J'ajouterai encore cette petite proposition

Si d'un (juarré vous otcz 2, le reste ne peut être divisé par aucun nombre premier (jui surpasse nu quarré de 2.

(lomme prenez pour qnarré 1 oooooo, duquel, été 2, reste ;);)<,) ;);)i^- Je dis que le dit reste ne peut être divisé ni par 1 1, ni [)ar 8 ), ni par 227 etc.

Vous pouvez é[)rouver la même règle aux (|uarrés impairs et, si je voulois, je vous la rendrois belle et générale; mais je me contente de vous l'avoir indiquée seulement.

9- Avant que linir, vi)ici une autre [)roposition, hniuclle vous fournira peut-être quelque application, comme vous y êtes très heureux.

Si un nombre est mesuré par un autre et (]iu' le nombre divisé soit (Micore divisé parmi autre nombre moindre (|ue le [)remier diviseur, eu ce cas, si vous ùtez du (juotient de la seconde division, multiplié par la différence des deux diviseurs, le reste de la seconde division, ce (|ui restera sera mesuré par le premier diviseur ( ' ).

Exemple : 121 est mesuré par 1 1 . Divisez encore 121 par 7 ; b' ([uotient sera 17 et le reste de la division 2.

.Multipliez le quotient 17 par 4, dilTêreuce du premier et du second diviseur, et du produit (J8 (Mez-eu 2; reste GG qui sera aussi mesuré par r i, premier diviseur.

10. Que si le second diviseur est plus grand que le premier, en ce

(') ("cst-ù-dire que .si l'on a

(I = tifj = A, y, -H r,

si l'on a i> hi'. b divise 71 (i — &,) — r. Si au contraire b < h^, b divise 71 (/'i — b) -!- r.

cas, si vous ajoutez au quotient de la seconde division, multiplié par la dilTérenco des deux diviseurs, le reste de la seconde division, ce (|ui restera sera mesuré par le premier diviseur.

Kxemple : 1 77 est mesuré par ':). Divisez encore 1 17 par /j ; le quotient sera 29 et le reste de la division i.

Ajoutez au quotient -29, multiplié par la dilTérencc des diviseurs (qui ne change ici rien, jiarcc que c'est l'unité), le reste de la dite division, qui est i; la somme 3o sera aussi mesurée par 3, premier diviseur.

J'ai déjii trop écrit et il me semble qu'il est temps que vous parliez, aj)rl's avoir cmplové si mal votre temps à lire cette longue lettre, qui vous confirmera que je suis etc.

FERMAT A ÎMERSENNE.

MAHDI 23 «finRMItlIE IGVO.

(A, f"' IL.-I3 iij, Li, f" iç).)

Mon Ri.viT.ENn Pi.r.K,

1- Je languissois dans l'attente de vos lettres et de M. de Frenicle. Je suis bien aise (ju'il approuve ce<jiu^ j'ai fait ('); et afin qu'il ne soit l)lus en doute de ce que je lui demande, voici trois questions que je lui propose, pource que les spéculations que j'y ai faites ne me satisfont pas pleinement :

1° La raison essentielle pourquoi 3, 5, 17, 257, etc. à l'infini, sont toujours nombres premiers;

2° Qu'il me donne quelqu'un de ses autres moyens pour trouver

( ') Lu réponse de Frenicle à la LcUrc XLIV esl perdue.

\LV. — 25 DECKMltUI': IGiO. 213

il rintiiii dos nombres premiers de tels noml»res de figures qu'on voudra.

Sur quoi je voudrois olre éclairci si nue de mes pensées est vraie, qu'en la progression d'un noml)r(! pair, eomme G, toutes les puissances -+- 1 de la progression qui ont |)our exposant : 1,2, 4, 8, iG, cte. sont nombres premiers, si elles ne sont pas mesurées par un de eeux-ci : j, 5, 17, 267, ete.; laquelle proposition, si elle est vraie, est de tri's grand usage.

Si je puis une fois tenir la raison fondamentale que 3, j, 17, ete. sont nombres premiers, il me semble que je trouverai de Iri's belles choses en cette matière, car déjà j'ai trouvé des choses merveilleuses dont je vous ferai |)arl, après que j'aurai eu votre réponse et celle de M. Frcnicle.

3° Je lui demande un moyen plus général que celui que j'ai inventé |)our savoir quels sont les multiples de l'exposant utiles à la division.

Après cela, je travaillerai aux propositions que vous me demandez.

2. Sur le sujet des triangles rectangles ('), voici mes fondements :

i" Tout nombre premier, qui surpasse de l'unité un multiple du quaternaire, est une seule fois la somme de deux quarrés, et une seule fois l'hypoténuse d'un triangle rectangle.

2° Le môme nombre et son quarré sont chacun une fois la somme de deux quarrés ;

Son cube et son quarréquarré sont chacun deux fois la somme de deux quarrés;

Son carrécube et son cubecube sont chacun trois fois la somme de deux quarrés;

Etc., à l'infini.

3" Ce même nombre étant une fois l'hypoténuse d'un triangle rectangle, son quarré l'est deux fois, son cube trois, son quarréquarré <juatrc, etc. à l'infini.

(') Comparer, Tome I, \ Oh-icrvation VU sur DlnphaïUc.

(EU VUES DE FERMAT.- CO U llESl'ONl) A NCE.

V Klaiit donné un nomI)i"(s pour savoir (■onil)i('n do lois il osl l'Iiv- |»()léniisc d'un triangle rectangle, divisez-le |)ar tous les nombres premiers, ])lns grands de l'unité qu'un multiple du quaternaire, qui le mesurent. Puis rangez les exposants des puissances dos dits nombres pi'omiers qui mesurent le nombre donné, en tel ordre ([uo bon vous semblera, l'un apri's l'autre. Multipliez le premier par le second deux l'ois, et à cela ajoutez la somme du premier et du second; puis multipliez cette dernière somme doux fois par le troisième, et ajoutez au produit tant la dite dernière somme que le troisii'ine, etc. ;i l'inlini. [.a dernière sonune marquera ;i combien do triangles le nombi'o donné peut servir d'hypoténuse.

Los noinl)i'es premiers qui sont moindres do l'unité (|u"nn multiple du ([uaternaire, ni 2, non plus que leurs puissances, ne l'ont rien ii la question, et n'augmentent ni ne diminuent b; nombre des dits triangles rectangles.

Soit, par exemple, un nombre donné mesuré par ;'), par le ([narré de l'î, par lo cube de 17, et par le cube aussi do 2().

Nous aurons quatre diviseurs dont les oxposanis de leurs puissances, ijui mesurent lo nombre donné, sont :

.le multiplie le premier par lo second doux fois : viendra ] ; ajonlez-v lo premier et le second : viendra 7. .le multiplie 7 par lo troisième 3 deux Ibis : viendra /|2, au(juel ajoutant 7 et 3, c'est "i 2. .le multiplie ")2 par lo quatrième (qui est 3) deux fois : viendra 3 12, auquel ajoutant ri et 3, viendra 3G7.

.le dis donc ([ue le nombre donné sera rbvi)oténuso de 3G7 triangles rectangles et non plus.

j" Pour Irouver, par exemple, lo moindre nombre de tous ceux (jui sont 3()7 fois seulement l'hypoténuse d'un triangle rectangle, je double lo nombre donné et au dit double j'ajoute l'unité : viendra 735, du- (juel je prends tous les diviseurs séparément. Quoiqu'un nondiro mesure et par soi cl par ses puissances, j'entends tous les diviseurs qui