XLV. - 2;j Diici: Miiiti-: ig\o
(|ii('sli()n, la (■li(>s<' osl assfz aiscc, de (|ii()i je vous ('crirai srpart'rncnl, si vous voulez.
De coite dcriiiiTe ((iioslioii, on peu! (ii-cr riiivoiilioii (i'liy|MTl)oles au lieu (l'elli[ises, ('!<■.
Dès (]ue M. (le l'Vciiirle m'aura eeiit, je lui doiinei'ai des piojiosilioiis (|ue je ju^c. sans me llaKer, ([u'il eslimeia im'oiii[)aialdeuieul plus bidies (|ue ((uil ce doiil mous avous eucoïc paile.
Je suis.
Mou névéreiul l'cic,
Voire lii's liuiulde siuvileii
Fr.i;.M\T.
A Tdiiliiiisc, fc '^'i (l(''ci'iiiliio i(V|().
FLRaiAT. — IL
•218 ŒUVRES DE FEUMAT. - COHUESPONDANCE
ANNÉE IGil.
fer:maï a mersenne (').
MAfll)! 2(j MARS Kiil.
Mon Rkvkuum) Pkue,
1- Les occupations que les procès nous donmMit sur la (èlc iii'onl ompèché de pouvoir lire à loisir les Traités (-) que vous m'avez l'ail la faveur de in'envoyer. Je me réserve d'y vaquer avec soin aussitôt apri's Pâques, et ce sera alors que je vous satisferai et vous marcjuerai avec liberté mes sentiments.
2. Je suis toujours dans l'attente de la réponse de M. de Frcnicle (■'), et en tout cas, vous m'obligerez de me renvoyer ma démonstration ( ' ) pource que je n'en ai point gardé de copie. Comme aussi je serai bien aise qu'il vous plaise m'envoycr ma copie d(> mon Isagof;e ad locos, de
( ' ) I.eUrc iiuMlilc.
(') Mersciinc lïiisail alors notaiiinipiit clixiilcr {/.ellrct fie Dcscarlcs, cil. l^lersolier. Il, 4i, (lu 28 ocLoIm'c i(>40 à Mcrscunc; MS. B, f" 21) v"cl siiiv., lettre iiic-dilc do l'iijos à Mei'sennc du 9 mai iG^i), avec l'opuscule de Fermai Doctmmin tnngcittiuin (Tome I, p. 1 J8 et sulv.) : t" uu Traite des cercles qid se font dons l'eau; ■?" un autre piuir le moih'cniriii jotiriuilicr de la terre; 3" la lettre de Ueaugrand contre Dcsargucs ( O/ùhtcs de Desar- •^iies, éd. Poudra, II, p. 355 et sinv.).
( 3 ) Ucponsc à la Lettre XLV ?
(') Dcnioiistration perdue.
\I.V1. - -2(1 MAlîS ICil. 2Ji)
son Append'uv ot lie irncntione la/igciilluiu in ciirvis ( '), in'olaiil ciiga^r envers M. Despagncl de les lui faire voir.
3. h]xciisez riinportunilc à la([iielle je me trouve eugai^é par ma nejj;ligence. ^'oi^•i, eu revauclie (l(> la peiue (jik' je vous «loiiue, une Itelle |)roposilion tirée de mes Lieux ad siipiTjiciem (-) et ([ui u'esl (|u'une suite d'une des [)roposili(His du Traité entier :
Soil nue sphère donnée et en icellr dècril un solide rèffidier. Je dis //ne, SI roits j>re/iez un point à discrétion dcins toute la sitperjieie de la spliére, et (pie de ce point vous tiriez des lignes à tous les angles du solide régulier, les (juarrès de toutes ces lignes pris e/ise/nhle seront égaux à un espace donné.
Couiine, si vous ou désire/ un exemple, soit une s[)lu're donnée et en icelle décrit un tétraèdre. Je dis que, si vous prenez un point ii discrétion dans toute la surface de la splii-re, et que de ce point vous tiriez quatre lignes aux quatre angles du tétraèdre, les quarrés de ces ([uatre lignes pris ensemble feront un espace qui sera double du ([uarré du diamètre de la sphère. Vie.
i-a démonstration n'est pas malaisée et se lire facilement de celle d'une autre proposition que j'envoyai il y a longtemps à M. de Rol)erval(^').
.le suis, mon Révérend Père,
Votre très humble et très alfectionné serviteur,
Fkiimat.
A TuiiliHisc, ce uG mars iGii.
(') /'(wrTomc I, pa;,'cs 91 cl siiiv.; io3 cL siiiv.; i iS et siiiv.; le (Icrnier tilre doil eu effet designer l'écrit DoctriiKwi taitgciuiwn.
(2; Voir Tome I, pages 1 1 1 et suiv. L'énoncé qui suit est \\\\ cas particulier du tliéoréuie général : .Si a tjuntcuinque puiictix. page 11 3.
(3) P'^oir Lettre XIX.
FKR.MAT A IMKRSENNR (').
SAMl'DI 13 JLIN IGVI.
Mon Rr,vr.uF,Nn Piiu;,
1. Je tâche (le contenlor ass(»7, arnplemont la curiosité do M. i\v Trcniclc par la Lettre (}ue vous trouverez dans votre paquet {-). il m'a pourtant demandé la solution d'une (juestion (^) que je diffère de lui envoyer jusqu'à ce ([ue je serai de retour à Toulouse, me trouvant présentement à la campagne où j'aurois besoin de heauconp de temps pour l'cfaire ce que j'ai écrit sur ce sujet et que j'ai laissé dans mon cabinet.
Voici pourtant un échantillon de cette question générale, ([ue vous lui pourrez faire voir par avance :
I^ln la progression de 5, tous les nombres |)remiers, qui sont dillérenls par l'unité d'un multiple de iii, mesurent seulement les puissances — I. Tels sont : i i, i3, 23, 37, etc.
En la même progression, les nombres premiers, qui sont diirérents par ) d'un multiple de 12, mesurent les puissances + 1. Tels sont : 5, 17, 19, etc.
En la progression de .'"), tous les nombres premiers, qui finissent par I on par ç), mesurent seulement des puissances — i. Tels sont : 1 i, 19, etc.
Ceux qui finissent par 3 ou par 7 mesurent des puissances + 1 . T(ds sont : 7, i3, 17, etc.
Vous aurez une autre fois la règle générale en toute sorte de progressions.
( ') Lcllre inédite.
(2) Foir Pièce XLVIII ci-après.
(3) f'oir I.cltrcs XLVIII, 12 et XLIX, 12.
XLVIll. — 15 JUIN 1C41. 221
2. .rallciuls aiainteiiant (|iril vous plaise ni'cnvovor la copie de mes Traités (') que jo vous ai si souvent demandée pour M. Despagnet.
Je suis, mon Révérend Père,
Votre très humble et très aiïectionné serviteur,
Fkkjiat.
(^c i5 juin i(i Ji .
3. Depuis avoir écrit la lettre de .M. Frenicle, j'ai trouvé la dernière (|ues(ion (|ue je lui lais (^) :
Eta/il donne un nombre, dctcnni/wr combien de fois il peut èlrc la somme des deux pe/its côtes d'un triangle rectangle.
S'il la veut, je lui en ferai part, et serai cependant bien aise de voir sa solution.
FERMAT A FRENICLE (»).
< 15 jLiN IGVI >
(15, f- 26 v-'-aS r.j
1- La proposition fondamentale des triangles rectangles est (jue tout nombre premier, qui surpasse de l'unité un multiple de '\, est composé de deux quarrés C).
{') roirX.'Mra XLVI, 2.
(2) roir Lellic XLVIII, 11.
(') Celle pièce incdile, rcproduile d'après une copie qui ne porte ni adresse ni dalc, no doii êlre eoiisidcrcc que comme un extrait d'une Lettre de Fermai. (Jette Lettre était évidcmnient adressée à Frenicle, dont nous avons la réponse (ci-après XLl.X.), datée du 2 août 1041. Le post-scriptiun de la Lettre XLVII ci-avant, adressée à Mersennc le i5 juin iG.'ii, prouve d'ailleurs que le présent extrait a luen été fait sur la Lettre pour F'reniclc, mise par F'ermal dans le paquet envoyé à cette date au Minime. L'auteur de l'extrait n'a copié que ce qui lui a paru avoir un i[itérét nialliématiqne et a négligé toutes les transitions d'une question à l'autre.
(*) rnir Lettre XLV. 2.
■2-21 (EUVUES DE FKUMAT. - COH UESPOND ANCE.
2. La mélliodc pour trouver les Iriangles composés en conséquence (les pi-iniilifs est dans les l.ivi'es {'), ou s'en jieul tirer aisément :
Soit le nom!)re donné (ij, le((uel je trouve être l'iiypoténuse de (|uatre Iriangles, par la régie déjà envoyée (-). Les nombres premiers de la (|nalilé re(|uise qui lo composent sont "i et i'>. Le lriangl(> ( M de ") est f), ^|, 3; celui de 1 3 est i3, 12, "i.
Je multiplie la hase 12 par la base \, vient 'iH; |)uis le petit <'oté "i par l'autre '3, vient ij; et dercclicf 12 par 3, en croix, vient 3G; puis \ ])ar j, vient :^o.
La somme des deux premiers produits et ladillérence des deux seconds l'ont les deux petits cotés d'un des triangles cherchés, qui sera par conséquent : ()">, G3, id.
Kl dereidief la somme des deux derniers produits et la diiïérenci' des deux premiers sont les deux petits côtés d'un autre des triangles cherchés, qui sera partant : 0 "i, 5(), 33.
(Que si, au lieu de i3, i:^, .■), vous aviez pris le même 3, 4. n i'h l'aisanl la même opération, vous n'eussiez trouvé qu'un seul triangle (|ui est, en mon précédent cxcmjde : 2,'), i\, 7.)
Les deux autres triangles sont semblables aux deux premiers et se Ibnl, l'un en multipliant les côtés du premier par l'hypoténuse du second, et l'autre en multijjliant les côtés du second par l'hypoténuse du premier; ils sont donc : Gj, .^2, 3(); G;"), Go, 2:").
3. Cette méthode est générale, de sorte que toute la difliculté consiste à trouver les triangles primitifs, lorsque le nombre premier (|ui leur sert d'hypoténuse est donné, et cette question se réduit à la suivante déjà proposée (') :
lùant donné un nomhre premier qui surpasse de l'unité un multiple de 1, trouver les deux quarrés qui composent le dit nombre.
(') Fermai va simplemeiU eu cfTcl exposer la méthode de Dioplianlc, III, 22, pour construire quatre triangles ayant une môme hypoténuse.
(2) Dans la Lettre XLV, 2, 4°-
(3) Le triangle ijui a J pour hypoténuse.
{') Probablement dans un passage non conservé de la présente Lettre.
\L\ III. - 15 JUIN IGil. 223
Car si l'on n'a ces deux quarrés, on ne sauroit trouver le triangle priniilif. Mais ce problème, de trouver ces deux quarrés, est aussi malaisé que de tâtonner, et l'ordre de la proposition précédente est grandement didicile.
4. Soit un nombre impair donné, comme i5, les couples des nombres sous lesquels il est produit sont i , t ,^ et 3, 5. Chacun de ces deux couples le fait être un des petits cotés d'un triangle rectangle, car le premier couple (') produit le triangle : 1 13, 1 12, i5; et le second couple produit le triangle : 17, iT), 8 (j'entends des triangles non composés).
Au premier de ces triangles, 10 est le plus petit coté, au second, le moyen . On demande quelle est la proportion des deux côtés qui produisent un nombre impair, au-dessus de laquelle le dit nombre impair soit le petit côté, et au-dessous le jnoyen .
Je réponds qu'il est impossible de le déterminer exactement en nombres entiers, parce que l'équation d'algèbre produit des nombres irrationaux, quoiqu'on en puisse approcher ii l'infini de plus en plus par nombres entiers.
Par exemple : si les deux côtés qui produisent l'impair sont entre eux en proportion moindre que de i'\i[\ii'i à loooooo ou égale, le nombre impair fera le moyen côté; que si les deux côtés qui produisent l'impair sont en proportion plus grande que de i\if\ii^ à loooooo ou égale, le nombre impair fera le petit côté.
On peut approcher ces deux proportions à l'infini, mais non en termes précis; elle sera (-) en termes irrationaux, savoir de i à i -1- Rq. de 2.
5. il y a des triangles qui se peuvent diviser en deux, et subdiviser
( ' ) En thèse générale, suivant le langaiic do Diopliante, nn triangle rectangle en noml)ix' ", II, c, est dit formé des deux nombres p cl <[, si l'on a
a = p--hq-, 1/ = p- — fj^, c = 2pf/,
relations qui entraînent l'égalité a- = Ii--t-c-. Mais ici. comme Format vent des nombres premiers entre eux et que a, h, c seraient pairs, il prend leurs moitiés. (-) Format renverse la proportion (ju'il a indiquée plus haut.
±lk (EU VUES DE FERMAT.- COHURSPONDANCE.
ni qiialrc, si'izc et ainsi (ant que l'on vcul, toiiles los lignos des divisions demeurant commensurahles en nombres entiers (').
Si l'on entend que l'aire du triangle est double, comme C(dle de 17, 1"), <S, (jui est double de l'aire de i':>, 12. "i, cela est aisé et se peut ainsi énoncer :
Eta/il donnés deux nombres entiers. Iroinrr deux triangles, dcsqiie/s les aires soient en proportion de deux nombres donnés.
Il y a quatre ri'gles pour soudrc cette question en ce sens (-).
6. Il V a des triangles dont les moindres cotés ne dilTèrent jamais que de l'unité, comme 3, /|, :"); 20, 21, 2(), les(|uels se forment sur un des termes par règle infaillible à l'infini, ("ar il ne faut qu'ajouteile double de l'hvpoténuse à la somme des deux autres côtés, et le tout, ajouté au moindre coté, fait le côté moindre du triangle re(juis. Ajoutez-y l'unité, vous aurez le moyen.
Exemple : le double de 29 est .58; ajoutez-y la somme des deux petits côtés, savoir /(i, vient 99, auquel ajoutez 20, qui est le petit côté; vient I H), auquel ajoutez l'unité, vous aurez 1 19 et 120 pour les deux moindres côtés du triangle requis, qui sera : 119, 120, iCm).
L'bypoténuse s(^ fait du triple de l'iiypoténuse et du double de la somme des deux autres côtés. Le triple de l'bypoténuse est Hy, le double de la somme des autres côtés 82, lcqu(d, avec 87, fait 169, qui est l'bypoténuse requise.
Nous avons donc tiré du triangle : 20, 2t, 29, celui-ci : 119, 120, 1G9; de celui-ci, nous en tirerons un autre i> l'infini.
Même métbode pour trouver un triangle, la diiïérence des moindres côtés duquel soit un nombre donné. J'omets les règles et les limitations pour trouver tous les possibles de la qualité requise, car la règle est aisée, en supposant les fondements.
7. 11 y a des triangles auxquels le moindre côté est toujours différent d'un quarré de cbacun des deux autres, comme 20, 21, 29.
( ' ) roir LcUrc XLIX, 4.
(2) f'oir rOb.servation XXIX sur Dioplianlo et ci-après, 10, la première de ces règles.
