CIV. - SEPTEMBRE lGo9. VW
rciico lolalo, et r;i|t|)Ii([iiéc RP aussi égale au rayon AR; ia parabole Al' (lu second genre sera égale à la spirale du second genre RCDA.
Si la spirale est cubique, il la faudra comparer avec la parabole (|uarréquarrée, et faire les ^ de la circonférence totale égaux ii l'axe AU de la parabole quarré(]uarrée, et l'appliquée RP toujours égale au rayon AR.
La parabole quarréquarrée PQA, du troisième genre, sera égale ii la spirale cubique du troisième genre en laquelle comme toute la circonférence à la portion K8R, ainsi le cube du rayon AR au cube du rayon AC; et à l'intini, en augmentant toujours chaque numérateur cl dénominateur de la fraction, de l'unité :
L'axe (le la paraliole ordinaire élant ... i de la circotiférciicc.
L'axe de la parabole cubique f de la iiiùuic circoniéronce,
L'axe de la ]>arabole quarréquarrée ... f
L'axe de la iiarabolc ([uarrécubique ... 4
l'uis I, etc.
D'où il est aisé de conclure qu'il y a des spirales dans celte progression (|ui s(uil plus grandes que la circonférence du cercle qui les produit, mais qu'elles sont toujours moindr(>s (jue la somme de ladite circonférence et du rayon.
Voilii un paradoxe géométrique, sur lequel peut-être M. Dettonville et M. de Zulichem n'ont pas encore rêvé. En tout cas, je les supplie de croire que je ne l'ai point de personne, et que ma méthode dont vous avez le chilfrc longtemps avant que le Livre de M. Dettonville parût, est la source de beaucoup d'autres belles découvertes sur le sujet des lignes courbes comparées, ou avec des droites, ou avec d'autres lignes courbes de diverse nature. Je vous en dirai j)eul-étre un jour qui vous surprendront.
3. -M. de Zulichem désire encore savoir si ma méthode s'étend à trouver la dimension des surfaces courbes des conoides et des sphéroïdes. Vous pouvez l'assurer que oui, et qu'elle va encore bien plus loin. Il m'entendra assez lorsque je lui assurerai :
i" Que je n'ai point vu aucune de ses prcqiositions sur ce sujet;
U4. Œuvin:s ue fermât.- correspondance.
2" (Jue la surface du conoïdc parabolique autour de l'axe se trouve |)ar la règle ot le compas et est un problème plan ;
Que les surfaces des conoïdes bypcrboliques et spliéroïdes su|tpitscnt la quadrature de l'byperbole et quelques fois de l'ellijjse,
Kt qu'enfin le conoïde parabolique autour de rappliqué(> fait une surface courbe qui suppose, pour être exactement mesurée, la (|uadra- Inrc de l'iiyperbole.
Je puis même donner une ligne droite égale ii toute portion de parab(de donnée, en supposant la quadrature de l'byperbole, c'est-à-dire de l'espace byperbolique.
.l'ajouterois tontes les constructions de mes j)ropositii>ns, mais le loisir me manque.
