LL>DI 3 MAI 1G3H
Mon Hkvkrkm) Pékk,
1. Il V a déjà quelques jours que j'ai reçu votre dernière du -26 mars, où vous me mandez les exceptions (') de ceux qui soutiennent l'Ecrit
(') A parlir ries mois c/ suffit, le lexle csl conjcclural. Le liroiiillon d'Arboyusl pcirle (les mois en italique sont ceux pour lesquels il a particulicrcnicnt hcsilé) :
Il El suffil lors que nous trouvons des cqualions impossibles, nous ayons pris le concours du mauvais côlé etc. de sorte qu'il pareil même sans faire un plus £;rand retour. que l'équation .wit toujours aussi .v( le concours |)eul exister et en aussi peu de temps qu on puisse imaginer. »
Arbogasl a ajoute on note : « 11 me pareil que celle leçon esl véritable, nous n'eu avons pas mis la fin dans la copie au net, par ce que nous craignions de nous lrom|)er. »
(-) Le texte de celle lettre a été corrigé sur l'original, actuellement conservé à la Bibiiollièquc Victor Cousin.
(^) Ces exceptions se retrouvent développées dans YEscrit de rjuclcjucs amis de Monsieur de Fermât, imprimé Lettres de Descartes, éd. Clersclier, III, 58. Mais Descartes ne l'avait jias encore reçu (voir ci-après, Lettre XXl.K, 3); c'est donc à tort que la noie de l'exemplaire de l'Inslilut, reproduite i)ar Cousin {OEuvres de Descartes, l. VII, p. 23). assigne à cet ficrit la date du i5 mars i638. Il ne doit avoir été envoyé ipi'en avril; Descartcs répondit seulement à Mersenne par la lettre 111, 5g do l'édition Clersclier; la date du i4 avril i638, indiquée pour cette lellre par l'annotateur anonyme (OEtuTes de Descartes, éd. Cousin, t. VII, p. 35) est également trop reculée, Roberval n'ayanl pas encore eu connaissance de celte réponse le i" juin i638.
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(le M. Format de maxirnis etc. Mais elles ont si peu de couleur que je n'ai pas cru qu'elles valussent la peine que j'y répondisse. Toutefois, pource que je n'ai point eu depuis de vos nouvelles et que je crains que ce ne soit l'attente de ma réponse qui vous fasse dilïérer de m'écrire, j'aime mieux mettre ici pour une fois tout ce que j'en pense, atiii de n'avoir jamais plus besoin d'en parler.
2. Premièrement, lorsqu'ils disent qu'il n'y a point de inaxima dans la parabole ('), et que M. F. trouve les tangentes par une règle du tout séparée de celle dont il use pour trouver maximam, ils lui font tort en ce qu'ils veulent faire croire qu'il ait ignoré que la règle qui enseigne ii trouver les plus grandes sert aussi ii trouver les tangentes des lignes courbes : ce qui seroit une ignorance très grossière, à cause (jue c'est principalement à cela qu'elle doit servir; et ils démenlent son Écrit où, après avoir expliqué sa méthode pour trouver les plus grandes, il met expressément : Ad stiperiorem mcthodum imcntionent langentium ad data puncta in lineis quibuscumque curvis reditcimas (-).
H est vrai (ju'il ne l'a pas suivie en l'exemple qu'il en a donné louchant la parabole, mais la cause en est manifeste, (^ar, étant défeclueuse pour ce cas-là et ses semblables (au moins en la façon qu'il la propose), il n'aura pu trouver son compte en la voulant suivre, et cela l'aura obligé ii prendre un autre chemin, par lequel rencontrant d'abord la conclusion qu'il savoit d'ailleurs être vraie, il a pensé avoir bien opéré et n'a pas pris garde à ce qui manquoit en son raisonnement.
3. Outre cela, lorsqu'ils disent que la ligne EP, tirée au dedans de la parabole ('), est, absolument parlant, plus grande que la ligne EB,
(') Voir LeUrc XXV, lii:. (m). L'objcclion de Descartes contre lu rèi,'le de Fermai était que pour trouver lu luni;eiUc BE au point B de la parabole, il fallait clierclicr le inaxiinuni de BE. considéré comme droite à mener du |)oint K à la parabole. Roberval et Pascal rc[)oiissaienl à bon droit ce raisonnement.
(-) Foir Tome I, page i34, les deux dernières lignes.
(') Voir fig. Co, page 127. Il faut supposer la droite EP menée de E ù un point de la parubole plus éloigné que B par rup|iorl à E.
l'tO
GÎLVHKS Dl' F i: KM AT.
COUHRSPONDANCE.
ils ne (lisent rien (|ui scrvo à leur cniisc. (Inr il n'est |)as rof|iiis (in'cllc soil la plus i,M'aiiili' al)S()liinicii( |)rii'lini(, mais seulcincnt (|ii'cllc sdil la plus i^randc sous ccrlainos condilicuis, (^onime ils (Uil LMix-uiriiies (Iriini au comuicncfmenl do riirril ( ' ) (|u'ils ui'oiit cuvoyé, i»ii ils discul (|ui' colle inveutinu de M. F. esl toKcluuil /es p/us ^ra/u/es cl les moindres lignes ou les plus ffra/rls cl les moindres espaces r/iir l'on puisse mener on faire sons certaines conditions proposées.
Va ils ne sauroieul nier que la ligne 1{I{ ne soit la plus içraudo (|u'oti puisse mener du poini K jusques ii la [)araI)ole sous les condilinns (|ue j'ai |)r()posées, ii savoir qu'<!lle n'aille ([lu- jusques à (die sans la traverser, eomnie ils oui assez dû eulendre d(''s le premier' coup. .Mais pour l'aire mieux voir (|ue leur excuse n'esl aucunement valable, je (l(uinerai ici un autre exem|)le où je ne |)arlerai ni d(> tanj^cnte ni de parabole, et où toutefois la r(''if|e de M. F(>r. manquera en nuMne iacon (|u'an pr(''C(''denl. Aussi bien vous vous plaignez quand je vous envoie du papier vide, et vous ne m'avez point donn('' d'autre malii're pour remplir celt(^ l'euille.
Soil donn('' le cer(de 1M)N {J'g- ()'-i), y\V que le point I'] (|ni en esl deliors soit aussi (lonn('' el qu'il t'aille tirer (bï ex\ point \\ vers ce cercle
nue ligne droite, eu sorte (|ue la partie de cette ligne ([ui sera bors de ce cer(de entre sa circoni'(''rence et le point donn('' E soit la plus grande. Voici coinment la r(''gle doiin(''e par .M. Fer. enseigne (|u'il y faut [)roce'der.
Ayant meut'; la ligne HDN |tar le centre du cercde et sa partie lOl) étani nommcM' H, et sa partie ON (jui est le diam(';tre (''tant C, siatualiir
I ' 1 Kci'il, |ii'r(hi, cinoyi'' |iiu- iMci'sciiiic ^'i Desr;ii-U'S li; M iï'\ ri(;|- iliis.
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(jidlihcl quœstùmis terminus esse A ('), ce qui iio se peut mieux l'aire <[u'eii uieuaut, IJd perpendiculaire sur DN et prenant A pour (]|).
/:/ irn-eniâ maxirnâ de. Pour trouver donc cette inaxunai)}. \\ savoir IJK. puis(|ue \)V, est A et DN est C, le (juarré de BC est
( ill C — .1 qiiad., e( piiis(|ui' r)(] est .1 et DH est //, le ([uarré de ('R es!
Afj. -+- 11(1.-+- A in /.' bis,
le(|uel joint au quarré de W. lait le quarré de la plus i;rande 151-]. (|ui
est
t ill C + /?r/.+ 4 iii^bis.
l'onalKr rursits idem (jui pritts lerminus esse A + /s, Ueriimiiiie iiiveiiiaiur niaxima, ce (|ui ne se peut faire autrement, en suite de ce qui a précède. (|u'en posant .1 -+- E pour DC. Et lors le (juarré de IJC, est
6' in . / + C in H — A q. — lin K liis — A''/. ;
puis le (|uarré de i\\ es!
\q. + A\w E bis H- /w/. + Ufj. 4- .( in B bis + /-.' in // bis,
lecpiel. elanl joint à l'autre, tait
,1 in il -(- E in 6'+ lUj. + t in //bis + A' in A* bis
])our le (|uarré de la plus grande BE.
A(hr(iiienlur. c*est-ii-(lire ((u'il l'aul poser
I in C'h- A'y.+ .l in A'bis cL'al i'i t in C' + A'in €+ /lq.+ A in A' bis -t- A'in A bj>.
Et (Icmplis œqualilnis (-). il reste
/f in C -+- A' in A' bis i'v:i\\ ;i rien,
ce (|ui montre manifestemenl l'erreur de la ri'gle.
5. I*;t atin ()u'il ne [)uisse plus y avoir personne si aveugli' qu'il ne
('; Dcscartos l'cpi'ciid siicccssivciiicnl, l'ummc dans !;i Lt'Uic WV. les liilléiciili'.phrases (bi U-xlc de lii rc.i,do dunnco pur t'cniiiiL (Tome 1, page i33). (-) l'VniKil iiv.iit dit coiniwiniliiiK (Tome I, p. i33, lj>:in; { on remoiilaiil ).
la voie, je dirai ici en quelle sorte on la peut corriger. Car, hieii que j'en aie touché un mot en ce que j'ai écrit à M. Mydorge ('), il y est néanmoins en telle façon que je ne désirois pas encore que tout le monde le put entendre.
Premièrement donc à ces mots el inventa maximâ, il est bon d'ajouter rel aliâ quâlihet cnjus ope possit postea maxima inveniri. Car souvent, en cherchant ainsi la plus grande, on s'engage en beaucoup de calculs superflus.
Toutefois cela n'est pas un point essentiel; mais le principal et celui (jui est le fondement de toute la règle est omis en l'endroit où sont ces mots : Adœguentur duo homogenea maximœ aiit minimœ œqualia. lesquels ne signifient autre chose sinon que la somme (|ui explique maximani in lerminis suh A gradu ut lihet involutis, doit être supposée égale à celle qui rexpli<|ue in terminis sub A et E gradihus ut libct coefficientd)us.
Ht vous demanderez, s'il vous plaît, à ceux qui la soutiennent, si ce n'est pas ainsi qu'ils l'entendent, avant que de les avertir de ce qui doit V être ajouté : à savoir, au lieu de dire simplement adœquentur, il falloil dire : adœquentur tali modo, ut quantitas per istam œquationem invenienda sit quideni una , cùin ad maximarn aut minimam referlur, sed una cmcrgens ex duahus quœ per eamdem œquationem possent inveniri essentque inœquales , si ad minorem maximâ rel ad majorem mimmâ referrentur (-).
6. Ainsi, en l'exemple (jue je viens de donner, ce n'est pas assez de chercher le (juarré de la plus grande en deux façons; mais outre cela, il faut (lii'c :
comme ce quarré, lorsqu'il est A iii C -f- liq. + A in li l)is,
est au même quarré, lorsqu'il osl.t iii 6' + Cin 6'-t- /?</.+ ^1 in/ibis + ^iii/?bis,
ainsi C in yl — Aq., (|ui est le quarré de RC,
osl à C iti A -)- C \\\ /s' — A q.— A in E bis — Eq., qui esl aussi le même quarré.
C) Lettres de Descnrtes, éd. Clersclicr, IH, 57, page 3oG.
(2) Descartes essaye de ramener la mélliode de Fermât à la sienne propre, c'csl-à-dirn à la recherche de la condition sous laquelle deux racines d'une équation deviennent égales.
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IW
Puis multipliant le premier de ces quarrés par le quatrifime.on le doit supposer égal au second multiplié par le troisième, et après, en démêlant cette équation suivant la règle, on trouve son compte, ii savoir {|ne
CD est -rrr-- Ti' comme il doit être.
B bis + C
1- Tout de même, en l'exemple de la parabole qui avoit été pris par M. F., et que j'avois suivi en mon premier Écrit ('), voici comme il faut opérer :
Soit BDN {Jig. Go) la parabole donnée, dont DC est le diamètre, et (|uc du point donné B il faille tirer la ligne droite BE, qui rencontre
Fit;. Oo.
DC au point E et qui soit la plus grande qu'on puisse tirer du même point E jusques à la parabole : — à savoir au dehors de cette parabole, comme ceux qui ne sont point sourds volontaires entendent assez, de ce que je la nomme la plus grande.
Je prends B pour BC et D pour DC, d'où il suit que le côté droit est -y-^> et sans m'arréter à chercher la plus grande, je cherche seulement l(^ quarré de BC en d'autres termes que ceux qui sont connus, en prenant .4 pour la ligne CE, et par après en prenant A -h E pour la mémo : il .savoir, je la cherche premièrement par le triangle BCE, car
, ,. „ . • é r. ^ Ain B -h E\n 7J
comme A est ii B, ainsi A -h E esta -, >
(\n\ par conséquent représente BC, et son quarré est
-4<7.in Bq.-h t \n E in Bc/. h'is -+- Eq.\n Bq.
(') Lcurc XXV.
lU (KUVHKS DE l'EUM AT. - CO 1', IÎES1M)NJ)A NCi:.
puis je la clici'clii' par la |)araljol(', rar, qiunid KC est A -+- E, \W. csl I) -+- t'J, cl le ([iiairé de 15(1 l'st
J!'/. \n f> -{- /Iq. iii /',"
ijiii (lui! (''Ire égal au pi't'rédcut, à savoir
.( in /'J in /la. Iiis -\- l-'ii. in ll/i. . , , llii. in E - ^^- - ..,ala ' ^y- .
D'où l'on Irouvr, en suivant la règle, (jue.l, e'est-à-dire (IK, est douhie de />, e'est-à-dire (H), eoiiinie elle doit être.
Or il est ii reMiai'(|uer que eette eoudilioii (|ui eloit omise, est la iiièiue (|ue j'ai e\pli(|uée ( ') en la page ')/|('), eoiiinie le l'oiideiiienl de la méthode dont je me suis servi j)0ur trouver les tangentes, et (|u"(dle est aussi tout le fondement sur le(|U(d la ri'gle de iM. !•'. doit être a|)puyée; en sorte ([ue, l'ayant omise, il fait paroiti-e ((u'il n'a trouvé sa règle (|u'îi làtons, ou du moins ([u'il n'en a pas eoneu elairemenl les principes.
Kl ce n'est point merveille qu'il l'ait pu former sans eela, car (die réussit en plusieurs cas, nonobstant qu'on ne pens(^ point ii observer cett<' condition, à savoir en ceux oii l'on ne peut venir à l'équation (|u'eu l'observant, et la plu|)art sont de ce genre.
8. Pour ce qui est de l'autre article, où j'ai re|)ris la façon dont se sert M. F. pour trouver la tangente de la [)arabole, vous dites qu'ils assurent tous (ju'il faut prendre une propriété s|)écitique de l'Iiyperbole ou de l'ellijjse pour en trouver les tangentes. Kn quoi nous sommes d'accord, car j'assure aussi la même chose et j'ai apporté expressément les exemples de l'tdlipse et de l'hyperbole, (jui eoneluenl très mal, [xmi' montrer (|ne ;M. Fermât conclut mal aussi touchant la [)aral)ole dont il ne donne point de propriété spéciti([ue.
Car d(ï dire (-) qu'il y a plus grande proportion de CD ii Dl <|ue du
(') (ic'oinc'tric lii' IJusuiirU's, cd. llorriwiiiii, paires iO cl 07. (2) f'oir ïonic I, iwgo i3), lignes 4 à 'J-
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quarrc de BC au quarré de 01, ce n'est nullement une propriété spécifique de la parabole, vu qu'elle convient à toutes les ellipses et à une infinité d'autres lignes courbes, au moins lorsqu'on prend le point 0 entre les points B et E comme il a fait, et s'il l'eut pris au delà, elle eût convenu aux hyperboles. De façon que, pour la rendre spécifique, il ne fiiUoit pas simplement dire sumcndo quodlihel punclum in rccla BE, mais il y falloit ajouter sivc sumatur illud intra puncta B et E, sivc ultra punclum B in lineâ EB productâ. Et cela ne peut être sous-entendu en son discours, à cause qu'il y décrit la ligne BE comme terminée des deux cotés, à savoir, d'un coté par le point B qui est donné, et do l'autre par la rencontre du diamètre CD.
Outre cela il falloit faire deux équations et montrer qu'on trouve la même chose en supposant El être A -\- E, que lorsqu'on le suppose être A ~ E. Car sans cela le raisonnement de cette opération est imparfait et ne conclut rien.
9. Voilà sérieusement la vérité de cette affaire. Au reste, pour ce que vous ajoutez, que ces Messieurs qui ont pris connoissance de notre entretien ont envie de nous rendre amis, M. Fermât et moi, vous les assurerez, s'il vous plaît, qu'il n'y a personne au monde qui recherche ni qui chérisse l'amitié des honnêtes gens plus que je fais, et que je ne crois pas qu'il me puisse savoir mauvais gré de ce que j'ai dit franchement mon opinion de son Ecrit, vu qu'il m'y avoit provoqué. C'est un exercice entièrement contraire à mon humeur (jue de reprendre les autres, et je ne sache point l'avoir encore jamais tant prati(jué (ju'eii cette occasion; mais je ne la pouvois éviter après son défi, sinon en le méprisant, ce qui l'eût sans doute plus offensé que ma réponse.
Je suis, mon Révérend Père,
Votre très humble et très alTectionné serviteur,
Descautes.
Du 3 mai i638.
Fermât. — M.
