XXV. - 18 JANVIER 1G

(i que vous me mandez qu'il a envoyé ceci après avoir lu ma Géométrie; et s'étonnant de ce que je u'avois point trouvé la même chose, c'est-ii-dirc, comme j'ai sujet de l'interpréter, à dessein d'entrer en concurrence et de montrer qu'il sait en cela plus que moi; puis aussi à cause que j'apprends par vos lettres qu'il a la réputation d'être l'orl savant en Géométrie, je crois être obligé de lui répondre.

2. Premièrement donc, je trouve manifestement de l'erreur en sa ri'gle, et encore plus en l'exemple qu'il en donne pour trouver les contingentes de la parabole : ce que je trouve en cette sorte.

Soit (fig- Go) BDN la parabole donnée dont DC est le diamètre, e( (jue dn point donné H il t'aille tirer la ligne droite BK qui rencontre

Fis. 6o.

DC au point E et qui soit la plus grande qu'on puisse tirer du même point E jusques à la parabole : sic enim proponitur quœrenda maxima.

Sa règle dit : statiialur quilibel quœstionis terminus esse A ; je prends donc EC pour .1, ainsi qu'il a fait : el invenialar maxima (à savoir BE) in icrrninis sub A gradu, ut libel, involutis; ce qui ne se peut faire mieux qu'en cette façon : Que BC soit //, le ([uarré de BE sera Aq.+ lUj., à cause de l'angle droit BCE.

Ponatur rursum idem terminus qui prias esse A -+- E; à savoir je fais que EC est .4 + E (ou bien, suivant son exemple, A — E, car l'un revient h l'autre) : iterumque im'cniatur maxima (à savoir BE) in terminis sub A et E gradibus ut libet cocfficientibus ; ce qui ne se peut mieux faire qu'en cette sorte : Posons que CD ait été ci-devant I), lorsque

BC étoit/?, le coté droit de la parabole sera ^'pi à cause qu'il est ii BC,

128 aiuvuKS 1)1-: feiîmat. - (.oiuU'Spondanci:.

la ligne appliquée par ordre, comme BC est. à VA) le segment du diaini'd-e au(|uel elle est appliquée, ('/est jtoiirqiioi, maintenant (|ue Œ

est A + A", DC est J) + /•;, et le (piarre de B(, est —^ j^ — '- ,

([iii étant ajouté au quarré de Œ, qui est Ar/. -+- A in /s bis + Et/., il fait le ([uarré de BK.

Ada'qiientiir duo houiogciica ninxùnœ œqitalia ; e'esl-à-dire que Af/.-hli'/. soit posé égal à

/!>/. -I h - 1 q. + ( m /: lus + h q. :

cl dcrnplis cnniinunihus, il reste

Bn.m hJ , . ,, , . „

— '-— h I iM /; lus -4- A'/, cj;;!

non.

Applicen/iir ad II etc. ; il vient

E/idaltir K. il reste

Bq. . .

—— -+- yl l)is c'j;nl a iii'ii.

Ce qui ne donne point la valeur de la ligne A, comme assure l'auteur, et par conséquent sa ri'gle est fausse.

3. Mais il se mécompte encore bien [)lus en l'exemple de la uiéme parabole, dont il tâche de trouver la contingente. Car, outre (|u'il ne suit nullement sa ri'gle, comme il paroit assez de ce que son calcul ne se rapporte point à celui ((ue je viens de faire, il use d'un raisonnement qui est tel que, si seulement, au lieu do parabole viparaholcn, on met partout en son discours Jiyperbole et hypcrholen ou le nom de quelque autre ligne courbe, telle que ce puisse être, sans y changer au reste un seul mot, le tout suivra en même façon qu'il fait touchant la parabole jusques à ces mots : ergo ÇAl prohavimns duplain ipsiiis (10, quod quidem ita se hahct. Nec unqitam fallit methodus; au lieu desquels on peut mettre : non ideo seqtiiuir (Ai dnplam esse ipsius CD, nec unquam

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ila se liabel alibi qitain in parabole, iihi casii ci. non ex ri prœmissarum rcrnm ronchtdiliir : sernpeninc failli isia mcthodtis.

4. Si (•('( aiilrur s'est ('loniu' de (■(> (|iic je n'ai |ioiiit mis de t(dles rèi,des en ma Géométrie, j'ai beaucoup plus de raison de m'étonner de ce qu'il a voulu t'ulrer eu liée avec de si mauvaises armes. .Mais je lai veux bien encore doniu'i" le temps de remonter à cheval, et de prendre toutes les meilleures qu'il eut pu choisir pour ce combat, qui sont (jue, si on chani^'c (juel(|ues mots de la rciçle (|u'il propose pour Irouver nia.riuutnt et niinimain, on la peut rendre viaie et est assez bonne.

(le (|ue je ne pourrois néanmoins ici tlire, si je ne l'avois su di's auparavant (|ue de voir son l'écrit : car, étant tid (ju'il est, il m'eùl plutôt enipéelié de la Irouver ([u'il ne m'y eut aidé. Mais encore (|ue je l'aurois iijnoree et (|ue lui l'auroil parfaitenn'iit sue, il ne nu' semble [las (]u"il eùl pour cela aucune l'aison de la conqiarer avec celle ([ni es( en ma (léometrie loiu'hant le même sujet.

5. {\iv premii'renuMit la sienne ( c'est-à-dire celle (|u'il a eu envie de Irouver) est telle (|ue, sans industrie cl [)ar hasard, on [leut aisément tomber dans le chemin qu'il faut tenir pour la rencontrer, lequel n'est autre chose qu'une fausse position fondée sur la façon de démontrer ([ui réduit ;i rimj)ossible et ([ui est la moins estimée et la moins inj^'énieusc tic toutes celles dont on se sert en mathématique. Au lieu que la mienne est tirée d'une connoissancc de la nature des équations, qui n'a jamais été, «(ue je sache, assez cxpli({uéc ailleurs (jue clans le troisii'me Livre de ma Géométrie; d(^ sorte ([u'clle n'eût su être invcnlée par uiH' personne qui auroit ignoré le fonds de l'algèbre, et (die suit la plus noble façon de démontrer (|ui [misse être, ii savoir celle (|u'on nomme a pi ion.

6- l'ois, outre cida, sa régie [U'étcnduc n'est pas univcrstdle comme il lui semble, et elle ne se [)eut étendre à aucune des (ineslions t|ui sont un [leu dilticiles, mais seulement aux plus aisées, ainsi qu'il pourra éprouver si, a[»rés l'avoir mieux digérée, il lâche de s'en servir pour Irouver les conlingcntes, [tar exemple, de la ligne courbe Bl)\

Ikum \t. — U. 1/

i:jo

ŒUVRES DE FEUMAT. — CORHESPONDANCE.

{fig- (Ji)' 11"^ j*' suppose t'Irc (elle qu'en (jiiel(|ue lieu de sa eireouréroncc qu'on prenne le point 15, ayant lire la perpendiculaire 1J(", les deux eul)es des deux lignes B(] et (]!) soient ensemble égaux au parallélépipède des deux niènies lignes BC, CO et de la ligne donnée P.

Fis. 'H.

(A savoir, si P est 9 et que CD soit 1, BC sera f\, pource que les cubes de 2 et de '\, (jui sont 8 et G'\, font 72, et que le parallélépipède composé de 9, 2 et 4 est aussi 72.)

Car elle ne se peut appli(juer ni ii cet exemple, ni aux autres (]ui sont plus (liltieiles, au lieu que la mienni! s'étend généralement ii (ous ceux qui peuvent tomber sous l'examen de la géoinétrie, non seulement en ce qui regarde les contingentes des lignes courbes, mais il est aussi fort aisé de l'applicjucu" à trouver maxirnas et ininimas en toute autre sorte de problèmes; de façon que, s'il l'avoit assez bien comprise, il n'auroit jyas dit, après l'avoir lue, que j'ai omis celte matière en ma Géométrie.

7. 11 est vrai toutefois que je n'y ai point mis ces termes de niaximis et minùnix, dont la raison est qu'ils ne sont connus que parce qu'Apollonius en a fait l'argument de son cincjuième Livre, et que uion dessein n'a point été de m'arréter à expliquer aucune chose de ce que ((uelques autrcis ont déjà su, ni de réparer les livres perdus d'Apollonius, comme Vièle, Saellius, Maritius Glietaldus ('), etc., mais seubiment de passer au delà de tous cotés, comme j'ai assez fait voir en commençant par une question que Pappus témoigne n'avoir pu être trouvée [)ar aucun des Anciens; et par même moyen, en composant et

(') loir Tome I, p. 3, nolo 3.