XXIX. - 1" JUIN

EC A, on tombe dans uno ai)surclité que C -\- B his est égal à rien ; et, si le point E étoit dans le cercle, C — B bis seroit égal à rien. Mais cette absurdité montre qu'il ne faut pas chcrcber le point B dans la circonférence autre part ([ue dans la ligne DN, savoir au point N pour la

plus grande et au point D pour la moindre : en quoi il est rcmar(|uable que C -h B lus est la somme de la plus grande et de la moindre, et C — B bis est leur différence.

Mandez-moi quel est votre sentiment, car, n'ayant pas encore le loisir de considérer bien particulièrement le fonds de votre méthode el sa démonstration, il se peut être qu'elle ne contienne des mystères (|ui me sont encore cachés.

4. J'ai trouvé admirable le moyen (') par lequel vous l'appliquez aux paraboles et solides paraboliques pour en trouver les centres;

mais, le voulant éprouver en la vraie parabole, j'ai trouvé qu'il falloit changer votre raisonnement qui n'est que particulier au conoïde pa-

( ' ) Centrum grca-ildlis paraliolici coiioidis, tome I, p. |3G et suiv. P'oir Lettre XXV lus, 4.

ralioliquo, car, ayant l'espèce de la ligne EO {Jîg. G5), vous pouvez hien dire :

connue la diiïéreiice des qnarrcs lA cl AN esl au quarré de AN, ainsi la ligne EO est à OM,

ce que vous ne pouvez pas en la parabole même ('), en laquelle, suivant ce raisonnement, il faudroit dire :

comme la différence des cubes de lA el AN esl au cuhe de AN, ainsi la dilTércnce des quarrés de EM et MO esl au quarré de MO,

et cependant vous n'avez pas l'espèce ni de l'un ni de l'autre de ces (juarrés.

An lieu desquels j'ai dit ainsi :

il y a plus grande raison du cube lA au culie AN que du f|uarré El au quarré 01,

ce qui réussit, et en la parabole cubique j'ai dit :

il y a plus grande raison du quarréquarré lA au (piarréquarré AN que du cube El au cube 01, etc.

Mais le raisonnement est autant ou plus beau et plus facile par les figures qui restent, ayant ùté le plan parabolique du parallélogramme qui le comprend.

J'ai promis à M. Mydorge de l'entretenir sur cette invention que je ne saurois assez admirer, et je m'assure que M. Pascal en fera ses exclamations ordinaires, si je puis la lui faire voir, comme j'espère (^), et à M. Desargues.

5. Il faut aussi que M. Descartes la voie, afin qu'il nous en fasse voir les paralogismes et, puisque vous avez trouvé les tangentes de sa

( ') Hoberval n'avait pas compris toiiles les ressources de la mclhode de Format. ( -) Depuis quelque temps, Etienne Pascal avait attiré sur lui la colère de Kicliclieu et il se cachait, pour éviter une arrestation.

\XX. - 1" JUIN 1638. lot

figure (' ), qui est une cspi'ce d'ovale, il sera bon que vous lui envoyez, ou nous, si vous le trouvez meilleur. Mais prenez garde {|ue, par le même point donné, il peut y passer deux de ces ovales et parlant y avoir deux tangentes, ce que j'espère que l'équalion fera découvrir.

6. J'v Iravaillerois, mais je suis assuré que vous y réussirez mieux que moi, joint qu'il me faudroit être délivré de la roue à laquelle je suis attaclié, ayant appelé du nom de roue le cercle qui roule avec les conditions que vous savez (-); et ayant donné un nom à la ligne courbe que décrit un point delà circonférence pendant une révolution entière, je démontre (jue l'espace compris de cette ligne courbe <'t de la droite qui lui sert de base, sur laquelle la roue se meut, est majiis dalo quain in ralionc, c'est à savoir que, de cet espace en ayant olé l'espace de la roue, il v aura même raison du reste ii la même roue (|ue de la base de l'espace ii la moitié de la circonférence de la roue.

D'où il s'ensuit qu'en la roue ordinaire, de laquelle la base est estimée égale à la circonférence, l'espace dont il s'agit est triple de la roue; et si la base est double de la circonférence, l'espace sera quintu[)le de la roue; si tri|)le, septuple : et ainsi en continuant |)ar les nombres impairs.

De tout ceci je vous envolerai par le premier courrier une brève démonstration, en attendant le Traité entier.

Je suis etc.

(') La courbe .r'H-.)'= a.ry. — l^'oir Lolti'c XXV, 6, el ci-après, pièce XXXI, 3. — Il faut observer que, pour prendre à la leUre l'énoncé de Descarlcs et en l'absence do convenlions précises sur l'interprétation des signes des coordonnées, Roberval dcvail rejeter les branches infinies de la courbe, comme ne faisant pas partie du lieu, et, au contraire, y ajouter dans chaque angle autre que celui des coordonnées positives, un Jolitim symétrique do celui q\ie forme la courbe dans ce dernier angle. La figure d'ensemlile du lieu, figure admise au reste par Descurtcs lui-même, justifie dès lors le nom de yahuid (nœud de ruban), que lui donna Roberval (voir, ci-après, Lettre XXXV). Dans la phrase qui suit, ce dernier semble faire allusion au point double à l'origine.

(*) Conditions de génération des cycloïdcs. — f^oir IxttreXXV lus, 7.

FERMAT A MERSENNE (')

< jLi> 1G38 >

(A, f" 27, 13, f 2fi.)

Mon Révéuend Père,

1- J'avois déjà fait un mot d'écrit pour m'cxpliquer plus clairement à !M. Descartes, sur le sujet de ma méthode de maximis et minimis et de invenlioiic tangentium, lorsque votre dernière m'a été rendue, (jui contient copie de la réplique (-) de M. Descartes. Je ne reste pas de lui envoyer ce que j'avois déjà fait ('), où il trouvera sans doute de (|uoi se désabuser de la croyance qu'il semble avoir, que j'ai trouvé cette méthode par hasard et que je n'en connois pas les vrais principes.

2. Il a déjà franchi qu'elle est bonne pour les tangentes, en se servant d'une propriété spécifique des lignes courbes, ce qu'il dit << ne > pouvoir être sous-entendu en mon écrit latin; en effet, je n'aurois ni sens commun, ni logique naturelle, si je croyois d'une propriété générale en tirer des particulières. La méthode donc est bonne, au sens auquel je l'emploie pour les tangentes.

Et n'importe de dire qu'il faut faire deux opérations, l'une par A+E, l'autre par A — E, car une seule suiRt pour la construction, quoique la démonstration que je n'ai pas encore donnée, tire son principal fondement de ce que A 4- E fait la même chose que A — E.

(') LclUc inédite, envoyée à Mcrsennc avec la Pièce suivante XXXI. Mersenne adressa le tout à Descai'tes le 20 juillet iC38. D'autre part, cette Lettre XXX fut écrite sur le vu de celle de Ucscartes à Mersenne, du 3 mai (ci-mn/it XXVII), (]uc le Minime n'adressa à Fermât ((u'après le 1°'' juin (voir Lettre XXIX, 3). Les deux Pièces XXX cl XXXI sont donc de la lin do juin ou du commencement de juillet itJ38.

(2) Lettre XXVII.

(3) La Pièce XXXI.