FERMAT A DK LA CHAMBRE

(D. III, 5o).

A Toulouse, le mois d'août iG')7.

Monsieur,

1- Jo n'avois garde de vous obéir lorsque vous m'ordonniez de recevoir votre Livre (') sans le lire. Le présent (jue vous m'en avez fait est une marque trop précieuse de l'amitié dont vous m'honorez; mais sa lecture m'a fait concevoir l'idée de cette amitié comme un bien qui mérite d'être conservé avec soin, avec respect et avec estime. Et pour vous le faire! voir, je ne vous parlerai point de vos autres spéculations de Physique, quoiqu'elles soient pleines d'un raisonnement très solide et 1res subtil; il me suHira de vous entretenir un peu sur la matière de la réllexion et de la réfraction, quand ce ne seroit qiie pour réparer par (;ette lettre la perte d'un Discours que je vous avois adressé, il y a <léjà quelques années, sur ce même sujet et que j'ai su n'être point venu en vos mains. Ce qui m'y confirme est que j'entre par là dans (|ucl(jue société d'cqunion avec vous, et j'ose même vous assurer par avance que, si vous souffrez que je joigne un peu de ma géométrie à votre physique, nous ferons un travail à frais communs qui nous mettra d'abord en défense contre M. Descartes et tous ses amis.

2. Je rcconnois premièrement avec vous la vérité de ce principe, que la nature agit toujours par les voies les plus courtes. Vous en déduisez très bien l'égalité des angles de réflexion et d'incidence, et l'objection de ceux qui disent que les deux lignes qui conduisent la

(M l.a l.iiniièro à Monsuii^iiour l'Kminontissimo Cardinal Mazann |)ar le sieur De La Chambre, conseiller du Roy en ses Conseils et son .Médecin ordinaire. A Paris, clic/. I'. Uocolet, Inip. et Lih. ord. du lloy; au Palais, on la gallerie des Prisonniers, aux Armes (lu lîoy et do la Ville. MDCLVII, avec Privilège du Itoy (440 pages in-4°).

LXXXVl. - AOUT ICo-. 555

vue ou la lumière dans lo miroir concave sont très souvent les plus longues, n'est point considérable, si vous supposez seulement, comme un antre principe indisputable, que tout ce qui appuie on qui fait terme sur une ligne courbe, de quelque nature qu'elle soit, est censé appuyer ou faire ferme sur une droite qui touche la courbe au point où la rencontre se fait: ce qui peut être prouvé par une raison (l<' pbysicjue aidée d'une autre de géométrie.

I^e principe de Physique est que la nature fait ses monvemenis |iar les voies les [»lus simples. Or, la ligne droile étant plus simple (jue la circulaire ni (jue pas une autre courbe, il faut croire (|ui' le mouvement du rayon qui tombe sur la courbe se rapporte j)liil6l à la droile qui louche la courbe (|u'ii la courbe même.

Premièrement, parce que cette droile de l'attouchemenl est plus simple que la courbe; secondement (et c'est ce qui s'emprunte de la (iéométrie), parce que aucune droite ne peut tomber entre la courbe et la touchante, par un principe d'Euclide. De sorte ()uc le mouvement est justement le même sur la droite (jui touche que sur la courbe qui est touchée.

Va, cela supposé, on ne peut jamais dire (|ue les deux droites (|iii conduisent la lumière ou le rayon soient quelquefois les plus longues aux miroirs concaves, parce qu'en ce cas même elles se trouvent les plus courtes de toutes celles (jui peuvent se réfléchir sur la droite qui louche la courbe. Et, par conséquent, il ne faut ni supposer (pie la nature agisse par contrainte en ce cas, ni conclure qu'elle suive nue autre manière de mouvement que celle qu'elle pratique aux miroirs plans et en toute autre espèce de miroirs. De sorte que voilà voire principe pleinement établi pour la réflexion.

3. Mais, puis(|u'il a servi à la réflexion, pourrons-nous en tirer quelqu'usage pour la réfraction? Il me semble que la chose est aisée ti (]u'un peu de géométrie nous pourra tirer d'alTaire.

Je ne m'étendrai point sur la réfutation de la démonstration de .M. Descaries. Je la lui ai autrefois contestée, à lui, dis-je, vivenli

35r> ŒUVRES DE EEUMAT. - COUUESPONDANCE.

(ilque seitlicnii, comme cliHoit Marlial ('), mais il ne inc satisfit jamais. L'usage de ces mouvements composés est une matière bien délicate et qui ne doit être traitée et employée (|u'avec une tri-s-grande |)récaution. Je les compare à quelques-uns de vos remèdes, qui servent de poison s'ils ne s(mt l»ien et dûment préparés. 11 me snlllt donc, de dire en cet endroit ((ne M. Descartes n'a rien jtronvé, et que je suis de votre sentiment en c(; que vous rejetez le sien.

Mais il faut [)asser plus outre et trouver la raison de la réfraction <lans notre principe commun, qui est que la nature agit toujours par les voies les [)lus courtes et les plus aisées. Il semble d'abord que la cliose ne peut point réussir et que vous vous êtes fait vous-même une objection qui [)aroit invincible. ÙAv{fig. 87) puisque, dans la page 3ir)

Fis. ^1-

de votre Livre, les deux lignes CB, BA qui contiennent l'angle d'incidence et celui de réfraction, sont plus longues que la droite AD(] (|ui leur sert de base dans le triangle ABl^, le rayon de (\ en A, qui contient un chemin plus court que celui des deux lignes (]B, BA, devroit, au sens de notre principe, être la seule et véritable route de la nature, ce qui pourtant est contraint à l'expérience. Mais on peut se défaire aisément de cette diiriculté en supposant, avec vous et avec tous ceux (|ui ont traité de celte matière, que la résistance des milieux est dillérente, et (ju'il y a toujours une raison ou proportion certaine entre ces deux résislanc(;s, lorsque les deux milieux sont d'une consistance certaine et qu'ils sont uniformes entre eux.

Ne vous étonnez })as de ce que je parle de résistance, après (|ue vous

(') MviiTiAL, Éju^r., I, II. '). — J'oir les Lcllrcs XXII et XXIV.

LXXWl. - AOUT 1G57. :l}7

avez décide'' (|iio le niouveiiu'iit do la liimièro se fait en un instant (M (|uc la réfraction n'est causée que par l'antipathie naturelle qui est entre la lumière et la matière. Car, soit (jue vous m'accordiez que le mouvement de la lumière sans aucune succession peut être contesté cl que votre preuve n'est pas entièrement démonstrative, soit (|u'il faille passer par votre décision, à savoir que la lumière fuit l'ahondancc de la matii-re (jui lui est ennemie, je trouve, mémo en ce dernier cas, ([ue, puisque la lumière fuit la matière et qu'on ne fuit que ce ((ui l'ail peine et (jui résiste, on peut, sans s'éloigner de votre sentiment, étalilir de la résistance où vous établissez de la fuite et de l'aversion.

Soit donc, par exemple, en votre figure le rayon (^15 qui change d(^ milieu au point B, où il se rompt pour se rendre an point A. Si ces deux milieux étoicnt les mêmes, la résistance au passage, du rayon par la ligne CM scroit à la résistance au passage du rayon par la liiçne BA comme la lii'ne CB à la lii'ne BA. Car, les milieux étant les mêmes, la résistance au passage seroit la même en chacun d'eux et, par conséquent, elle garderoit la raison des espaces parcourus. D'où il suit (jue, les milieux étant différents et la résistance par conséquent différente, on ne peut plus dire que la résistance au passage du rayon par la ligne CB soit à la résistance au passage du rayon par la ligne BA comme la ligne; (^B ii la ligne BA; mais en ce cas la résistance par la ligue CB sera à la résistance par la ligne 15A comme CH h une; autre ligne dont la raison à la ligne BA exprimera celle des eleux résistances didérentes.

Comme : si la résistance par le milieu A est double de la résistance par le milieu C, la résistance, par CB sera ii la résistance par BA comme la ligne (]B au double de la ligne BA; et si la résistance par le milieu t'est double de la résistance parle milieu A, la résistance par (^B sera à la résistance par BA comme la ligne CB à la moitié de la ligne BA. De sorte ([n'en ces deux cas, les deux résistances par CB et par BA, étant jointes, pourront être exprimées : ou i)ar la ligne CB jointe à la moitié ele la ligue BA, ou par la ligne CB jointe au double de BA.

Vous vovez déjà sans doute la conclusion de ce raisonnement : car.

.î.iS ŒUVRES Itl' FKKMAT. - COKHKSFONDANCE.

M)it'iit donnés, [)ar cxtuiiiilc, les deux points C et A en deux milieux (lilTérenls séparés par la ligne IJD et qui soient de telle nature que la résistance de l'un soit douhle de celle de l'aulre; il faut clicrcher le point B auquel le rayon, qui va de (- en A ou d'A en C, soit coupé ou rompu.

Si nous supposons (]ue la chose est déjà faite, et que la nature agit loujours par les voies les ])liis courtes et les |)his aisées, la résistance par eu, jointe à la résistance par BA, contiendra la somme des deux résistances, et cette somme, pour satisfaire au principe, doit être la moindre de toutes celles qui se peuvent rencontrer en quelqu'autre point que ce soit de la ligne DB. Or ces deux résistances jointes sont (>n ce cas, comme nous avons prouvé, représentées : ou par la ligne CJî joinle à la moitié de BA, ou par la même ligne CB jointe au double de BA.

\/,\ (|uestion se réduit donc à ce problctne di; Géométrie :

■ litaul donnés les <lcux points C el A et la droite DB, trouver un point dii/is la droite DB aiif/iiel si vous conduisez les droites CB et BA, la somme de (Ai et de la moitié de BA contienne la moindre de toutes les sommes pareillement prises, ou bien <jue la somme de iWS et du double de BA contienne la moindre de toutes les sommes pareillement prises;

et le point B qui sera trouvé par la construction d(! ce problème sera le point où se fera la réfraction.

Vous voyez par là qu'il faut (|uc le rayon se coupe et se rompe lorsque les milieux sont diflcrents. Car, bien que la somme des deux lignes CB et BA soit toujours plus grande que la somme des deux lignes CD et DA ou que la toute CA, néanmoins la ligne CB, joinle à la moitié ou au double de BA, peut être plus courte que la ligne CD jointe à la moitié ou au double de DA.

Je vous avoue que ce problème n'est pas des plus aisés; mais, puisque la nature le fait en toutes les réfractions pour ne se départir pas de sa façon d'agir ordinaire, pourquoi ne pourrons-nous pas l'entreprendre?

(II-

(• le

LXXXVli. - 5 DECKMBKt; 1057. :«!»

Je vous garantis j)ar avance que j'en ferai la soliilidn ([naïul il vdiis plaira et qui' j'on (ircrai même des conséquences qui établiront s( dément la vérité d(> notre opinion. J'en déduirai d'aljord : (jn rayon perpendii'uiaire ne se rompt point; (|ue la lumière se rotupl dès la première surface sans pins changer le liiais qu'elle a |)ris; (|U(' lo rayon rompu s'approche quelquefois de la perpendiculaire, et ([iTil s'en éloigne quelque autre fois, il mesure qu'il passe d'un milieu laie dans un plus dense ou au contraire; et en un mot, (|ue cette opinion s'accorde exactement avec toutes les apparences. De sorte que, si elle n'est pas vraie, on peut dire ce que disoit Galilée eu un sujet dillereiit, que la nature semhie nous l'avoir ini\V\ri'o. pcr pigliani s^iDro di noslri i^hinbizzi ( ' ).

Mais j'ai tort de ne songer pas que le sujet de cette lettre ne devoil être qu'un remerciment. Je vous conjure, .Monsieur, d'excuser sa longueur, quand ce ne seroit (|ue par l'intérêt que vous y avez, et de la recevoir en tout cas conune un témoignage de l'estime ([iie j'ai pour votre savoir et du resp(!et avec lequ(d je suis, Afonsieur,

Voire très luimhle et très afTectionué s(;rvileur.

Fkkmat. '

DIGBY A Fl^RMAf.

MEKCREDI 5 DfiCE.MBItU IG.'i/.

( la., p. 19G-197.)

Monsieur,

Je me donnai l'honneur de vous écrire le 19 du mois passé. Depuis •e temps-lii, j'ai été en Normandie et ;i mon retour j'ai trouvé la Lettre

( I ) Nous n'uvons pu retrouver le lexlc auquel csl cniiiruiUoc ccUe eiUtioii.

360 G^.uvni:s dk fermât. - coiirespondanci:.

qno vous iii'jivc/ l'ail riionnour de m'écrirc du 17 du même mois ('), doiil je vous ronds (rès-liumhles grâces et m'estime très-heureux de vous servir dans le commerce qui est entre vous et Monsieur de Frenicle, il qui je uionlrai aussi votre Lettre et, comme vous y parlez de noire (lliancclier Bacon, cela me fil souvenir d'un autre Ix'au mot (ju'il dit en ma présence une l'ois ;i l'eu ■\Ionsieur le Duc de Huckingliam.

C'éloit au commencement de ses malheurs, ipiand l'assemhlée des l']lats, (jue nous appelons le ParlemenI, enirepril de le ruiner, ce (|n'elle fil ensuile : ce jourlii, il en eut la première alarme, .l'ètoisavec le Duc, ayant diuè avec lui; le ('hancelier survint et l'entretint de l'accusation qu'un de ceux de la (^liamhre Basse avoit présentée contre lui, et il supfdia le Duc d'employer son crédit auprès du Uoi pour le maintenir toujours dans son esprit. Le Duc lui répondit <{u'il étoitsi l)ien avec le Roi leur maître, qu'il n'étoit pas hesoiii de lui rendre de hons ofliciis auprès de Sa Majesté : ce ({u'il disoit, non pas pour hi refuser, car il l'aimoit heaucoup, mais pour lui faire plus d'honneur. Le (Chancelier lui répondit de Iri'S-honne grâce qu'en ellel il croyoit être parfaitement hien dans l'esprit de sou ^hiitre, mais aussi qu'il avoit toujours remar(|ué que, pour si grand que soit un feu et pour si l'ortement qu'il hrùle de lui-même, il ne laissera pourtant pas de brûler mieux et d'être plus beau et plus clair, si on le souffle comme il faut.

De même j'ai dit à Monsieur Frenicle que, pour si grand feu d'esprit (|u'il ait et quelque merveilleux que soit son génie pour la science des nombres, son feu scroit plus brillant, s'il le vouloit exciter ou augmenter par l'étude, par la lecture des anciens et par la conversation.

H vous honore infiniment et dit que jamais homme n'a approché de votre fond de science; il m'a apporté ce matin un écrit pour vous l'envoyer. Je l'ai fait copier ])ar mon secrétaire, car vous ne l'auriez pu lire; il écrit d'ordinaire sur des lambeaux de papier et si vite qu'il n'y a que lui même qui puisse lire son écriture.

( ' ) Cctlc IcUre csl perdue.

LXXXVIIl. - 1-2 DÉCEMBRE 1657. 3(51

Vous aurez vu, par ma (lerniorc Irdrc, que j'ai roru celle (') (]ue VDUS me fites riioiiiieui' de m'éerire lors(|uc vous é(iez à la campagne. Au lieu lie vous laisser passer le litre do paresseux que vous vous donnez injustement, j'admire infiniment la facilité et la présence avec la([uelle, au milieu de vos ij;randes occupations, vous exprimez sur le champ vos profondes et subtiles pensées. Je vous supplie de croire (|ue j'honore vos rares talons et que je voudrois que mes actions vous |)risscnt témoigner mieux que mes paroles à quel point je suis etc.