XXXVIII. - MARS

2. S'il savoit quelque chose de uouveau pour les pairs, il vousdcvroit avoir envoyé une table du quarré de i8 ou 22 ou pour le moins de i/j, qui a servi de borne ii Bachet ('), et, quand il l'aura fait, nous avouerons qu'il y sait quelque chose.

3. Ce qu'il vous a envoyé n'est pas digne d'un honnête homme comme lui, mais est plutôt l'occupation d'un écolier et, s'il veut s'employer il un exercice qui lui soit plus convenable, sans sortir de cette matière, qu'il dispose les nombres d'un quarré en telle sorte que toutes les lignes et diagonales soient égales et que, telles enceintes qu'on voudra, et non plus, en étant ôtées, le quarré qui restera soit de même nature (|ue le premier.

Par exemple, que 22 soit donné pour le côté du quarré magique; on demande que, ce quarré ayant les conditions requises, on en puisse ôter trois enceintes et que le quarré restant, qui aura iG cellules de côté, soit encore magique; et qu'olant deux enceintes de celui-ci, le quarré restant, qui aura 12 cellules de chaque côté, soit encore magique; et que de celui-ci, en étant une enceinte, le quarré restant, qui aura 10 de côté, soit encore magique; et que du premier quarré de 22, tel autre nombre d'enceintes qu'on en veuille ôter, le quarré restant ne soit plus magique.

4. Davantage, il se peut aussi étudier à taire de ces tables qui aient une partie de leurs cellules vides et néanmoins que toutes les lignes, colonnes et diagonales, soient égales tant en la quantité des nombres qu'en la somme d'iceux.

Par exemple, s'il y a en la table quarrée i44 cellules, qu'il n'y en ait que 60 ou autre nombre possible de remplies de nombres consécutifs et qui commencent par tel qu'on voudra, et qu'en chaque colonne, ligne et diagonale, il y ait 5 nombres, la somme desquels soit égale par tout.

5. Mais s'il veut sortir des quarrés et s'appliquer aux solides, il pourra considérer les nombres disposés en telle sorte qu'ils forment

(' ) Problèmes plaisans et délectables qui se font par les nombres. — A Lyon, MDCXXIV.

les trois facos extérieures d'une pyramide triangulaire ou tétraèdre, e( faire que les dits nombres, étant en [)rogression donnée, Cassenl foules les enceintes égales entre elles.

Par exemple, que la somme des nombres représentés par /, ///, n, o, [), (j, r, s, t soit égale à celle de c, /", g, h, i, X-. et à celle de r, />, d : et que les lignes a, r, e, /; a, h, g, o e( a, d, i, r soient égales entre elles en valeur comme elles le son( en longueur en (Géométrie; et que les (rois lignes de chaque enceinte soient égales entr<' (dles, c'est-à-dire l'une il l'antre, jusques à où il se peut; et déterminer à quelles enceintes doit linir l'égalité susdite.

(le seront là des occupations qui méritent ancunemenl qu'il s'y emploie et, quand il y aura satisfait, on lui découvrira des choses (|ui sur|tasseront d'autant celles-ci que c(dlcs-ci surpassent ce qu'il vous a envoyé.

6. .le vous dirai aussi que, s'il ne veut pas sortir des plans, je lui |)ourrois demander un hexagone rempli de nombres consécutifs, (|ui ait même somme eu chacun de ses côtés et des lignes (jui vont du centre à la circonférence.

WXVIII. - iMAIlS IGVO. 185

Par exemple, que les nombres représentés par o, n, m; m, /, /■; X-, /, //; //, /, s; s, r, q; </, p, o, comme aussi par a, b, o; a, c, m; a, d, /■; a, e, h\ a, g, s et a, f, y, eussent chacun leur somme égale; e( en onlre, qu'otant (juelques enceintes de ladite figure, sous les eoiidifions déduites au quarré, la même égalité demeurât encore.

Vous remarquerez, s'il vous plaît, que la quantité de lettres qui sont ici ne sert que d'exemple, et ne s'ensuit pas d'icelle qu'on puisse faire ces choses sous la quantité qu'elles représentent, car elles ne servent que pour les donner mieux à entendre.

7- Pour ce qui est des nombres dont il veut renouer la conl'érence, on attend encore la solution de ceux qu'on lui a envoyés autrefois, et de celui que vous avez encore envoyé depuis peu ('), duquel il doit d'autant plus facilement venir à bout, qu'il a trouvé la démonstration de tout ce qui concerne les parties aliquoles.

8. Et s'il trouve que ce soit peu de chose pour lui, qu'il vous envoie un nombre /^rt/j/Jn'/ qui ait 20 lettres ou le prochainement suivant, atin de ne point sortir de ce qu'il sait avec perfection, et j'estime qu'il en viendra d'autant plus facilement à bout, qu'il pourra sur tout ce (jue dessus consulter l'oracle de ce grand démon dont vous nous avez tant fait de fête, lequel nous tiendrons pour bon ange et des plus blancs, s'il y satisfait. Encore que, s'ils étoient versés en ces malières-là comme le sont vos Sainte-Croix et Frcnicle, cela leur serviroit plutôt d'ébattement que de travail, vu qu'il y a longtemps qu'ils ont trouvé et considéré ces choses-lii.

Voilà, mon Père, si j'ai bonne mémoire, un raccourci de tout l'entretien que nous eûmes ensemble avant-hier.

.le suis, mon Révérend Père,

Votre très humble et affectionné serviteur,

Frexicle.

(M Comparer les LcUres XXXVI, 1 et XXXVII, 1. Freniclc fuit allusion à une corrcsl)ou(]ance perdue, qui |iaraît avoir surtout coneerné les nomijres en relation donnée avec la somme do leurs parties aliquotcs.

fehmat. — n. 24

XXXVIII bis.

FERMAT A MERSENNE

DIMANCHE 1 AVRIL ICiO.

{fa, p. l'jS-i'jfi.)

Mon Ri:viir,E>n Père,

1- Je vous dois deux réponses pour les deux dernières Lettres que j'ai reçues de votre part et que j'ai trouvées toutes deux en môme temps à mon retour de la eampagnc; le sujet de la première concerne Monsieur Desargues et celui de la seconde Monsieur de Freniclc.

2. Je suspends la réponse aux questions de Monsieur Desargues, jusques à ce que j'aurai vu par votre faveur le troisième Livre des (ioniques de Monsieur Mydorge et les autres ('), s'il y en a d'imprimés depuis les deux premiers qui sont les seuls que j'ai en mon pouvoir. Je vous promets alors de m'étendrc sur tout ce qu'il semble que vous desirez de moi, et cependant je suis obligé de vous dire que j'estime beaucoup Monsieur Desargues et d'autant plus qu'il est lui seul inventeur de ses Coniques; son livret, qui passe, dites-vous, pour jargon, m'a paru très int(dligible et très ingénieux (^).

(') Les deux premiers Livres des Coniques de Mydorge avaient été publiés en i6ii sous le litre :

Claudii Mydorgii palricii Parisini Prodromi Catoptriconim et Diopiriconim sive Conicoruui operis ad abdita radii rcdexi cl rcfracti mysteria pr.xvii et faceni prœfcrcnlis Libri prinius cl secundus. D. A. L. G. — Parisiis, Ex typograpliia I. Dcdin, via Nucuin, sub signo Irium Columbarum, M.DC.XXXI. Cum privilegio Régis (in-folio).

Les deux suivants furent ajoutés dans la réédition de if)3g :

Claudii Mydorgii.... Libri quatuor prioros. D. A. L. G. — Parisiis, Ex typograpliia I. Dedin, via Nucuni, sub insigni parvi Sculi, M.DC.XXXIX. Cuni privilegio llegis.

(') 11 s'agit du Brouillon project d'une atteinte aux cucnemen.9 des rencontres d'un cône avec un plan, par le S. G. D. L., dont rédilion originale, imprimée à Paris en ifiSg, est introuvable (Œuvres de Desargues, éd. Poudra, I, pages 97 à 23o). — La correspondance do Fermât ne contient aucune autre indication sur les questions que lui avait posées Desargues.

XXXVIIl bis. — l- AVRIL 1640. 187

3. Pour Monsieur de Krcniclc, ses inventions en Aritliniéti(|ue me ravissent et je vous déclare ingénument que j'admire ce génie qui, sans aide d'Algèbre, pousse si avant dans la connoissancc des nombres entiers, et ce que j'y trouve de plus excellent consiste en la vitesse de ses opérations, de quoi font foi les nombres aliquotaires qu'il manie avec tant d'aisance. S'il vouloit m'obliger de me mettre dans quelqu'une de ses routes, je lui en aurois très grande obligation et ne ferois jamais ditHculté de l'avouer, car les voies ordinaires me lassent et, lorsque j'entreprends quelqu'une de ces questions, il me semble (juc je vois devant moi

Magnum maris œquor arandum ( ' ).

à cause de ces fréquentes divisions qu'il faut faire pour trouver les nombres premiers. Ce n'est pas que mon analyse soit défectueuse, mais elle est lente et longue pour ce regard et j'ose dire sans vanité (}ue, si je pouvois l'accompagner de cette facilité, je trouvcrois de fort belles choses. Je voudrois avoir mérité par mes services la faveur que je lui demande et ne désespère pas même de la payer par quelques inventions qui peut-être seront nouvelles à Monsieur Frenicle.

4. Pour la méthode que j'oppose à la syncrise ('), ce n'est seuh'ment que pour éviter les divisions qui sont souvent très fâcheuses en cette sorte de questions.

Soit, par exemple :

bda — ha"- — a' œq. •:'°'-.

(^etle équation peut avoir trois solutions, desquelles soit par exemple Il l'une qui soit donnée. 11 faut trouver les autres deux.

(') Virgile, Enéide, II, 780 : Longa libi cxsilia cl vustum maris œciuor arandum.

(2) Le fragment qui suit est inédit; il est reproduit d'après l'extrait de la Lettre du i" avril 1G40, que contient le manuscrit Vicq-d'Azyr-Boncompagni. U est très improbable que les notations algébriques, dans lesquelles dominent les habitudes cartésiennes, soient réellement celles de Fermât.

(3) Foir Tome I, page 147, note 3. — Comparer Lellrc XXXVll, 4.

l'uiir V pai'VLMiir, il est lU'cossaii'o de haisser cette équation tl'un degré, ce que Viète fait par division et M. Descartes aussi; voici comme j<^ procî'de :

n est égal à a\ or il y a deux lignes égales à a, inégales à n. Posons (|ue l'une de ces deux lignes soit n + r, et faisons maintenant IVMjualion comme si // + c éloit a, nons aurons

bdn -(- bdc — Jte- — c^ — bii"- — 2 hnc — 3 ne"- — 11^ — 3 /(- e ;e(|. :*"'■.

Or, puisque a est égal à n, donc

bda — ba"- — à^ sera égal \\ bdn — bn'- — n"^ .

-Mais

bda — ba"-— a^ csl ét;n[ à ^'■°'-,

par la première équation; donc

bdn — bn" — «' csl égal à :;•'"'•.

Otez donc d'un côté de la seconde équation Ixln — hn- — «', et de l'autre coté :;'"', il restera

bdf — bc"- — e'' — nbnc — Znc- — "in-e œq. o.

Va, le tout divisé par e, qui est une division simple et non composée comme celle do Viète et des autres, restera

bd — be — e- — ■i.bn — "inc — 3/i- ;rf[. o

et ainsi l'équation ne sera que quarrée et, lors(|ue e sera connu, en y ajoutant/?, vous aurez la ligne cherchée.

(]e n'est pas que j'estime beaucoup ceci, ni que j'aie tout dit en vous donnant ce seul exemple, mais c'est seulement pour la facilité de l'opération.

5. Je viens aux propositions des quarrés (') : sur quoi je vous puis protester que je n'ai jamais vu ni Stiphelius ni cette C/ai'icule cl ne sais

(I) f'oir LcUro XXXVIII, 1 à 3. — Ici reprend le texle donné par les ï'aria. Le carré magiipic e^t inédit.

XWVllI his. - l"' AVUIL IGVO.

ce que CCS livres conticnnciiL cl, pour faire voir (jnc j'ai vu peul-èlrc plus loin qu'eux et satisfaire i> la semonce de 31. Freniclc, je vous envoie le (|uarré de i/j aux conditions requises, du()uel, si vous otez deux enceintes, le restant sera aussi quarré aux conditions requises et, si vous ôtez encore deux enceintes de ce restant, ce qui restera sera encore quarré aux mêmes conditions.

iG iJG

5; 178 71 li) 85 1 1 1

iS3 iSG j G •2G i<i ■>. i 177

7 MH> l'J' "J'- " >'.)i "'.)'

1 io

iGH

tS'2

iG5

iG4

io5

iiH

Go '■il

I Go

iGi

iG3

iSo 17g 178 23 3 4 187 i,S8

7'* .S4 9« ii3

Le premier (juarré fait eu ces lignes 1379; le deuxième fait 985 ; le troisième Aut jqi.

6. Or, ne doutez point que je ne possède la méthode générale pour faire toute sorte de quarrés en cette sorte et aux conditions (ju'ôtanl (el nombre d'enceintes qu'on voudra, le restant soit encore quarré, etc.

!Mais, à n'ôter qu'une seule enceinte, je crois la question impossible : à quoi peut-être M. Fronicle ne prit pas garde ('), lorsqu'il me proposa d'ôter trois enceintes de 22, et puis deux du restant, et puis nue du restant. Car, aux deux premiers cas, la question est faisable en beaucoup de manières, mais au troisiijmc je ne l'estime point possible : de quoi la raison dépend de ma règle, laquelle je n'ai pourtant ni trouvée ni cherchée que lorsque j'ai reçu la Lettre de M. Freniclc, cl c'est pour cela que je ne détermine pas absolument l'impossibilité de ce cas, jusqu'à ce que j'aurai eu encore quelques jours pour y songer de nouveau.

7. Mais ce que je trouve de plus beau en ma règle, et que je ne crois pas avoir été touché ni par Stiplielius ni par aucun autre, est que je puis déterminer en combien de façons, et non plus, chaque quarré peut être disposé aux conditions requises, comme par exemple, s'il m'est permis de demander à 31. Frenicle, en combien de sortes différentes 22 peut être rangé.

8. Je passe bien plus outre, et passant aux solides qui le sont effectivement, j'ai trouvé une règle générale pour ranger tous les cubes à l'intini, en telle façon que toutes les lignes de leurs quarrés, tant diagonales, de largeur, de longueur que de hauteur, fassent un même nombre, et déterminer outre cela en combien de façons dilférentcs chaque cube doit être rangé, ce qui, me semble, est une des plus belles choses de l'Arithmétique.

Vous en trouverez un exemple (-) sur le cube G^, à coté du quarré <le i/|.

Il faut ranger les quatre quarrés qui font la solidité du cube, en telle façon que le premier soit dessous ; le deuxième soit mis sur le premier, en telle façon que 53 soit sur 4 et 56 sur i; il faut ensuite mettre le troisième sur le deuxième, en telle façon que On soit sur 53 et 57

( ' ) Foir LeUre XXXVIII, 3. — Comparer LcUre XL, 3.

(-) Les carres ci-après se trouvaient, ainsi que le carre magique reproduit plus haut (5), transcrits sur une feuille détacliée; ils ne sont pas non plus donnés dans les Varia.

XXWIII bis. — 1" AVRIL IG'jO. 191

sur 5G; et enfin il faut mettre le quatrième sur le troisième, en sorte que i3 soit sur Go et iG sur 57. Cela étant fait, vous aurez un cuhe qui sera divisé en douze quarrés, lesquels se trouveront tous disposés aux conditions requises; il y aura en tout 72 lignes dilférenles, chacune desquelles fera une même somme, savoir i3o.

9. Vous voyez combien ceci est au-dessus du tétraèdre et de l'hexagone (') de M. Frenicle, desquels le premier n'est pas solide en effet, mais par fiction seulement, quoique j(ï ne doute pas qu'il ne puisse être haussé en solide; mais, dans ces deux propositions, il y a beaucoup de nombres superflus dans les entre-deux des lignes qui aboutissent ou au sommet ou au centre, ce qui fait qu'elles ne sont pas si parfaites que la mienne, en laquelle je puis encore ôter les enceintes requises et faire que le restant demeure aussi cube, etc.

Je soumets pourtant le tout à mondit S'' de Frenicle et crois que, si j'avois l'honneur d'être connu de lui, il auroit omis quelques paroles qui sont dans sa Lettre. Je ne resterai pas de lui assurer l'estime que je fais de lui et de le conjurer de me faire part de sa méthode.

10. Pour le solide de la roulette, je le réduirois bien à des solides plus simples, mais à des sphères, cônes ou cylindres qui soient créés par des lignes droites données, il me semble qu'il est impossible.

Excusez si le papier me manque, etc.

11- l'.-S. Depuis ma Lettre écrite (-), un de mes vieux papiers m'est

(') Voir LcUrc XXXVIII, 5 cl 6.

(^) Ce posl-scriptiirn parait appartenir à une Lettre antérieure et avoir élc l'occasion (le la Lettre XXXVIU de Frenicle.

(ombr cil inain, lequel contient une observation sur le problème XXI (lu Livre de Bachet, imprimé à Lyon en 1G24, et qui porte pour litre : Prohlcmes plaisans et délectables qui se fonl par les nombres.

Voici l'endroit ('); il propose de ranger en quarré les nombres consécutifs en progression arithmétique, en sorte que tous les rangs, tant de liant, de bas que des cotés et ])ar les diami'tres, fassent une même somme, de quoi il baille une règle générale pour les quarrés impairs, et avoue n'en avoir pu trouver aucune pour les pairs, mais avoir fait seulement plusieurs observations particulières, par le moyen desquidles il a rangé les pairs jusques ;i if\^\.

Or, pour la règle des quarrés impairs, je dis premièrement (ju'idlc n'est pas de son invention, car elle est dans l'Arithmétique de Cardan (-); mais d'ailleurs elle ne résout la question que d'une seule façon, qui le jient être en plusieurs. Je dis donc :

1° Que ma méthode range les quarrés pairs et impairs à l'infini;

2" Qu'elle les range en toutes les façons possibles, lesquelles augmentent comme les combinaisons, à mesure que les quarrés sont plus grands;

3° Que la règle des pairemcnt impairs n'est pas dilTéronte de e(dle des pairemeut pairs, mais bien la même, quoique Bachet ait cru ((u'olles dévoient être dilfércntcs.

Voici un exemple de ma méthode :

Il range le aj d'une seule façon, n'y sachant autre chose, et voici

romme il le range :

1 1 ■it\ 7 xo 3

10 iH I i/| 22

( ') IVigcs ()0 cl suivanlcs de l'cdilion originale.

(2) Praclica nrii/mieticn et mcnsuraiiJi siiigiilaris {}\\\an, rj39), réimprimcc dans le quatrième lome de l'cdilion dos Œiuvrcs de Cardan en 10 volumes (Lyon, iCC3). — Cardan y donne, sans règle de eonslrucUon, sept carres magiques (de 3* à 9') qu'il attribue aux sept |ilanctcs et appelle /5/«/(eïrt;>e.f. Il parait les avoir empruntes à Agrippa dcNctteslieym {De occulta p/ii/nsnp/iia. Cologne, i533).

\\\'lllJ>is.

1" AVRIL lOiO.

l'ja

Km voici trois autres que j'ai choisis j)arini plusieurs que ma nié

lliode enseigne

ij.

iC)

•2 I 'i '2 ) S lli

Il range le 3G ii tâtons d'une seule façon, comme s'ensuit :

!G 5 33 4 •>. il

Hn voici une autre parmi plusieurs que ma méthode fournit: si li lenips ne me manquoit, je vous en envoierois demi-douzaine :

Il ô 27 28 12

20 24 là iG 19

Mais, parce qu'on pourroit croire que la règle n'a qu'un seul exemple, lorsque les diamélrauv demeurent les ménu-s, voici qui fait voir le contraire : c'est un exemple de ma méthode du G4, différent de ci'lui de IJachet, et (jui garde néanmoins les diamétraux :

I 7 G Go Gi 59 58

iG 10 5i 52 53 54 i5

jo 3J 38 28 29 27 3i

5G jo II i3 12 i4 55 49

l'tRMVT.

I9i ŒUVRES DE FERMAT. - CORRESPONDANCE.

En voilà assez pour donner de l'exercice à M. Frenicle, car je ne sais guère rien de plus beau en l'Arithmétique que ces nombres que quelques uns appellent/)/a/?<?/«rio^, et les autres magicos; et de fait j'ai vu plusieurs talismans, où quelques uns de ces quarrés rangés de la sorte sont décrits, et parmi plusieurs un grand, d'argent, qui contient le /|9 rangé selon la méthode de Bachet, ce qui l'ait croire que personne n'a encore connu la générale ni le nombre des solutions qui peuvent arriver à chaque quarré.

Si la chose est sue à Paris, vous m'en éclaircircz; en tout cas, je ne la dois qu'à moi seul.

Je suis etc.

FKRMAT A MERSENNK (').