CXVII

Mais nous avons prouve que la droite BO est plus grande que la somme des deux droites BF et FR : il est donc vrai que la droite CO est plus grande que la somme des deux droites DF et FI, ce qu'il falloit prouver en second lieu.

Il n'y a donc aucun point du coté de M par où le rayon puisse passer sans y employer plus de temps que par le point F. Il reste h prouver la même chose au point V.

Si l'on fait, comme ci-dessus,

comme BF à FA, ainsi FV à FN, et

comme la même BF à FM, ainsi FV à FX,

NF sera à XF connue AF à FM, c'est à dire comme BF à FI),

par la preuve précédente, et chacune de ces deux droites NF et XF sera plus petite que VF, par ce qui a précédé.

Il faut prouver que la somme des deux droites YV et VU est plus grande que la somme des deux droites DF et FH.

Je considère premièrement que, par Euclide, dans le triangle amblygone VFH, la somme des quarrés HF et FV et du rectangle MFV pris deux fois est égale au quarré VII; mais, puisque, par la construction, il a été fait

comme BF à FM, ainsi FV à FX,

donc le rectangle BFX ou le rectangle HFX (puisque BF et FH sont égales) est égal au rectangle MFV : nous avons donc, d'un côté, la somme des quarrés HF et FV et du rectangle HFX pris deux fois égale au quarré HV. Mais le quarré FX est moindre que le quarré FV : donc la somme des quarrés HF, FX et du rectangle HFX pris deux fois est moindre que le quarré HV. Or cette somme est égale au quarré fait des deux droites HF et FX comme d'une seule, par Euclide : donc la somme des deux droites HF et FX est moindre que HV, et HV est plus gl-ande que ces deux droites HF et FX.

Si je prouve donc que la droite YV est plus grande que la droite DX. il restera prouvé que la somme des deux YV et HV est plus grande que la somme des trois DX, XF, FH, c'est à dire que des deuxDF, FH.

kOh ŒUVRES DE FERMAT.- CORRESPONDANCE.

Pour faire cette dernière preuve, je considère le triangle anii)lygone BVF auquel, par Euclide, les deux quarrés BF et FV sont égaux au quarré BV et au rectangle AFV pris deux fois; or, puisque, par la construction, nous avons fait

comme DF à FA, ainsi VF à FN,

donc le rectangle BFN est égal au rectangle AFV, et partant la somme des deux quarrés BF et FV est égale à la somme du quarré BV et du rectangle BFN pris deux fois. Or le rectangle BFN pris deux fois est égal au rectangle BNF pris deux fois et à deux fois le quarré FN : donc la somme des deux quarrés BF et FV est égale à la somme du quarré BV, du rectangle BNF pris deux fois et du quarré de FN pris deux fois. Or le quarré BF est, par Euclide, égal au quarré BN, au quarré NF et au rectangle BNF pris deux fois : nous avons donc la somme des quarrés BN, NF, FV et du rectangle BNF pris deux fois égale à la somme du quarré BV, du rectangle BNF pris deux fois et du quarré de FN pris deux fois. Otez de chaque côté le rectangle BNF pris' deux fois et le quarré NF : il restera donc que le quarré de BN et le quarré FV seront égaux aux quarrés BVet FN. Or le quarré FVest plus grand que le quarré de FN, par la construction : donc le quarré BV est plus grand que celui de BN, et partant la droite BV est plus grande que la droite BN.

Mais nous avons prouvé que

comme la droite RF est à FD, ainsi NF est à FX :

donc

comme la droite RF est à FN, ainsi sera DF à FX,

et, par la conversion des raisons, ^

comme RF à RN, ainsi sera DF à DX,

et

comme RF à DF, ainsi RN à DX.

Mais nous avons fait

comme RF à DF, ainsi RV à YV :

donc

comme RV à W, ainsi sera RN à DX.