XL. - JUIN 16i

celle des cubes, et pour vous montrer jusques où va la connaissance (jue j'en ai, le quarré de 8, qui est G4, se peut disposer en autant de laçons (litl'érontes, et non plus, qu'il y a d'unités en ce nombre

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ce qui sans doute vous effraiera, puisque Bachet et les autres que j'ai vus n'en donnent qu'une seule.

Je rangerai de même tous les quarrés et cubes à l'infini et déterminerai en combien de façons et non plus, avec la démonstration.

3. Pour savoir si M. Frenicle ne procède point par tables, proposez lui(')de

Trouver un triangle rectangle duqueli aire soit un nombre quarré ; Trouver deux quarréquarrés desquels la somme soit quarréquarréc ; Trouver quatre quarrés en proportion arithmétique continue ; Trouver deux cubes desquels la somme soit cube;

S'il vous répond que jusques à un certain nombre de cbillVes il a éprouvé que ces questions ne trouvent point de solution, assurez-vous qu'il procède par tables.

FKRMAT A MERSENNE.

< JLIN? IGVO. >

Mon RiivÉuEND Pkiu:,

1. J'ai re(;u avec grande satisfaction votre lettre accompagnée de (•(•Ile ('-) de M. Frenicle, qui me confirme en l'estime que je faisois de

(■) roir Lclti-c XII, 2, 011 Format proposait déjà à Sainlc-Croix trois de ces problèmes impossibles, et un dernier analogue au troisième de la présente. (-) En réponse à la Lettre XXXVIII liif.

lui. J'v réponds succinclomont ot pn'mii'romoiil, sur ce qu'il a doulé ([uc j'eusse une méthode générale pour ranger tous les quarrés pairs à l'infini. Je vous prie de l'assurer du contraire, car il est très certain (|u'il V a plus de dix ans que je la découvris et en donnai dî's lors des exemples sur des quarrés plus hauts que ceux de Bacliet, comme M. Despagnet vous pourroit témoigner.

2. 11 est vrai que je n'avois pas songé de déterminer exactement en comhien de façons ces quarrés pouvoient être ordonnés, et j'avoue que je n'avois pas vu toutes les manières qui y conduisent, puisque je dou- (ois même que le quarré put demeurer magique en levant nue seule enceinte ('); mais, ayant trouvé une ri'gle pour les ordonner eu beaucoup de façons, je crus qu'elle les coutenoit toutes, ce qui me semble excusable, puisque je vous envoyai ma Lettre aussitôt après la première méditation que j'eus fait sur ce sujet.

3. Depuis (jue j'ai reçu la dernière de M. rrenicle, j'ai aussitôt découvert que la question du quarré de 22 éloit de ma portée e(, pource ((ue l'opération seroit trop longue qui consiste ;i ranger le quarré de 22 en telle sorte que, levant trois enceintes, il reste magique, et du restant encore deux et qu'il demeure magique, et puis une seule du reste ii la même condition, je me contenterai pour ce coup de vous envoyer le carré qui reste après les trois premiin-es et les deux secondes enceintes ôtécs, duquel si vous levez une seule enceinte, le reste demeure magique, comme vous verrez.

Pource que le temps me manque, je diffère à vous envoyer les cinq enceintes qui manquent pour parfaire le quarré entier de 22, jusques au départ du prochain courrier (-).

Après cela vous devez croire que, dès que j'aurai loisir, j'irai aussi avant sur ce sujet qu'il est possible. -

(') Comparer Lellros XXXVIII bis; 6 et 7, cl .XXXl.Y, 2. (') La Lcllrc ainsi annoncée l'ait défaut.