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sont iioml)r('s premiers; le dit nombre se trouve donc divisé aux diles conditions par 3, ."i, 7, 7. .l'ùto do chacun des dits diviseurs l'unilé e( prends lu nioilié du reste : viendra i, 1, 3, 3.

Il i'aut donc prendre ([uatre nombres premiers plus grands do l'unité (lu'un multi[)le du quaternaire, et [irendre leurs puissances exposées |)arles.di(s quatre nombres. 1mi ([uoi faisant, vous satisferez à la question généralement eu mulli[iliaut les dites (jualre puissances entre elles.

Que si vous voulez le moindre nombre satisfaisant à la ([uestion, il faudi'a |)rendre les quatre plus petits nombres premiers de la (jualité requise, (|ui sont : ">, i3, 17, 29, et pour leurs puissances, il faut (|ue celle du plus petit ait le [dus grand ex[)osant, et ainsi des autres. Nous prendrons donc le cube de ">, le cube de i3, le quarré de 17, et 29, et multipliant tous les uns par les autres, nous aurons le moindre nombre d(^ tous ceux (|ui servent d'hypoténuse à 3()7 triangles rectangles et non plus.

3. 11 s'ensuit de là que si le double du nombre donné, plus i, est nombre premier, en ce cas le nombre cherché ne peut être divisé (|ue par un seul nombre premier [)lus grand de l'unité (ju'un multiple du (|uaternaire.

Comme si vous demandez un nomltre (jui serve d'hypoténuse ii 20 triangles rectangles et non plus, pource que /jt est nombre premier, il faut prendre la 20'' puissance d'un nombre premier de la ([iialilé requise.

Vous trouverez, par consé(juence aisée, un nombre qui ait autant di' diviseurs dilférents que vous voudrez et ([ui puisse satisfaire à la question, lors({n'elle est possible. J'entends des diviseurs de la (jualité re([nisc, car vous y en pouvez mettre, (M)mme nous avons dit, autant (|ui' vous voudrez de ceux qui sont moindres de l'unité qu'un multi[ile de '|, ou bien 2 et telle de ses puissances que vous voudrez.

•le vous écris ceci si fort à la hâte (jue je ne prends pas garde si je fais des fautes, et omets beaucoup de choses dont je vous dirai le menu une autre fois.

4. Pour la question des ellipses ('), elle se déduii'a fort aisément de ce que vous venez de voir, car la queslion va lii à trouver an nombre f/ui serve d'hypoténuse à 12 triangles et non plus, de telle qualité que la dite hypoténuse ait plus grande proportion au plus grand des deux autres eôtés que le dit plus grand au moindre : e'est-:i-dire que cliacun des dits triangles soit comme, par exemple, 2;), 21, 20. Ce qui est aisé, et ayant trouvé le dit nombre, son quarré sera le demi-diamè(r(> des ellipses.

Il le faut ([uarrer, alin que la perpendiculaire sur le foyer soit un nombre entier. J'en dis assez pour me Aure entendre à M. Frcnicle.

5. J'ajoute encore qu'une toute pareille règle à la précédente des hypoténuses sert à celte question :

Etant donné un nombre, déterminer eombien de fois il est la différence de deux nombres desquels le produit est un lunnbre quarré.

Et n'y a que cette différence, qu'en cette question tous les nombres premiers hormis 2 sont utiles, ce qui n'est pas en la précédente des hvpoténuses.

(lonime, si un nombre est mesuré par 3 et par le quarré de ">, les e\|»()sants étant i et 2, multipliez le premier par le second deux fois, il (juoi ajoutant leur somme, viendra 7. Vous pouvez donc assurer que 7 ) est 7 fois la différence de deux nombres desquels le produit fait un (| narré.

l'our avoir le plus petit, vous userez de même voie.

Or, pour trouver tous les triangles et aussi les dits nombres en cette

(') l'oir sur colle queslion, anlérieurcineiil proposée par Frcnicle ii Dcscartes, les Lettres de ce dernier, du 20 décembre i638 (éd. Clersclier, II, i)5), du 9 février i63() (II, 97), du 3o avril 1G39 (lit, Sj)- Frcniclo avait demandé de conslruire sur le môme grand axe ( ?.(z) un nombre délerminc d'ellipses telles que pour chacune la distance des foyers (2c) lui supérieure au pclil axe (a^j cl qu'on pûl exprimer en nombres entiers le grand axe,

le petit axe, la distance (a — c) d'un foyer au sommet voisin, et l'excès ( )> sur

la distance des foyers, de la distance do l'un d'eux à l'exlrémité de l'ordonnée passant par l'aulre.