reste donc de chercher le point 0 par la méthode
Soit par exemple la parabole donnée CIA (fig. 67) sur laquelle le point A soit donné. Je i^eux chercher le point 0, en sorte que OA soit la plus courte de toutes celles qui du point 0 peuvent être menées à la parabole.
Fis. G-
BC, comme ci-devant, s'appellera D, et BA s'appellera/?, le coté droit de la figure, Z, donné, puisque la parabole est donnée. Supposons que ()B soit A. Donc le quarré OA en notes sera Aq. -+- />q.
Prenons maintenant, au lieu de la ligne A ou OB, OF ou A + E. Si du point F nous menons l'appliquée FI, son quarré sera en notes
Z \n D — Ziii /i',
lequel, ajouté ;iu quarré de OF, fera
A q. + Ef/. + A in E l)is + Z\i\ D — Z\\\ E,
et celle somme fera le quarré de 01, lequel doit être plus grand (jue celui de OA, puisque son coté est supposé plus grand que OA. Comparons donc en noies, par adéquation, les quarrés 01 et OA. Nous aurons d'un côté
y\q.+ Bq.,
el de l'autre
yif/. -h Eq. -^- A in /i bis -\- Z \n D — Z\n E.
Otons les choses communes; la comparaison restera entre
Eq. -H A in E bis
d'un coté, et
if in É"
de l'autre; car Bq. est égal, par la propriété de la parabole, à Zin />.
XWI. - DE MAXIMIS ET MINIMIS. 161
Divisons le tout par E, et du reste olons le même E :
A l)is sera égal à Z,
et partant A ou OB sera égal à la moitié du côté droit de la parahole, et la tangente est trouvée.
1- C'est ainsi que j'appliquois ma méthode pour trouver les tangentes, mais je reconnus qu'elle avoit son manquement, à cause que la ligne 01 ou son quarré sont d'ordinaire malaisés à trouver par cette voie; la raison est prise des asymmétries qui s'y rencontrent aux questions tant soit ])eu dilficiles, et qu'on ne peut éviter, puisque, sur /) — E en notes, il faut donner un nom à FI aussi en notes, ce qui est souvent 1res malaisé.
La méthode de M. Descartes n'otc pas non [)lus tous les inconvénients, car ohligeant à mettre \!s<; — ec-f- 2e>' — vy au lieu de x, et le quarré de cette somme au lieu de xx, et son cube au lieu de x', et ainsi des autres, — c'est ainsi qu'il parle (' ) page 3^\-2, — si on lui propose de trouver la tangente à une courbe, en sorte que, faisant en sa figure MA égal à v et CM à x, on ait l'équation suivantes qui expli(|Mi' l(! rapport qui est entre .r et v.
Oy'' -i- Py + b-y-- -+. l,-y^ + h'' y JO .f'» — dx'> — J'.z'' — d'' X' — d' x' — dKr,
il me semble qu'il lui sera très malaisé de se desembarrasser des asymmétries (jui se rencontrent en cette question et autres semblables et plus difficiles encore, si on veut, à l'intini; ce que je serai bien aise (|u'ii prenne la peine d'essayer.
8. Puisque donc ces deux méthodes paroissent insuffisantes, il en falloit trouver une qui levât toutes ces difficultés.
Il me semble avec raison (]ue c'est la première que j'ai proposée, car
(-F restant toujours D — E, et FK, 1 > je ne vois ru'n (|ui
(') Géométrie de Dcscarles, éd. Ilcniiann. Paris, iSKG. page 33, au bas. — Dans la figure, A esl le somincl iTiinc courbe, AxM l'abscisse, MC l'ordonnée couranlc; Fermai noie d'ailleurs cxaclemcnl les coordonnées comme l'avait fait Dcscarles.
I'lrmat. — II. 21
nn|ircli(' (jii'dn ne [)uisse le coin paroi-, on prenant, si vons vonioz,
,, ,, , n\n -I -/?in/i ...
I) — h ponr V o( ponr x, sans roneonfror jamais nue
seule asyininoh'io, v\\ qnoi oonsislo la faeiiilé e( la porCedioii i\i' colle niolliode.
9. On poiirrnil ensnile elierehor la converse do cotlc proposition et, la [)ro[)riété de la tangente étant donnée, chorojii'r la coiirho ;i (|ni ootio [iropriélé doit convenir : à laquelle queslion aboutissent eidlos dos verres l)riilants proposées par M. Descartes. Jlais cela mérite un discours ;i part et, s'il l'agrée, nous eu conférerons quand il lui plaira. Je d(!siro seulement qu'il sache (juc nos questions de inaximis cl luinimis et t/c laiigcnlibas lincarinn ci/n'aru/n sont parfaites depuis huit ou dix ans et ({ue plusieurs personnes (jui les ont vues depuis ciiu] ou six ans le peuvent témoigner.
S'il désire voir l'apiilication (') (jue je lais de cette inéihe méthode pour trouver les centres de gravité des espaces compris des ligues courbes et de leurs solides, je la lui ferai voir el lui proposerai cepoudaiit, s'il l'agrée, (\(' trouver le centre de gravité du cnnoide (jut se feiit lorsrjne l<i demie parabole (]BA est tournée sur son applujuée 15 A, el celui aussi de tontes ses portions, comme aussi la proportion (pi'elles ont an.v cônes de même hase et de mctne hauteur (-).
( ' ) Ccnlriiin paroljolici coitoiilis, Toino I, p. i3(i. (M roir IaHIics IX, 7; XIII. 6: XV, 5.
