LXXIV. — 23 SEPTEMBRE 1 C

<|ii(' tout nombre ost composé tl'iin, de deux ou de trois triangles; d'un, de doux, do trois ou do quaire quarrés; d'un, de deux, de trois, de quatre ou do cinq ])onlagonos; d'un, do doux, de trois, do quatre, lie cinq ou de six hexagones, et à l'infini (').

Pour y parvenir, il faut démontrer que tout nombre premier, qui surpasse de l'unité un multiple do ^\, est composé do deux quarrés, comme .'), i3, 17, 29, 37, etc.

Étant donné un nombre premier de cette nature, comme 53, trouver, par règle générale, les deux quarrés qui le composent.

Tout nombre premier, qui surpasse de l'unité un multiple de 3, est composé d'un quarré et du triple d'un autre quarré, comme 7, i3, 19, 3i , 37, etc.

Tout nombre premier, qui surpasse de i ou de 3 un multiple de 8, est composé d'un quarré et ilu double d'un autre quarré, comme i i. 17, 19, 4i, /|3, etc.

Il n'y a aucun triangle en nombres duquel l'aire soit égale ii un nombre quarré (-).

(^-ela sera suivi d(! l'invention de beaucoup do propositions (jue Bachot avoue avoir ignorées, et (|ui manquent dans le Diopbante.

Je suis persuadé que dos (|ue vous aurez connu ma l'aoon de démoii- Irer en cette nature de propositions, elle vous paroitra belle et vous donnera lieu de l'aire beaucoup de nouvelles découvertes; car il faul, comme vous savez, que miilti pciiranscant ut atigcatitr scientia (').

S'il me reste du temps, nous parlerons ensuite des nombres magi(]ues, et je rappellerai mes vieilles espèces sur ce sujet.

Je suis de tout mon cœur, Monsieur, votre, etc.,

FK.nJlAT.

Ce 23 septembre.

Je souhaite la santé do M. do (larcavi comme la mienne et suis tout il lui.

(') Foir IxUre XII, 3.

(') Foir LcUro XII, 2.

I ') Foir plus haut p. 35, noie 2.

l'EHBAT. — M. ' 40

31V ŒUVRES l)K l'RHMAT. — CORllESPONDANCE.

Je vous écris de la campagne, et c'est ce qui retardera par aventure mes réponses pendant ces vacations.

LXW.

PASCAL A FER:\IAT (').

MARDI 27 OCTOBnE ICo'i-.

{OEmres de Pnscnl, IV, p. !^'^^.)

MONSH'.I I!,

Votre dernii're lettre m'a parfaitement satislail. J'admire votre méthode pour les partis, d'autant mieux que je l'entends fort bien: elle est entièrement votre, et n'a rien de commun avec la mienne, et arrive au même but facilement. Voilà notre intelligence rétablie.

.Mais, Monsieur, si j'ai concouru avec vous eu cela, cherchez ailleurs (|ni vous suive dans vos inventions numériques, dont vous m'avez l'ail la grâce de m'envoyer les énoncialions. Pour moi, je vous cou l'esse (]ue cela me passe de bien loin; je ne suis capable que de les admirei', et vous supplie très humblement d'occuper votre premier loisir ii les achever. Tous nos .Messieurs les virent samedi dernier et les eslimi-rent de tout leur cœur : on ne peut pas aisément support(M' l'alleu te de choses si belles et si souhaitables. Pensez-y donc, s'il vous

plail, et assurez-vous que je suis, etc.

Pascal.

l'aris, 27 octobre 10)4-

( ' ) Ré]ionsc ù la LcUie i)réc6dcntc.

F.XXVI. - 1C56. 3i:i

lAXVI.

FERMAT A CARCAVI (' ).

(13iU. Nat. Ir. log'ib, X-Vll, p. 7S-S'|.)

< Monsieur >,

1. J'ai rerii un très graïul conlentemenl de vos Icllrcs du 19 du mois passr, lesquelles m'onl été rendues il y a deux jours, el je me liens lorl obligé à la civilité de M. Pascal, duquel, si l'eslime que j'en ai pouvoil être plus grande, elle seroil augmentée par tant de démonstrations ([ue j'en ai rcrucs. Je vous prie donc (vous qui m'avez fait l'honneur de me faire connoîlre une personne si savante) de lui témoigner le respect et l'estime que j'ai pour lui, cl que, si j(' ne puis pas correspondre avec les effets à tant de grâces qu'il lui a i)lu de me faire, je ne manquerai pas au moins d'y satisfaire avec ma bonne volonté que j'ai voulu vous faire connoître présentement par la réponse que je vous envoie de ce (ju'on m'a proposé. Le temps est court; mais, n'espérant pas de jiouvoir la semaine [irocliaine avoir la commodité de m'appliquer à de semblables s[)éculalions, je suis contraint de vous en dire mon sentiment sur le champ.

2. Il est bien vrai qu'il me déplaît que d'abord je ne suis pas du sentimenl de M. Pascal touchant l'Analyse spcciose, de laquelle je fais plus grand cas

( ' ) Celle Ictue a été publiée pour la première fois par M. Charles Henry (Rcclterclu-s, \i. 197-200) d'après une copie sans date, sans adresse et sans signature. La date de iG3G a été attribuée à cette lettre à cause des allusions aux jansénistes el molinisles, el au séjour de lluygens à Paris (|uc le savant holUuidais quitta le 3o novembre i655 (OEihtcs compUten, \, p. 367). Le texte n'est qu'une traduction passablement incorrecte de l'original qui élail rédigé en latin, comme on peut le conclure d'après les nombreux mots di' cette langue que le traducteur, parfois embarrassé, a transcrits dans l'interligne.

:î1G œuvres de FERMAT.- CORRESPONDANCE.

(lue lui, el .j'ose dire que les preuves que j'en ai sont si pjrandes que non seulement elles me persuadeiil, mais elles m'obligent d'en faire une estime l)ien grande. J'avoue que le retour en est bien souvent difficile; mais, parce que, cpiand j'ai fait exactement l'analyse, je suis aussi sûr de la solulion du ])rohlème comme si je l'eusse tiémontré par synllièse, je ne me soucie pas ([uel- (piefois d'en chercher la construction la plus aisée, me persuadant ce qu'eu tme autre occasion M. Pascal (') dit : non case par labori prœmiiun. Mais, en cela comme en toutes autres choses, je laisse volontiers ([ue chacun suive sou |)ropre scntinuMit.

3. Je viens au problème des < cercles > tangens dont on désire une plus grande explication. Aussitôt que vous me l'envoyâtes, il me souvint que j'avois songé à cette matière en cherchant le lieu que déciiroit le centre d'un cercle qui touclieroit deux autres cercles donnés, ou un cercle donné el une ligne donnée, etc., et que j'avois démontré que, quand deux cercles sont égaux <et qu'>ils se doivent toucher avec un antre cercle qui les enferme ou ([ui les exclut tous deux, le lieu est la ligne droite qui les divise également et (|u'elle est perpendiculaire à la ligne qui tmit les centres des cercles donnés; mais, quand ils sont inégaux et qu'il faut qu'ils se touchent comme ici-dessus, alors le lieu est hyperbole ou, pour mieux dire, il est les sections opposées, les foyers desquelles sont les centres des cercles donnés el le cùté transveis égal à la différence des semidiamètres des dits cercles.

Or, dans le cas dans lequel il faudra inclure l'un et exclure l'autre en le touchant, les sections opposées ont les foyers comme auparavant, mais le côté transvers est l'aggrcgé et non pas la différence des semidiamètres.

Je passe les autres problèmes que j'ai démontrés en celle matière, parce qu'ils ne sont pas à propos pour nous; mais je dirai seulement en passant (|ue, quand les donnés sont un cercle el une ligne droite qui le coupe, le lieu est à deux paraboles qui ont toutes deux pour foyer le centre du cercle donné lyX passent par les intersections du dit cercle el de la ligne donnée.

Ainsi, en recevant vos lettres, je m'aperçus (|u'cn laissant une détermination dans le problème de M. Pascal (^), il se feroit local, en la manière icidessous :

Etant donné un cercle et une ligne, trouver un autre cercle qui, touchant

(') Dans les écrits connus de Pascal, on ne trouve guère qu'une expression analogue : od illa, quœ plus affermit fruclus quant Inboris, verge/iles, mots qui terminent le De rmmeririi nrdinibus trnctatus.

(2) Comp. Lettre LXX, 9.

IGoG.

le tloiinc, soit coupa par la ligne en sorte que le sei^inent soit capable d'un angle donne.

Soit, le cercle ABG {fig. 82) donné, la ligne < EF, le > centre I); soii hi perpendicuhiirc DBII et (lu'on fasse l'angle IIDG égal à l'angle donne. Menant GO perpendiculaire, (pie ci-aprés on coupe lîll en 1' dans la raison Gl) à 1)0, et qu'on [irolonge la ligne 1)I[ en Q en sorte que la raison 1)0 à IIO soit la même que celle du (juarré GO au quarré Gl) avec le rectangle IIDO.

FiR. S3.

Qu'après, par le point Q, on tire les angles IIQK, HQS égaux à l'angle donné, et que par le point P, autour des asymptotes QS, QK, on décrive l'hyperbole IPX.

Je dis qu'elle satisfera à la proposition, c'est-à-dire que le cercle quel- (■on(pic qui, ayant son centre sur ladite liyperhole, touchera le cercle donné, sera aussi coupé par la ligne donnée en sorte que son segment soit capable de l'angle GDO. Mais cela, on ne le doit entendre qu'en cas que l'angle donné soit aigu, puisque, s'il est droit, le lieu est la ligne droite <donnéc>, comme il est clair, et que, s'il est obtus, le lieu est aussi une hy])erbole, mais il y a alors quelque peu de mutation dans la construction. — Mais il n'est pas nécessaire de dire tous les détails.

Cela étant supposé, on peut facilement résoudre le problème par les lieux solides en cas quelcon(iue, c'est à dire en décrivant cette dernière hyperbole et les autres sections opposées dont j'ai parlé ici-dessus, puisque leur intersection donnera toujours le centre du cercle qu'on cherche.

Mais, parce que le problème est plan et craignant le scrupule des géomètres, je l'ai résolu alors par les lieux plans généralement; mais, parce qu(^ je m'aperçus que la construction en éloll beaucoup embrouillée, je choisis

a<:UV|{ES DE FERMAT.- CORRESPONDANCE.

au plus facile les donnés et je les appliquai en nombres; el c'est tout ce que je vous envoyai alors el je ne vous enverrai autre chose, parce que le susdit Monsieur ne veut pas la solution simplement analytique, mais qu'il veut aussi une construction gentille et facile, laquelle je n'ai pas pour à cette heure le loisir (le la chercher.

4. Pour ce qui est de l'autre < problème > de cinq lignes données ('), je ne sais pas qui lui a dit que je l'estime facile. Je ne crois pas vous avoir écrit une telle chose, puisque je m'aperçus alors qu'on pouvoil venir difficilement à l'équation et qu'après fpi'on l'auroit trouvée, la conslruclion en seroit beaucoup embrouillée. Vous me ferez la faveur de le dire à M. Pascal el je songerai à cela rpiand j'aurai plus de loisir.

5. .le viens au pioblème de miniinis avec lequel le dit Monsieur dit qu'il a résolu plusieurs auli'es problèmes. C'est ce que je crois facilement, parce (pie ma méthode s'étend aux mêmes et m'apprend que le plus souvent en CCS pioblémes le (loiiil du minime est centre du cercle ou de la sphère f|iii satisfait à ce qu'on propose. Je dis le plus soin'cnt, parce (pie je n'ai [las le loisir de les examiner tous el je suis certain qu'en celui-ci, dont M. Pascal ne parle point, bien (|u'il soil local ad circuliim, le [loiiit du minime n'est pas le centre du cercle :

l'Jlaiit donnr qitclconqne nombre de points en une lii^ne droite, comme A, (',, D, E, F, Cl, H ( At'- ^•^)> trouver un autre comme l, duquel menant les liâmes lA, IC, 11), lE, IF, ICi, IR, l'assemblage des quarrés des dites lignes ait au triangle AIR la raison minime de toutes les possibles.

l'ig. 83.

C'est à quoi je voudrois prier M. Pascal de me faire la faveur d'appliquer sa méthode.

6. Après, <pour> le lieu du problème duquel il dit que dépendent tous les lieux plans proposés par lui, je n'ai pas voulu manquer de le chercher el aussitôt j'ai trouvé que c'était un cercle, en la manière ci-dessous :

Soit donnée la ligne droite AR {fig- 84) coupée utcumque en C el qu'il (•) Pout-êlre un problème ayant rapport à \ hcxagramme de Pascal.

LWV I.

faille Irotncr le lieu sni- Ic/i/el élanl pris le poiitl 1), et étant tirées les li^'iies I)A, DH et les j>arallèles CE, CF, les rectangles ADE, UDF pris citscnible soient égaux au quarré de la ligne donnée '/..

On'oii décrive sur la ligne AH le demi-cercle A(iB cl f|ii"après, élevanl la |)eipeMdiculaire CG, on lire la ligne GlI égale à la ligne Z et terminée à la ligne AH allongée s'il le faut. Je dis que, si du centre C, avec la distance ('.II, on décrit le cercle III), il sera le lien rpi'on clierche.

Fi.'. 8',.

Nous pouvez proposer à M. Pascal, avec les mêmes données, de trouwr le point 1), en sorte /[ue les deux rectangles DAE, DBF soient égaux au (juarré de la < ligne > / donnée : c'est ce ijne j'ai trouvé en un même temps.

7. J'ai eherclié le lieu de cet antre : Etant donnés autant de cercles qu'on voudra et une ligne droite, trouver un point duquel nirnaut des tangentes aux cercles donnés et une perpendiculaire à la ligne donnée, les quarrés des tangentes aient à la perpendiculaire une raison donnée, et j'ai trouvé (ju'il peut être ellipse, parabole ou hyperbole selon la diversité des données. Mais il seroit trop long d'écrire tout, car il f;Kidroit faire un livre et non pas nui' lellre; je mettrai ici seulement pour essai la délerininalioii f|ui est i|ue, toutes les f(jis (pie la raison donnée sera la même que la raison du nombre •les cercles donnés à l'unité, le lieu sera parabole; si elle est pins petite, il sera ellipse, et si elle est plus grande, il sera liy|)erbole.

8. \a' porisnie des anciens à la description des sections coniques me senihir très joli, mais je n'ai pas le loisir- de les examiner jiour à cette heure; je conserverai le tout pour un meilleur temps, comme aussi de vous parler des quarrés qiu; ces Messieurs ap|)el!ent magiques, desrpu'ls M. Pascal l'ail (piei(|U(> mention dans sa lettre.

9. J'y ajoute seulement t|ue vous dites le vrai (|uand vous dites (|u il viim> souvient qtic je vous ai parlé autrefois des deux moyennes, parce (|u'il v a longtemps ([ue j'ai trouvé la méthode de les trouver en ime infinité de

Tarons (j'cnlends par les lieux solides); mais, entre tous, ceux là m'ont plu davantage qui résolvent le problème per circulum et cllipsim : c'est ce cpie je vous prie de proposer à M. Pascal pour savoir s'il lui est peut-être arrivé tout de même,

10. Je vous [)rio de me donner quchpics nouvelles des jansénistes et moliiiistcs, comme aussi quel(|ue objection qu'on fait à M. Descartes; et je voudrois savoir en quel estime M. Ilugenius, gentilliomme bollandois, est auprès lie ces Messieurs. Il a imprimé plusieurs petits livres de Géométrie (') et il a demeuré (|uelque temps à Paris.

FERMAT A CARCAVI (-).