XIV. - H OCTOBRE 1G3C

doublé. Au contraire, la puissance G ot la puissance E feront é((uilibrc. Par le même principe, les puissances I, LcontrepèseronI si, ctaiil éiïaies, les bras AK, AH sont égaux et les angles AHI, AKL aussi égaux. Il eu sera de même des puissances P et R, si le tout est disposé de niétiie.

Et en ce cas nous ne mettons point d'autre dilTérence entre les poids et les autres puissances, sinon (jue les poids tendent et aspirent tous vers le centre des choses pesantes, elles puissances peuvent être entendues aspirer vers toutes les parties de l'univers avec autant, plus ou moins de force (|ue les poids. Ainsi les poids et leurs parties tirent par des lignes de direction ([ui toutes concourent à un même point, et les puissances et leurs parties peuvent être entendues tirer de telle sorte que toutes les lignes de direction soient parallèles entre elles.

Deuxième axiome. — En second lieu, nous supposons qu'une puissance et sa ligne de direction demeurant toujours en même position et le centre de la balance ou du levier de même, quel (]ue puisse être le bras mené du centre de la balance à la ligne de direction, la puissance, tirant de soi toujours de même sorte, fera toujours même elTel.

Comme en cette seconde figure {fig. 4<>), le centre de la balance étant A, la puissance B et sa ligne de direction BF, prolongée tant que

Fig. \q.

de besoin, à laquelle aboutissent les bras AG, AC, AF. En cet état, soit que la ligne BF soit liée au bras AF ou AC [ou AG] ou à un autre bras mené du centre à la ligne de direction AF, nous supposons que cette puissance B fera toujours un même effet sur la balance; et si, tirant par le bras AC, elle fait équilibre avec la puissance D tirant par le bras

AE, lors([irclli' (ircra parle liras AF ou AO, clic fera oiicore ('■([iiilibrc avec la imissaïu'c I) liraiil par le liras Alv

Ce principe, ([iioi([iril ne soit pas (•xprcssémciU dans les auteurs, il est néanmoins nsiirpé tacitement [tar Ions ceux qui en ont eu all'aire, et l'expérience le confirme constamment.

Troisicnic axiome. — lin troisième lieu, nous posons que, si les bras (l'une balance on d'nn levier sont directement posés l'un à l'autre cl, (ju'étant é^anx, ils soutiennent des puissances égales desqu(dles les angles de dircclion soient droits, ces pnissances pèseront égalemcnl sur le cenirc de la balance, soit (jn'ellcs soieiil procbc iln même centre, soil ((u'clles en soient fort éloignées, soi! ()uc loiilcsdcux soient ramassées an même ccnire.

(domine en la (roisième figure ( //i;-. '|i\ la balance étant VA), le centre A, les bras égaux AD, AE soutenant des puissances égales M, I,

Fis- \^- CAR

(les(jn(dlcs les angles de direction ADII, AE! soient droits; nous supposons (|ue ces |iuissaiu-es I, H pi'seront i\[' même sur le centre A (|nc si (dles étoicnl plus prl's du même centre sur les distances égales A15, Ad, et encore de inèmc([ue si ces mêmes puissances éloienl ensemble pi'iidnes en A, ces angles tle direction étant toujours droits.

l'rerniêrc proposition. — Ces princi[)es posés, nous démontrerons lacilemeni, imilan! Archimède ('), (iiic sur une balance droite, les puissances, desquelles et de tontes leurs |)artics les lignes de direction sont parallèles entre (dles et perpendiculaires à la balance, conlrepi'seront et feront é([nilibre, quand les mêmes puissances seront entre (dles en proportion récipro((ue de leurs bras. Ce que nous pensons vous être aussi facile qu'à nous.

I ' ) Ancm.MKDK, De plniwriini (e{/iii/i//riis, I, G cl 7.

\1V. - 11 OCTOIUIE 1G3G. 79

Kn suite ilr (iimi ikiiis (lémonlrcroiis (•('(((' proposition univcrsrilc, ii la(|iii'li(' nous butons.

Deuxième proposition. — \in toute iKihincc ou levier, si la pro|)(U'tioii (les puissanees est réciproque à celle des lignes perpendiculaires menées du centre ou point de l'appui sur les lignes <le direction des puissances, ces puissances, tirant l'une contre l'autre, l'eront équilibre et, tirant d'une même pari, elles feront un pareil ellet, c'est-ii-din- (|u'elles auront autant de force l'une (]ue l'autre pour mouvoir la balance.

Soit eu la (|uatriéme ligure {^fig- V-) 'i' centre de la balance A, le bras AB plus grantl (|ue le bras AC, et soient |ireniii'rement les lignes

HE

l'ig- i!

lie direction 151), CE perpendiculaires aux bras AH, Ati. par lesquelles lignes tirent les puissances D, K, lesquelles seront des poids, si on veut, et (|u'il V ait même raison île la puissance I) ii la puissance E que du bras AC au bras A15, les puissances tirant l'une conire l'autre, .le dis qu'elles feront é(|uilil)re sur la balance (]AI5.

('ar, soit prolongé le bras CA jusques en T, en sorte (jue AF soit égale il \\\, et soit considérée CAF comme une balance droite de la(|uelle le centre soit A. Soient aussi entendues deux puissances (i et H, des([uellcs et de toutes leurs parties les lignes de direction soient parallt'Ies ii la ligne VAi; et ([ue la |)uissance (1 soit égale ii la puissance I) et la puissance H égale à la puissance E, l'une, savoir G, tirant sur le bras Al" et l'autre, savoir 11, tirant sur le bras AC.

Lors, |)ar la premlè're proposition, les puissances G et H feront équilibre sur la balance CAF; mais, par le premier principe, la puissance D sur le bras AB fait le même cfi'et que la puissance G sur le bras AF :

parlant la puissance D sur le bras Wi fait (''quilibre avec la puissanco H sur le bras AC cl, la puissance II tiraul ilc même sorlc sur le bras Ad (|ue la puissance E, par le uicmo premier axiome, la puissance I) sur le bras AI} fera é(|uilibrc avec la puissance 1*] sur le bras AC.

Maintenant eu la cinquième ligure (Jig. ^j), soit le centre de la balance A, les bras AB, A(^ les lignes de direction BD, CE nui n(i

soient pas perpendiculaires aux mêmes bras, et les puissances D, E tirant par les mêmes lignes de direction; sur lesquelles lignes soient menées des perpendiculaires du centre A, savoir AF sur BD et AG sur El]; et que, comme la ligne AF est à AG, ainsi soit la puissance E à la puissance D, lesquelles puissances tirent l'une contre l'autre. Je dis qu'elles feront équilibre sur la balance CAB.

Car, soient entendues les lignes AF, AG comme les deux bras d'une balance GAF, sur lesquels tirent les puissances D, E |)ar les lignes de direction FD, GE, ces puissances feront équilibre, [)ar la première partie de cette seconde proposition; mais, par le second axiome, la puissance D sur le bras AF fait le même elTet que sur le bras AB, et la puissance E sur le bras AG fait le même elfet que sur le bras AC; partant, la puissance D sur le bras AB fait équilibre avec la puissance E sur le bras AC.

Il y a plusieurs cas suivant les chutes des perpendiculaires, mais il vous sera lacile de voir que tous n'ont ([u'unc même démonstration. Il est aussi facile de démontrer que, si les puissances tirent de même part, elles feront même elfet l'une que l'autre, et l'elTet des deux ensemble sera double de celui d'une seule.

J'attends votre jugement sur celte démonstration et, si vous l'ap-

\IV. — Il Or/rOHHK 1G3G. 81

prouvez, nous conununi([uorons eiisuilc des conséqiioiices (|ui on ilé- |>cn(l(Mi!.

3. J'ai trouvé la démonslralion (') de la somnio des qnarrés de denx côlés ralionaux, eommensurables en longueur, appliquée au double de la somme des eolés. excédant d'une iigure quarrée. Mais, puisque vous l'avez aussi trouvée, je ne vous dirai ici que mon principal fondement qui est que, de deux nombres (|uelcon(|ues, la somme de deux t'ois le quarré du premier, deux fois le quarré du second et deux fois le produit des deux nombres, n'est pas un nombre quarré, d'autant que, j)renant les moindres nombres de leur raison, un nombre simplement pris n'est pas quarré. Si nous avons Ions deux un même moyen, ceci sul'til; si vous en avez un autre, ee que vous reconnoitrez parce discours, vous me ferez faveur de me l'apprendre, et moi je vous écril'ai le mien tout au lon^, si vous le désirez.

4. .l'ai aussi trouvé la tlénnuislralion (- ) de votre conoule e( celle de votre parabide solide et, en conséquence, C(dles d'une infinité d'autres pareilles, quarréquarrées, quarrésolides etc.

5. .l'ai trouvé les tangentes de toutes ces ligures : [)ar exemple, en la parabole solide, la portion de Taxe, prise entre la tangente et le sommet, est double de la portion du nn-me axe. prise entre le soMimct cl la ligne appli({uée de l'attoucliement ii l'axe.

6- .l'ai, par le même moyen, quarré la parabole géométri(|utMnent, autrement qu'ArcliiniiMJc.

1- \'A je me trompe fort si je n'ai rencontré le même moyen (juc vous, me servant des lignes parallèles à l'axe et des portions de ces lignes prises entre les paraboles et la ligne (jui touclie les nu'mes paraboles [)ar le sommet, lesquelles portions se suivent en la raison de l'ordre nalurcd des nombres quarrés on des nombres cubes etc. Or, la somme des ijuarrés est toujours plus (|ue le tiers du cube (|ui a j)0ur

(I) loir LeUrc XI, 7.

^2) f'oir LcUrcs IX, 7; XIII, 3 cl 6.

I'kHM VT. — n. Il

82 ŒUVUES DE FERMAT.- COURESPONOANCE.

(•(■)(('■ lo cot('' (In [)liis grand ((narrr, et la mémo somme des quarrés, le plus grand étant ùlr, est moindre que le tiers du môme euhe; la somme des cubes plus (jue le (|uarl du quarréquarré et, le plus grand cui)e été, moins qu(^ le quart; etc. Si par ce discours vous reconnoissez ((ue ee n'est pas votre moven, j'en serai d'autant plus réjoui pour ce (|ue nous eu aurons deux, et vous me ferez la faveur de m'envoyer le votre, faisant le même de ma part.

8. Pour les tangentes de la conclioïde, je les ai considérées il y a longtemps, comme étant déterminations d'équations (juarréquarrées. Sur ce sujet, il y a doux points en la conchoïde par les(|uels ou ne peut mener des tangentes : je vous prie de les considérer et vous trouverez une admirable propriété d'angles au sommet l'un de l'autre à la section d'une ligne droite et de la conchoïde (').

9. .l'estime vos propositions (-) des nombres et celle du lieu plan fort difticilos; ce que je saurai mieux quand j'aurai eu le loisir de l(>s considérer, comme aussi les centres de gravité des ligures susdites tant planes que solides, n'étant pas résolu pourtant de m'obstiner après; car j'aimerai mieux tenir de vous ce que vous en aurez, si vous l'avez agréable.

10. .le vous prie pourtant de me mander si le centre de gravité de votre demi-conoide n'est pas ce point où l'axe est divisé de sorte (|iie l'un des segments est à l'autre comme i r à 4, pour ce qu'un léger raisonnement et non encore bien considéré m'a semblé me mener à cette raison ('' ).

H. Une autre fois je vous pourrai mander de nos propositions ainsi (|ue vous le désirez. Pour celte heure, que je n'emploie à écrire ceci qu'un temps dérobé, je vous envolerai seulement celle-ci :

De deux cônes droils égaux cl isopérimclrcs étant données les bases inégales ou les hauteurs inégales, trouver les cônes.

( I ) f'oir Lclli'c XIII, 3 — Knlierviil parln ici des points d'inflexion de la tonclioïdc. ("-) t'olr Lettres XIII. i et 7.

(^) loir ei-après l-cttre W. 5.

\V. - k NOVEMBRE 1G3C. 83

Quand je dis isopérimêlres, j'entends les hases y comprises ou exceptées, comme vous voudrez.

Vous en aurez la solution quand il vous plaira, si vous ne voulez prendre la peine de la trouver vous-même, et je vous l'aurois envoyée dès maintenant, n'éloit que je crois que vous désirerez avoir le plaisir d'y penser.

Attendant que vous me fassiez la laveur de m'écrire. je demeurerai etc.