : donc il y en a 7.

Il manque deux parties au troisième; donc toutes les assiettes où il y a deux c sont pour lui ; donc il y en a 7.

Si de lii on concUioit qu'il faudroit donner à chacun suivant la proportion de 19, 7, 7, on se tromperoit trop grossièrement et je n'ai garde de croire que vous le fassiez ainsi; car il y a quelques faces

LWII. — aV AOUT 1G5^. 305

favorables au prcmior cl au second (nul ensemble, comme abh, car le premier v trouve un a qu'il lui faut, et le second deux b qui lui manquent; et ainsi ace est pour le premier et le troisième.

Donc il ne faut pas compter ces faces qui sont communes à deux comme valant la somme entière ;i chacun, mais seulement la moitié, ('ar, s'il arrivoit l'assiette ace, le premier et le troisième auroienl même droit ii la somme, ayant chacun leur com[»te, donc ils partageroient l'argent par la moitié; mais s'il arrive l'assiette aab, le premier gagne seul. Il faut donc faire la supputation ainsi :

Il Y a i3 assiettes (|ui donnent l'entier au premier et G qui lui donnent la moitié et 8 (jui ne lui valent rien : donc, si la somme entière est une pistole, il y a i'5 faces ([ui lui valent chacune une pistole, il y a () faces qui lui valent chacune '; pistole et <S (jui ne valent rien.

Donc, en cas de parti, il faut multiplier

i3 par une pistole, f|ui font i3

6 par une denii, qui font 3

8 par zéro, qui font o

Somme... 27 Somme... iG

et diviser la somme des valeurs, iG, par la somme des assiettes, 27, (jui fait la fraction ^^/l, qui est ce qui appartient au premier en cas de parti, savoir iG pistoles de 27.

Le parti du second et du troisième joueur se trouvera de même :

Il y a 4 assiettes ipii lui valent 1 pistole : multipliez. . . t\ Il y a 3 assiettes ipji lui vaieiil .r pistole : multipliez. . . 1 ^ El io assieltes cjui ne lui vuIlmiI rien o

Somme... 27 Somme... ") ^

Donc il appartient au second joueur j pistoles et \ sur 27, et autant au troisième, et ces trois sommes, ."i :,, 5 ^ et iG, étant jointes, font les 27.

5. Voilà, ce me semble, de quelle manière il faudroit faire les partis par les combinaisons suivant votre méthode, si ce n'est que vous ayez (juelque autre chose sur ce sujet que je ne puis savoir. Mais, si je ne me trompe, ce parti est mal juste.

La raison en est qu'on suppose une chose fausse, qui est qu'on joue

ItnuAT. — 11. 3i)

on trois parties infailliblement, au lieu que la condition naturelle do ce jeu-là est qu'on ne joue que jusques à ce qu'un des joueurs ait atteint le nombre de parties qui lui manque, auquel cas le jeu cesse.

Ce n'est pas qu'il ne puisse arriver qu'on joue trois parties, mais il peut arriver aussi qu'on n'en jouera qu'une ou deux, et rien de nécessité.

Mais d'où vient, dira-t-on, qu'il n'est pas permis de faire en cette rencontre la même supposition i'einte que quand il y avoit deux joueurs? En voici la raison :

Dans la condition véritable de ces trois joueurs, il n'y en a qu'un qui peut gagner, car la condition est (jue, dès qu'un a gagné, le jeu cesse. Mais, en la condition feinte, deux peuvent atteindre le nombre de leurs parties : savoir, si le premier en gagne une qui lui manque, et un des autres, deux qui lui manquent; car ils n'auront joué que trois parties, au lieu que, quand il n'y avoit que deux joueurs, la condition feinte et la véritable convenoient pour les avantages des joueurs en tout; et c'est ce qui met l'extrême différence entre la condition feinte et la véritable.

Que si les joueurs, se trouvant en l'état de l'iiypotlièse, c'est-à-dire s'il manque une partie au premier et deux au second et deux au troisième, veulent maintenant de gré à gré et conviennent de celte condition qu'on jouera trois parties compli'les, et que ceux qui auront atteint le nombre qui leur manque prendront la somme entière, s'ils se trouvent seuls qui l'aient atteint, ou, s'il se trouve que deux l'aient atteint, qu'ils la partageront également, en ce cas, le parti se doit faire comme je viens de le donner, que le premier ait iG, le second 5^, le troisième /vt» de 27 pistoles, et cela porte sa démonstration de soimême en supposant cette condition ainsi.

Mais s'ils jouent simplement à condition, non pas qu'on joue nécessairement trois parties, mais seulement jusques à ce que l'un d'entre eux ait atteint ses parties, et qu'alors le jeu cesse sans donner moyen à un autre d'y arriver, lors il appartient au premier 17 pistoles, au second 5, au troisième 5, de 27.

Et cela se trouve par ma méthode générale qui détermine aussi

LXXllI. - 2S) AOUT 1034. 307

qu'cii la comlition prccédciUo. il en faut iG au premier, 5^^ au second, et 5{r au troisième, sans se servir îles combinaisons, car elle va partout seule et sans obstacle.

6. Voilii, ÎMonsicur, mes pensées sur ce sujet sur lequel je n'ai d'autre avantage sur vous que celui d'y avoir beaucoup plus médité; mais c'est peu de cliose à votre égard, puisque vos premières vues sont plus pénétrantes que la longueur de mes cITorts.

Je no laisse pas de vous ouvrir mes raisons pour en attendre le jugi'mont de vous. Je crois vous avoir fait connoitrc par lit que la méthode des combinaisons est bonne entre deux joueurs par accident, comme elle l'est aussi quelquefois entre trois joueurs, comme (juand il manque une partie à l'un, une \\ l'autre et deux ii l'autre, parce qu'en ce cas le nombre des parties dans lesquelles le jeu sera aclievé ne sulfit pas pour en faire gagner deux; mais elle n'est pas générale et n'est bonne généralement qu'au cas seulement qu'on soit astreint ;i jouer un certain nombre de parties exactement.

De sorte que, comme vous n'aviez pas ma méthode quand vous m'avez proposé le parti de {)lusieurs joueurs, mais seulement celle des combinaisons, je crains que nous soyons de sentimens différens sur ce sujet.

Je vous supplie de me mander de quelle sorte vous procédez en la recherche de ce parti. Je recevrai votre réponse avec respect et avec joie, quand même votre sentiment me scroit contraire. Je suis etc.

l'EUMAT A PASCAL (').