XII. - SEPTEMIUIE 1G3C. G
al) iinitalc iiicipuMite, qiiot sunt uiiitatcs in difloreiUia progressionis unitate demiiuita, oainquo suminam ductain in nunicrum tormiiiorum.
?." Dolrahc diiplum siiinma^ totidem numcrorum ab unilafo, quot sunt unilales in dilî'erentia progressionis unitatc dominula, illiidcnic ductnm in summani niimerorum progressionis datio.
llis ablatis, reliquuni, pcr diirerenliam |)rogressionis divisuni, dal)it suinniani (juadratoruni al) omnibus.
Ex his duobus casibus rcliqui oinncs nullo aul mininio ncgolio elicicntur jnxta pneccpta.
10. Sed hic luiTcre noluinuis, verùni p.robleina totius lortasse Arithmelicos pulchorrimuni construximus, quo non soluin in (juavis progressionc sanimain quadratorum et cuboruni venamur, sed omnium omnino potestalum in infinilum mclhodo gencralissima, quadrafo((uadratoruni, ([uadralocuborum, cubocubornni, etc.
il. Ut aulcin innolescat Dom". de Sainte-(]roix sphingem me aiit OEdipum non exspectare, en prol)lema in (juadratoquadratorum progrcssu, ([uod ita potcst theorematicc enuntiari :
Exponantur (juollihi'l numeri in progressionc nalurali ah (inila/c ; si a quadritplo iillimi, binario auclu <] cl ^ in quadratum tria/iguli niimcrorum diiclo, dcmas summam quadratorum a singulis. fiel quinlupltmi quadratoquadralorum a singulis.
Exemplum : Expositis numcris
quadruplum ultimi binario auctum est 18, quod duci débet in 100, quadratum trianguli numerorum : fit
Ab 00 producto dôme summam quadratorum a singulis, qua- est
Supcrcst 1770, cujus quinta pars, 3j4, a'quatur quadratoquadratis a singulis.
In (|ualibet progrossione siinilitor prohiema construcmus imitando coiistructionem pra'cedcntcm.
Mothodum gciicralcni in ([nihuslibot in infinilum poteslatibus tradciniis, si visum fiicrit aut (il)i aiit Dom". de Sainte-Croix.
12. Intérim addiniiis propositionom pulcherrimam a nobis inventant (pKO nobis hicem (ledit ad hujusmodi propositioncs iiiviMiien-
dasC):
In progressione naturali ultimus niirnerus in proximc majnrcni facil daplutn trianguli collaterahs, in triangidum niimeri proximc mnjoris facit triplum pyramidis coUalerahs, in pyrainidcin nurnen proximc majoris facil (juadruphim Inangitlolnan-
giili collalcrabs, cl câ in infinilum iiniformi mclltodo.
(1) yoir Tome I, VOhfermtinn XLVI xur Diophniite. — Il est 1res rcmarqiialilc (juc celle proposition capilalc, qui donne, de fail, la composition des coefficients du l)inônie, après avoir clé ainsi commiuiiqiice en if)36 à Mcrsennc, à Sainte-Croix et à Roherval (ci-nprcs Lcllrc XV, 3), soit restée assez ii;nor6c poarcpio dix-luiit ans après, l'ascal, en la retrouvant sous une autre fcirnie, n'ait eu aucun soupçon de la très grande antériorité de la découverte de l'^erniat.
On lit dans le Traité det ordre- iiiiincriquex ((JEuvrcs de Biaise l'ascal, édition de 1779, t. V, pp. G5-GC), après la proposition XJ :
« Les manières de tourner une même chose sont infinies : en voici ini illustre exemple » et bien glorieux pour moi. Cette même proposition que je viens do rouler en ]>lusieurs >) sortes, est tombée dans la pensée do notre célèbre conseiller de Toulouse, M. de Fer- " mat; cl, ce qui est admirable, sans qu'il m'en eût donné la moindre lumière, ni moi à » lui, il écrivoit dans sa province ce que j'invcnlois à Paris, heure pour heure, comme .1 nos lettres écrites et reçues en même temps le témoignent. Heureux d'a\oir concouru u en celte occasion, comme j'ai fait encore en d'autres d'une manière tout à fail étrange, '> avec un homme si grand et si admirable, et qui, dans toutes les recherches de la plus » sublime géométrie, est dans le plus haut degré d'excellence, comme ses ouvrages, que " nos longues prières ont enfin obtenus de lui, le feront bientôt voir à tous les géomètres » de l'Europe, qui les attendent! La manière dont il a jiris cette mèiue proposition est » telle : »
» Eli la progression iifiture/le rjin ronimc/ire par l'unitc, un iionihrc (juelco/irpie ciniit i> mené danx le procluiinement plus grand produit le double de son triangle. »
I) Le même nombre, étant mené dans le triangle du prochainement plus granil. pro- « duit le triple de sa p\ rainide. »
" Le même nombre, mené dans la pyramide du prochainement plus grand, produit le 11 quadruple de son triangulotriangulaire. »
)) Et ainsi à l'in/iid, par une méthode générale et uniforme. »
» Voilà comment on peut varier les énoncialions. «
