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4. Pour co qui est des cubes ('), je n'en sais pas plus que M. Kreniclc, mais pourtant je puis les ranger tous à la charge que les diagonales seules des quarrés que nous pouvons supposer parallèles ;i l'horizon seront égales aux cotés des quarrés, ce qui n'est pas peu dr chose, en attendant qu'une plus longue méditation découvre le reslc Je dresserai celui de 8, 10 et 12 ii ces conditions, si M. ?>enich' nif l'ordonne.

5. Pour les quarrés qui ont des cellules vides (-), j'y travaillerai au plus tôt.

6. Ce que j'estime le plus est l'abrégé (^) pour l'invention dc^ nombres parfaits, à quoi je suis résolu de m'attacher, si M. Frenidc ne me fait part de sa méthode.

(') Knir Lettre XXXVIII Ins. 8.

r-) Toi/- Lettre XXXVllI, 4.

(3) Tmr Lettre XXXIX, 1.

Voici trois propositions que j'ai trouvées, sur lesquelles j'espère de (aire un grand bâtiment :

Les nombres moindres de l'unité que ceux qui procèdent de la proiiçression double, comme

1 2 3 i s 6 7 8 9 10 II U 13

I 3 7 i.j 3i 63 127 2J,") 5ii 1023 2047 ^oqS 8191 etc.,

soient appelés les radicaux des nombres parfoits, pource que, toutes b's fois qu'ils sont premiers, ils les produisent. Mettez, au dessus de (!es nombres, autant en progression naturelle : i, 2, 3, 4. 5, etc. qui soient appelés leurs exposants.

(^ela supposé, je dis que :

1° Lorsque l'exposant d'un nombre radical est composé, son radical est aussi composé. Comme, parce que G, exposant de G3, est composé, je dis que G3 est aussi composé.

■2° Lorsque l'exposant est nombre premier, je dis que son radical moins l'unité est mesuré par le double de l'exposant. Comme, parce i\uo 7, exposant de 127, est nombre premier, je dis que 12G est multiple de i4-

3° Lorsque l'exposant est nombre premier, je dis que son radical ne peut être mesuré par aucun nombre premier que par ceux qui sont plus grands de l'unité qu'un multiple du double de l'exposant ou que le double de l'exposant. Comme, parce que 1 1, exposant de 2047, est nombre premier, je dis qu'il ne peut être mesuré que par un nombre |)ius grand de l'unité que 22, comme 23, ou bien par un nombre plus grand de l'unité qu'un multiple de 22 : en effet 2047 n'est mesuré que par 23 ou par 89, duquel, si vous ôtez l'unité, reste 88, multiple de 22.

Voilà trois fort belles propositions que j'ai trouvées et prouvées non sans peine : je les puis appeler les fondements de l'invention des nombres parfaits. Je ne doute pas que M. Frenicle ne soit allé plus avant, mais je ne fais que commencer, et sans doute ces propositions passeront pour très belles dans l'esprit de ceux qui n'ont pas beaucoup