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338 ŒUVHES DE FE UM AT. - COUIIESPONDANCE.

que j'en aio autrefois entreteuu l'illustre Torricelli ('), je ne laisse pas (l'estimer l'invention de Wallisius, qui sans doute n'a pas su que j'eusse préoccupé son travail.

2. Voici une de mes jiropositions aux ternies où je la eoneus en l'envoyant à Torricelli :

Soient les deux droites SKU et KOK^/Ti,'. 8j) et soient décrites les courbes EdUQ d'un côté et DA13(] de l'autre, en forme d'hyperboles

dont les asymptotes soient les droites premièrement données. Soient encore tirées AG, 15H, [.arallides à SKU, et les droites HN. .V.M. f.L. III. parallèles à KOF.

Vm l'hyperbole ordinaire, le rectangle NP est égal au rectangle .MAO; mais supposons maintenant que le produit du quarré UN et de la droite W soit égal au |)roduit du (jnarré MX et de la droite A() : en ce cas, la courbe sera une nouv(dle hyperbole dont la propriété sera (|ue

('; Duiis une IcUre perdue, probablement de la fin de lOJG, et qui semble avoir été la seule que [""crmat ait adressée à Torricelli. Elle dut répondre à une communication à laquelle Torricelli fait allusion dans la partie inédite de sa lettre à Hobcrval du 7 juillet i()4G. dans celle à Mersennc du nièuic jbïir {Bullclli/io yio/ii-oiiipa^iii, VIII, paires 4oo-4o4) <:l dans celle à Carcavi du H juillet lOlti {Mcmoric dclUt lîcale Accadeinia tlei Liiicci, Vj, îo juin i88u). Dans la première de ces lettres ( Bibl. Nat. lai., iinjCi, f" lO v°i, on lit :

n Ih'pcrbolaruni Tlicorcniala, i[u;b mitto ad III'". De Fermât, ut judiciuin subcaut, num Il cnm parabolis salteui ali(|ua c\ parte conferri possint, viderc poteris. Si nuius liypcri> boke primarix' (pjadralura tamdiu (pia;sita est, nos [)ro una inliuitas dauius. »

(".es tliéorèmes ont été do fait envoyés, avec la lettre du 8 juillet 1O4G, à Carcavi, (pii avait conniiuni(|uc à Torricelli des propositions do l'^crmal sur les nombres. Le géomètre italien connaissait d'ailleurs, au moins par les Ca^itata de Mcrseune (iG41): les travaux de Fermât sur les paraboles de divers degrés {voir Tome I, page nji, note 1 ).

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le parallélogramme BI sera égal à l'espace compris sous la base 151! el les deux courbes BAOF, FKGH, qui vout à l'infini du cùlé de F.

Que si le |)roduit du cube BN et de la droite HP est égal au produit du cube XS] et de la droite AU, en co cas, ce sera une autre hyperbole dont la propriété sera que le parallélogramme BI sera double de l'espace compris dans la base BH et les deux courbes en montant, /// supra.

Et par régie générale, si le produit d'une puissance de BN [)ar une puissance de BP est égal au {)roduit d'une pareille puissance de .MA par une pareille de A() (en supposant celles di" BN et MA [»areilles entre elles, comme aussi celles de BP et de AO aussi pareilles), le parallélogramme BI sera à la figure prolongée à l'infini ii/ siipni, comme la différence de l'exposant de la j)uissancc de B.\ avec l'exposant de la puissance de BP est à l'exposant de la puissance de BP.

De sorte qu'il suit de là qu'en l'hyperbole ordinaire l'espace de la figure prolongée à l'infini n'est point égal à un espace donné, parce que l'exposant des puissances, étant le même, ne donne aucune difl'érence; et, pour faire <(ue l'espace de la dite figure prolongée à l'infini soit égal à un espace donné, il faut que l'exposant de BN soit plus grand que celui de BP, comme il est aisé d(^ remarquer.

3. Tout ceci, quoiqu'énoiicé un peu diversement, se peut tirer du livre de Wallisius; mais il n'a pas fait une spéculation sur ces figures, de laquelle il sera sans doute bien aise d'être averti et qui peut passer pour un des miracles de la Géométrie. Je l'ai autrefois donnée à Torrieelli aussi bien que la précédente; c'est :

Gomme il arrive que quelquefois l'espace prolongea l'infini, comnH> BADFEGH, est aussi infini, comme en l'hyperbole ordinaire, et ({uelquefois fini, comme en celles dont les exposants de BN surmontent ceux de BP, on demande si, lorscjue le dit espace prolongé à l'infini est égal à un espace fini, il a un centre de gravité fixe et certain.

Or, il arrive une chose merveilleuse en cette recherche etlaquelhî j'ai découverte et démontrée, c'est que quelquefois le dit espace.

quoique fini, n'a point do centre de gravité fixe, et quelquefois il en a.

Car, par exemple, lorsque le produit du quarré BN et de la droite BP est égal aux produits semblablemcnt tirés, la figure BADFKGH prolongée il l'infini, qui en ce cas est égale au parallélogramme BI, n'a pourtant aucun centre de gravité.

Mais, si le produit, par exemple, du cube BN et de la droite BP, est égal aux produits semblables et semblablemcnt tirés, en ce cas, non seulement l'espace de la figure prolongé à l'infini est égal à un espace donné, qui est, comme nous avons dit, la moitié du parallélogramme BI, mais encore cette figure prolongée à l'infini a un centre de gravité, qui va en ce cas en la ligne PF coupée en telle sorte au point 0 ([ue la ligne PO soit égale :i la ligne KP; et ce point 0 sera le dit centre de gravité de cette figure prolongée;» l'infini.

Si Monsieur VVallisius veut avoir la démonstration de cette proposition et de la ri>gle générale pour trouver les dits centres de gravité, je vous l'cnvoierai pour lui en faire part.

4. Pour ce qui regarde la quadrature du cercle dans son dit Traité, je n'en suis pas pleinement persuadé, car ce qui se déduit par com- ])araison en Géométrie n'est pas toujours véritable.

5. Je ne vous parle ni de votre Livre ('), ni de celui de Tbomas Anglus(^): ne sulor ultra crepidam. Vous êtes souverain en Physique et je vous reconnois pour tel : j'espère pourtant au premier voyage vous entretenir de la proportion que gardent les graves dans leur descente

(') Il s'agit sans doulft de : Two Trcaliscs in Lhe onc of wliicii Tiio Nature of bodics, in iho olher lhe Nature of niau's soulc is look'ful intn in way of discovcry of tiic immorlality of rcasonabie soûles, ^fuyfj; ojaiv àÇ''(o; Xdyo'j ■/.a.-^maJfliL: oXv. SuvaTov £ivai av:u tt); toG SXou çûoii.);; animœ naturam, absque totius nalura, sufficienter cognosci possc existimas':' rialo in Phœd. At Paris, Printed by Gilles Blaizol. MDCXLIIII wiih Privilcdgc. C'est le Cliapitrc X (p. 76-8O) qui est consacré à la pesanteur.

(2) Il s'agit de : Euclides pliysicus sive de principiis naturjc Stœclieidca E. Authore Thoma Anglo Ex Albiis East-Saxonum. Londini prostant apud Joliannem Crook. MDC.L.VII.