SAMEDI 29 AOUT 1G5V

(OEiwc! de Pascal, l\\ p. !^3b-'^^■^.)

Monsieur, 1- Nos coups fourrés continuent toujours et je suis aussi bien que

(') CcUe lettre a été écrite par Fermai avant qu'il eût rcgu la précédente.

vous dans r;ulniiration de quoi nos pensées s'njustcnt si oxacLcmcnl qu'il seml)le qu'elles aient pris une même route et l'ait un même cliemin. Vos derniers Traités du Triangle aràhmèliquc et de son applicalion en sont une preuve authentique : et si mon calcul ne me trompe, votre onzième conséquence (' ) couroit la poste de Paris à Toulouse, pendant que ma proposition dos nombres figurés, qui on cfTet est la même, alloit de Toulouse à Paris.

( ' ) La onzième conséquence du Traité du Irlaii^le nrù/nticlii/iic csL énoncée ainsi : C/iaijue cellule de la dividcnte est diiublc de celle qui la précède dans sim rang parallèle ou perpendiculaire.

Pascal appelle cellules de la dividente celles que la bissectrice de l'angle droit du triant;Ie traverse diagonalonient : par exemple les cellules G, <\, G, P, p.

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La proposition des nombres fip:urés de Fermât est celle de \' Observation X LTl sur Diophante et de la lettre XII, 12 ( voir plus haut, page 70, note i). La onzième conséquence du Traité du triangle aritlnnciique de Pascal ne correspond de fait qu'à la première partie de la proposition de l'^ermat, à savoir que m{m -t- i) est le double du triangle de ciité m : pour retrouver dans l'œuvre de Pascal le reste do cette proposition, il faut, à la onzième conséquence, ajouter la douzième, etc., en mettant d'ailleurs celle-ci sous la forme de la proposition XI du Tridlé des ordres numériques.

F.XXin. - -iO AOUT IGo/... 30!)

Je n'ai i^'anlc de faillir tandis (|ii(' je r(Mi(,'(»nlr(M'ai do code sorlc. cl je suis persuadé (|ue le vrai moyeu pour s'enipèclier de faillir est relui (le concourir avec vous. Alais, si j'en disois davantage, la chose lieudroit du couipliment, et nous avons hauui cet ennemi des conversations douces et aisées.

Ce seroit maintenant à mou tour ii vous débiter quehju'une de mes inventions numériques; mais la fin du parlement augmente mes occultations, et j'ose espérer de votre bonté que vous m'accorderez un répit juste et quasi nécessaire.

2. (À'pendaut je répontirai à votre question des trois joueurs (|ui jouent en deux parties. Lorsque le premier en a une, et que les autres n'en ont pas une, votre première solution est la vraie, et la division de l'argent doit se faire en 17, ,") et '> : de quoi la raison est manifeste et se prend toujours du même principe, les eomhinaisons faisant voir d'abord que le premier a pour lui 17 hasards égaux, lorsque cliacun des <:^deux > autres n'en a (jue ">.

3. Au reste, il n'est rien à l'avenir que je ne vous communique avec toute franchise. Songez cependant, si vous le trouvez à propos, à cette proposition :

Les j)uissances quarrées de 2, augmentées de l'unité, sont toujours des nombres premiers.

Le quarré de 2, augmenté de l'unité, fait 5 qui est nombre premier.

Le quarré du ([uarré fait iG qui, augmenté de l'unité, fait 17, nombre premier.

Le quarré de iG fait 2jG qui, augmenté de l'unité, fait 2J7, nombre premier.

Le quarré de 2jG fait G5 53G qui, augmenté de l'unité, fait G5 537, nombre premier.

Fit ainsi à l'intini.

C'est une [troitriété de la vérité de laquelle je vous réponds. La démonstration en est tri's malaisée et je vous avoue que je n'ai pu

iMicdro la trouver pleinement; je ne vous la proposerois pas pour la chercher, si j'en étois venu à bout (').

dette proposition sert à l'invention des nombres qui sont à leurs parties aliquotes en raison donnée, sur quoi j'ai l'ail des découvertes considérables. Nous en parlerons une autre fois.

.le suis, Monsieur, votre, etc.,

A Toulouse, le 99 août iGJi.

Ff-umat.

FERMAT A PASCAL (-)

VENDREDI 25 SEPTEMBRE Hi'6k.

{OEurres île Pascal, IV, p. !t^~-'i'\i ■)

MoNsiEiin,

1- N'appréhendez pas que notre convenance se démente, vous l'avez confirmée vous mémo en pensant la détruire, et il me semble qu'en répondant à M. de Robcrval pour vous, vous avez aussi répondu pour moi.

Je prends l'exemple des trois joueurs, au premier desquels il manque une partie, et à chacun des deux autres deux, qui est le cas que vous m'opposez.

Je n'y trouve que 17 combinaisons pour le premier et j pour chacun des deux autres : car, quand vous dites que la combinaison ace est ])onne pour le premier et pour le troisième, il semble que vous ne vous souveniez plus que tout ce qui se fait après que l'un des joueurs a gagné, ne sert plus de rien. Or, cette combinaison ayant fait gagner le premier dès la première partie, qu'importe que le troisième en

(') f'oir Tome I, j). i3i, et Tome 11, p. aoG. (2) Ucponsc à la lettre LXXII.

LWIV. - 25 SEPTEMBRE IGaV. :5U

gagne deux ensuite, puisque, quand il en gagneroit (rente, tout (;ela scroit superflu?

(^c qui vient do ce que, comme vous avez très bien remarqué, celle fiction d'étendre le jeu à un certain nombre de parties ne sert qu'à faciliter la règle et (suivant mon sentiment) h rendre tous les basards égaux, ou bien, plus intelligiblement, à réduire toutes les fractions à une même dénomination.

■ Et atin que vous n'en doutiez plus, si au lieu de trois parties, vous étendez, au cas proposé, la feinte jusqu'à quatre, il v aura non seulement 27 combinaisons, mais 81, et il faudra vdir combien de combinaisons feront gagner au premier une partie plus lot que deux à cbacun des autres, et combien feront gagner à cbacun des deux autres deux parties plus tôt qu'une au premier. Vous trouverez que les combinaisons pour le gain du premier seront 5i et celles de cbacun des autres deux i.^ ce qui revient à la même raison.

Que si vous prenez cinq parties ou tel autre nombre qu'il vous plaira, vous trouverez toujours trois nombres en proportion de 17, 5,5.

Et ainsi j'ai droit de dire que la combinaison ace n'est que pour le premier et non pour le troisième, et que cca n'est que pour le troisième et non pour 1(> premier, et que partant ma règle des combinaisons est la même en trois joueurs ({n'en deux, et généralement en tous nombres.

2. Vous aviez déjà pu voir par ma précédente (') que je n'bésitois point à la solution véritable de la question des trois joueurs dont je vous avois envoyé les trois nombres décisifs, 17, 5, 5. iAIais parce (jue 31. < de > Roberval sera peut-être bien aise de voir une solution sans rien feindre, et qu'elle peut quelquefois produire des abrégés en beaucoup de cas, la voici en l'exemple proposé :

Le premier peut gagner, ou en une seule partie, ou en deux, ou en trois.

(•) LeUrc LXXllI, 2.

S'il gagne en une seule partie, il faut (ju'avec un dé qui a trois faces, il rencontre la favorable du premier coup. Un seul dé produit trois hasards : ce joueur a donc pour lui ^ des hasards, lorsqu'on ne joue qu'une partie.

Si on en joue deux, il peut gagner de deux façons, ou lorsque le second joueur gagne la première et lui la seconde, ou lorsque le troisième gagne la prcmii're et lui la seconde. Or, deux dés produisent f) hasards : ce joueur a donc pour lui - des hasards, lorsqu'on joue deux parties.

Si on en joue trois, il ne peut gagner que de deux façons, ou lorsque le second gagne la première, le troisième la seconde et lui la troisième, ou lorsque le troisième gagne la première, le second la seconde et lui la troisième; car, si le second ou le troisième joueur gagnoit les deux premières, il gagneroit le jeu, et non pas le premier

joueur. Or, trois dés ont 27 hasards : donc ce premier joueur a -^ des hasards lorsqu'on joue trois parties.

La somme des hasards qui font gagner ce premier joueur est par

conséquent v» - ft — . ce qui fait en tout --•

Et la règle est bonne et générale en tous les cas, de sorte que, sans recourir à la feinte, les combinaisons véritables en chaque nombre des parties portent leur solution et font voir ce que j'ai dit au commencement, que l'extension ii un certain nombre de parties n'est autre chose que la réduction de diverses fractions à une même dénomination. Voilà en peu de mots fout b; mystère, qui nous remettra sans doute en bonne intelligence, puisque nous ne cherchons l'un et autre que la raison et la vérité.

3. J'espère vous envoyer à la Saint-Martin un Abrégé de tout ce (jue j'ai inventé de considérable aux nombres. Vous me permettrez d'être concis et de me faire entendre seulement à un homme qui com- |)rend tout à demi-mot.

("-e que vous y trouverez de plus important regarde la proposition