CXVII. - 1G

Pour y parvenir, je fais

comme BF à AF, ainsi FO à FR, (<(

comme la même 15F à FM, ainsi FO à FI.

Puisque BF est plus graude que AF, donc FO est plus grande que FR et, puisque AF est plus grande que FM, FR est aussi plus grande ([ue Vï. et il parait même que

Vl\ est à FI comme AF à l'M;

car, puisque, parla construction,

comme AF est à FI$, ainsi FU à F"0, Pt

comme Flî à l'M, ainsi FO à FI,

donc, ex ccquo,

comme AF à FM, ainsi FR est à FI.

Je dis donc que les deux droites CO et OH sont plus grandes que les deux droites DF et FH. Car, par Euclide, au triangle amhlygone FHO, la somme des deux quarrés HF et FO est égale à la somme du quarré HO et du rectangle MFO pris deux fois; or, puisque nous avons fait

comme HF ou FH à FM, ainsi FO à FI,

donc le rectangle sous les extrêmes HFI est égal au rectangle sous les moyennes MFO, et le rectangle HFI pris deux fois est égal au rectangle MFO pris deux fois : nous avons donc la somme des deux quarrés HF et FO égale à la somme du quarré HO et du rectangle HFI pris deux fois. Mais le rectangle HFI pris deux fois est égal au rectangle HIF pris deux fois et au double quarré de IF; et le quarré HF, par le même Euclide, est égal au rectangle HIF pris deux fois et aux deux quarrés HI et IF : nous avons donc, d'un côté, le quarré HI, le quarré IF, le rectangle HIF deux fois pris et le quarré F"0 égaux au quarré HO, au rectangle HIF deux fois pris et au quarré FI pris deux fois. Otez de part et d'autre le rectangle HIF deux fois et le quarré FI : reste, d'un côté, le quarré HI avec le quarré FO égaux aux deux quar-

rés HO et IF. Mais le quarré FO est plus grand que le quarré FI, puisque, par la construction, FO est plus grande que FI : donc le (|uarré HO est plus grand que le quarré HI, et partant la droite HO est plus grande que la droite HI.

Si je prouve ensuite que la droite CO est plus grande que les deux droites DF et FI, il restera prouvé que les deux CO et OH sont plus grandes que les trois DF, FI et IH, ou que les deux DF et FH : je prouve donc le requis.

Dans le triangle amblygone BFO, par Euclide, le quarré BO est égal il la somme des quarrés BF et FO et au double rectangle AFO; mais, puisque nous avons fait, par la construction,

comme RF ù FA, ainsi FO à FR,

donc le rectangle sous BF et FR est égal au rectangle AFO, et par consé([uent le quarré BO est égal aux quarrés BF et FO et au rectangle sous BF, FR deux fois pris. Mais le quarré FO est plus grand que celui de FR, puisque la ligne FO a été prouvée plus grande que la ligne FR : donc, si vous substituez le quarré de FR au lieu de celui de FO, le quarré BO sera plus grand que les deux quarrés BF, FR et le rectangle BFR deux fois pris. Mais ces dernières sommes sont égales, par Euclide, au quarré des deux droites BF et FR prises comme une seule : donc la droite BO est plus grande que la somme des deux droites BF et FR. Mais nous avons prouvé que

|{F est à IF comme AF à FM, c'est à dire comme RF à FI),

qui est la mesure de la diversité des mouvements : donc,

comme la somme des deux anlécédents RF et Fl{ est à la somme des deux conséquents DF et FI, ainsi RF à FD.

Or donc

RO est à OC comme RF à FD :

comme RO est à OC, ainsi la somme des deux droites RF et FR est à la somme des deux droites DF et FI.