X. — 2 SEPTEMBRE 1C3G

FERMAT A .MEHSENNE.

MAIIDI 2 SEI'TF.JIBRK l636.

Mon RÉvr.REM) Pkhk,

1. La loKro dont vous mo,parlcz dansvotre ck'rnii'rc s'ost sans doulii •'•i,'ai'f('. car celle que je viens de recevoir est la seule (|ui m'es! venue de|)uis cinq ou six semaines de voire part.

2. Sui' le sujet de la(|uelle {') je vous dirai (lUc, (|uand nous parlons d'un nombre composé de trois quarrés seulement, nous enlendons un nombre (|ui n'est ni (|uarré, ni composé de deux quarrés; et c'est ainsi (jue Oiopliante et tous ses interprètes l'entcMidenl, lorsqu'ils disent qu'un nombre, composé de trois quarrés seulement en nombres enlicrs, ne peut jamais être divisé en deux quarrés, non [)as même en tVaclions. Autrement et au sens que vous semble/, donner ;i votre proposition, il n'y auroit que le seul nombre de 3 qui fût composé de trois (|narrés seulement en nombres entiers; car :

PremièremenI, tout nombre est composé d'autant de (|uarrcs entiers qu'il a d'uni (es;

Secondemenl, vos intuibres de 1 1 et 1 1 se trouvent composés chacun de cinc] (|uai'rés; le premier de 1, 1, i, i, r ; le second de 4, 4' 1. '- '•

Oue si vous entendez (|ue le nombre (jue vous demandez soit composé de trois quarrés seulement et non pas de quali'e, en ce cas la (jueslion tient plus du hasard (jue d'une conduite assurée el, si vous m'en envoyez la consiruclion, peut-être vous le ferai-je avouer.

(') f'i)tr Letlre VI, 7. — D'apii's Oescarles (LcUres, éd. Clcrsclior, III, (i(Ji, raulcur (le la question, .Saiiitc-droix, ileniaiitlail (jiie les deux noiubrcs à trouver et leur somme lussent eoiuposcs de trois carrés à l'exclusion de (|uatre. Il n'\ aurait dès lors, suivant Uescartes, (juc trois solutions : i, 3, G; 3, ii, i4; 3. «i, ^j.

l'tRMAr. — n. 8

58 ŒUVRES DE FEI'.MAT. - f.O lili ES TON I) ANCE.

Do sorto (jiic j'jivois satisfait ;i votre j)r()[t(isiti(m an sens de ninpliaiilc, (|ui sciiihlc ('IrT le seul adiiiissiMc en (•clic sorte de (|iiesti()iis.

Or, qu'un nombre, composé de trois ([narrés s(nil(Mnent en nomlires eulicrs, ne puisse jamais être divisé en dinw (|narrés, non jias même en IVacitions, personne ne l'a jamais encnre démontré et c'est ii cpioi je li"ivaille et crois (|nc j'en viendrai ii l)ont. Cette connoissanre est de içrandissimc usage et il semide (|ue nous ii'avoas pas assez de principes pour en V(?nir;i I)i)ut; M. de lieaugrand est en cela de mon avis. Si je puis élendiM; en ce point les hnrncs de r.Vritlim"li([ue, vous ne sauriez croire les propositions inerveillenses que nous en tirentns.

3. i'our la Proposition s^costatiqiic. (die c-;( (onle l'ondée sur ce prin- (•![)(' seul, (]ue deux graves égaux, joints par une ligne Cerme et laissés en liberté, se joindront an centre de la terre par le point (|ui divise égaltunenl la ligne (jui les unit, c'est-ii-dire (|ne ce point de division s'unira au centre de la terre. .Messieurs Pascal et de {{(dx'i'val ('). apri's avoir ro(-ouuu (jue tout mon raisonnement est fondé lii-dessus et, (ju'accordant ce ])rincipe, ma proposition est sans dillicidtc, m'ont nié ce principe, (|ne je prenois pour un axiome, le plus ( lair et le plus évident (|n'on jtent demander; ol)ligez-moi de me dire si vous êtes de leur sentiment. Je l'ai |)Ourtant démontré depuis peu par de nouveaux [)rinci|)es, tirés des expérieni'cs, (|n'oii ne me sauroit contester, et je le leur envoierai au |)lns t(')t.

Je suis etc.

(<) loir LcUre Vltl, 1 cl suiv.

\l. — SI'PTKMHIU' 1G3C. o!)

KKKMAT A HOHEHVAI. (').

MVUDI l(i PECTKMttllK id'Ui.

IMo.Nsir.i 11.

1. ic me li'duvai ces jours |)assrs ii la caiapagno l(iis(|U(' je icpondis il volix" écril, (|iir j'avdis pniiilaiil luissr cii cctli' villr. I)('|)iiis mon iiioiir, je l'ai coiisidt'rc plus cxactcmciil cl vous oiivoii' la r(''[»oiisc plus |H('iisi' il (oiis SCS poiiils çoiiccniaiil le premier levier. Si vous ne goùlc/ pas mes raisons sur le secoiid, vous iirohlij^erez Iteaueoup de m'eiivovcr la démoiisdalioii de voire proposition suivaiil l'opinion oii vous cics, (jiie les 1,'raves ganlenl la proporlioii réciproque des jterpeiidiculaires lirées du cenlre du levier sur les pendants, el de huiuidlc je douterai tmijoiirs jusques à ce que je l'aurai vue. Je vous puis poiirlanl assurer ((ue je lu^ saurois démordre encore de la mienne el qiril me semble que vous ne sauriez démuiilrer la voire, au moins par les principes (|iie nous connoissons.

2. Le principe (|iie je vous ai demandé pour rélahlissemenl de mes propositions i;éoslali(|iies est (|ue, si deux poids égaux sont joints par une ligne droite ferme el de soi sans poids et, (|irélanl ainsi disposés, ils puissent descendre lilircnicnl, ils ne re[ioseroiit jamais jus(|ues ii ce (|iie le milieu de la ligne s'unisse au centre (•omniuii des clioses pesantes. Ce principe, qui vous a semblé plansilili' d'abord, a eiitin e,liO(|iié voire opinion sur ce principalement (|iie nous ignorons la cause radicale (|ui fait (jiie les corjts graves desceiideiit, sur (|Uoi vous dites ([n'il y a trois opinions dillerenles et que, de toutes les irois, les coiise(|ueiices semblent dilierciitcs.

(' I Sullc à lii LcUro I.\. et secoiido réponse ii la Lettre VIII. Duns les Paria, l'iu-licle 7 suit iinmédialeiTieiU le n° I. — La réplique de Robcrval est |)crduc.

3. Je ne rt'-pi'lc point vos mois ni vos raisons; je inc conhNitc d'y irpondiT i'[ /irifuo m la prcmièi'i' opinion.

En votro tigur(> (Jiff. iS), vous dilcs ([u'il vous snnidc (juc. si le point I) ou \i convient avoc 1<' contre commun des clioses pesantes.

Vvr. ,S.

combien ([ue l'un des poids en soit plus proche ([ue l'autre, ils contrepèseront encore et demeureront en équilibre. Puis(|ue, dites- vous (pour me servir de vos propres termes), ces deux poids sont égaux et ont tous deux même inclination de s'unir au centre commun des ( lioses pesantes, l'un n'a aucun avantage sur l'autre pour le déplacer de son lieu.

Or, si ce raisonnement est bon, voyez-le dans la figure suivante (fig. 30), dans laquelle j'emploierai les mêmes mots.

Fig. 30.

Soit le centre de la terre D, un point dans sa surface ou ailleurs (!; soit jointe la ligne (-D, et soit au point (] attaché le levier ]5(1A, duquel les bras BC, (]A soient égaux et les poids H et A aussi égaux, l'angle B(]A ferme. S'il n'y avoit point le poids en H, la ligne C\ s'uniroit à la ligne (^D, c'est-;j-dire que le poids A s'approcberoil du centr(> D autant qu'il pourroit; et tout d(! même de la ligne Bd.

Soit fait l'angh' B('d) moindre que D(l\; parle précédent raisonnement, le levier s'arrêtera (ce qui est contre l'expérience), puisqui^ les deux poids A et B sont égaux et ont tous deux même inclination de s'unir au centre D sà'e à la ligne C-D, et l'un n'a aucun avantage sur

\1. 10 SEPTEMinîR lf):]G. Gl

l'autre pour le (Icplaccr de sou lieu. Or, de môme qu'en ce cas l'cxpérit'ucc nous l'ail voir (|uc ces deux poids approi^heront également du centre 1) et de la ligue CD, il ue faut [)as douter ([u'au premier cas ils n'approcheul également du centre de la terre, et la raison de toutes ces deux propositions est, qu'ayant même inclination au centre et ue pouvant tous deux y descendre, à cause qu'ils s'entr'empê(dient, ils v approchent du moins également : autrement la force de celui (jui v approchcroit davantage seroit plus grande.

4. L'exemple du levier horizontal (Jig- 37) ue fait rien à la question : car, pour marijuer que les poids 1} et A n'ont pas leur inclina-

FiK.

lion au point C, il ne faut qu'oler la ligue CD, sur laquelle le levier s'appuie, et le levier ne restera pas de demeurer, s'il est pressé par les poids A et l\ horizontalement, de sorte que le point (1 n'est non plus considérable que tel autre de la ligne BA que vous prendrez. Et, cela étant, l'exemple est inutile, parce (|uc la principale raison de mon principe dépend de l'inclination. des graves au (;entre de la terre.

5. Ce que vous ajoutez, de deux poids qui seroicnt inégaux, joints comme dessus à une ligne droite ferme et de soi sans poids, n'est non plus recevable : car, vous accordant que, lorsque vous menez un plan perpendiculaire n la ligne qui joint les deux poids, comme vous faites en votre figure ('), il est certain qu'en ce cas il y a de chaqu(> coté du centre une grandeur égale; il arrive pourtant cent cas auxquels, si vous coupez les deux poids par un autre plan passant par le centre, les

(1) fmrjr-r. w. LeUlC VIII. 6.

(52 (KUVUES DE FEHMAT. - CO U HKS 1>()M) \N CK.

;4i';iii(l(Miis (|ni seront de cliaqiir cùlé siM'oiil iiiéiçalcs, cl ainsi un nirnic (•(>i'|)s (Ml rnéinc Icmps arrrlcra et n'ai'i'êlcra pas.

Il l'anl donc ncccssaii'cniciil iircndrr le repos des poids, non pas de celle Cacoii. mais de la pinpoilion ré<i|ii()(|ue siiivanl jiion seiilinienl.

\(iil;i, en peu de mois, la réponse ii votre preinii're opinion, (|ue j'eusse pu éleiidre ilavanlage et tirer nièuie la dénionslration de nioii princi|ie de rexpérieuce (|ue je vous ai donnée, comiiie il viuis sera aisé de voir.

6. Si la seronde opinion est vraie, mon piiiicipe est inCaillilile. Car en ce cas vous dites ([ne le coijis pi'sera (rautanl moins (|n'il sera proche du centre, mais cette (liiiiinuti(m ne sera pas en la raison des éloi;i;iieiiiens. Or, puis(|u'nii corps pi-se moins en ce cas ;i mesure (lu'il est plus proidie du centre, diuic il sera I(M1J(HI['s pressé par le plus éloigné, jus(|ues à ce ([u'ils soient également éloignés du ceulre.

\'\\\ la Iroisii'ine opinion les mêmes raisons sont lionnes.

Je serai liieii aise ((lie .M. Pascal voie ma Lettre, si vous ragrée/..

7. l'ermellez-moi de cliaiiger de malii're et de vous demander la (léinonstralion de celte proposition ([ue j'avoue rrancliement (|ue je n'ai enciu'c su trouver, (|uiii(|ue je suis assuré (in'elle est vraie (') :

Siiiiimd (iiKtdrdtorimt a diuihiis récits ralionalihiis /(>fiL;i/ii(/inc comiiwii-

I ' I l^a propD.silion ([uc Feniiiil ('iioiiec (Jaiis le laii^;ii;c ciiclidicn [)cmiI s'expriinci- c-.oiiimi; siiil :

Si ti cl h scinl rationnels cl ipio l'ciii ail,