XLVIII. ~ lo JUIN

Trouvez, par la précédente, un triangle non composé, les cotés nioiiifires duquel diderent par un (juarré, comme 20, 21, 29 ou tel autre.

S'il a les qualités requises, il en laut tirer deux de celui-ci par la méthode précédente, et le second qui viendra satisfera à la proposition.

Va s'il n'a pas les conditions requises, le premier qui s'en tirera, ]iar la précédente, satisfera à la proposition.

Comme : 3, 4, j ne satisfait qu'à la précédente et non à celle-ci. Le premier qui s'en tirera y satisfera, à savoir : 29, 21 , 20, et si de cettuici vous en tirez un, viendra 119, 120, rGf), qui ne satisfait pas à cette question; mais celui qui s'en tirera, à savoir : 98:"), G97, ()()G, et ainsi à l'infini, alternativement, y satisfera.

8. 11 y eu a d'autres qui pris par couples ont leurs dilTérences relatives (') comme 1 1, Go, Gi et 1 19, 120, 1G9.

Pour les former, il faut trouver trois quarrés en proportion arithmé. lifjue, qui sont par exemple : i, 2^, /JO- Formez l'un des triangles de la somme des côtés des premier et deuxième quarrés et du coté du second, et formez l'autre triangle de la somme des deux côtés du second et du troisième, et du côté du deuxième, vous aurez les deux triangles requis.

Autre exemple (-) : Soient exposés les trois quarrés en proportion arithmétique 49. >(J9. 289.

Les deux triangles se formeront de 20 et 7 et de 3o et 7, et seront

9. Trouver un nombre qui soit autant de fois qu'on voudra polygone et non plus (^).

(') C'esl-à-dirfi deux triangles reelangles en nombres (<7. />, r ) («11 '-'it C| ), lois que l'on ail a — 6 = /y, — r, el /' — c = ai — /i^.

(-) Fermât commet dans cei exemple une erreur de plume. Car, d'après sa règle, ayant les carrés 7-, l'i^, 172, il devait former les triangles, l'un de 7 -h i'3 = 20 et de i3, l'autre de i3 -t- 17 = 3o cl do i3: il aurait ainsi trouvé les triangles 5^9, ''no, l'ii cl loGy, 780, 731, satisfaisant au problème propose, foir ci-après, XLIX, 6.

(') Question proposée par Fermai à Frenicle. /"o/r Lettre XLIX, 7.

Fermât. — U. 29

10. Trouver deux triangles dont les aires soient en proportion donnée (' ).

Voici la règle la plus élégante :

Soient les deux n(unbres qui expriment la proportion donnée, a et h. I.es deux triangles se forment : le premier, de a bis + h et de a — h; le second, de h bis -t- a et de a — h.

Vous aurez donc deux triangles qui seront par leurs aires en proportion donnée, (^ar, si vous les demandez de 5 à 3, les deux triangles se formeront, le premier de i3 et 2, le second de 1 1 et 2, et les deux triangles seront : i~'\, iG5, 52 | i2j, 117, /j/|.

H. Etant donné un nombre, trouver combien de fois il peut être la somme des deux petits cotés d'un triangle rectangle {'' ).

12. Règle pour déterminer les nombres premiers qui, eu foute progression, mesurent les puissances — i seulement, ou + i aussi (^).

FRENICLiî A FERMAT {').

VENDItFDI 2 A01:T IGVI.

(r„, p. i(;i-ir,s.)

Monsieur,

1. J'étois dans l'impatience de savoir votre retour à Toulouse, pour me donner l'iiouneur et le contentement de continuer nos conférences, lorsque le Révérend Père Mersenne m'en a donné avis; j'espère qu'elles dureront plus longtemps que je ne pensois, parce qu'il est survenu quelque cbose qui m'arrête ici.

( ') loir plus luml, 5.

(2) Qucslioii proposée pai' l'ermat à P'rcnicle. rwVLcUreXLVlI, 3, cl XIJ.K, 9. 1') Question proposée par Frcuiclc à Fermât, /'o/r Loltrc XLVII, 1, et XI-IX, 12. (,') Hépoiise à la Lettre précédente, XLVIII.

\IA\. — 2 AOLlï \6!v\. 2-27

2. J'.ii millo remcrcicmcnls à vous faire do la lirnilation des côlés ([110 vous m'avoz envoyée ('), laquelle vérilablement je prise f'or(. J'avois hien reconnu que la proportion étoit irrationelle et pour cola jo ni't'lois contenté des raisons do lo à 2/1 et à 2"), mais vous l'entendez ici il l'infini. J'avois cru, par la lecture de votre précédente (-), par laquelle vous mandiez qu'il étoit aisé de la trouver, que vous prétendissiez de donner une raison ralionclle pour celte limitation; c'est ce qui m'avoil l'ait dire que peul-èlro ne la trouveriez-vous pas si lacilo, ])arcc que jo la savoi,8 être impossible.

Jo sais que l'Algèbre do ce pays-ci n'est pas propre pour soudro ces questions, ou pour le moins on n'a pas encore ici trouvé la manii'ro de l'y appliquer : c'est ce qui me fait croire que vous vous êtes fabriqué depuis i)eu quelque espèce d'Analyse particulière pour fouiller dans les secrets les })lus cachés des nombres, ou que vous avez trouvé quelque adresse pour vous servir à cet elfot do colle que vous aviez accoutumé d'employer à d'autres usages.

Si la démonstration de cette limitation étoit courte, vous m'obligeriez beaucoup de me l'envoyer : car, si elle est trop longue, je ne voudrois |ias (juo vous vous détournassiez do vos études à cette occasion.

(lotte mémo raison, de i à 1 + v/2, se peut aussi appliquer ii la [)ro- |)or(i(in dos cotés des quarrés qui composent l'hypoténuse, mais on un sons contraire à C(dui dos parties plus prochaines du coté impair, comme aussi elle se peut appliquer aux nombres qui composent la moitié des côtés pairs, au moine sens qu'aux parties des impairs.

3. Je viens maiiilonant à ce qui regarde les triangles. Lesiiiélhodes (■') que vous donnez, tantpourtrouver les quarrés ([ue

les côtés des triangles qui appartiennent aux hypoténuses composées, sont véritablement fort belles, et vous avez la méthode de si bien disposer vos règles, que cela leur donne une certaine grâce qui les fait encore agréer davantage, mais elles ne suivent pas mon intention, car

(') nùrXLWn, 4.

( -) IxUrc iicrdiic.

(3) ^o(/-XI.VIII, 2.

je n'ai point entondn qu'on se servit des quarrés ni des triangles des parties des hypoténuses composées, mais seulement des dites parties. Par exemple, je demand(^ une manière de trouver que G) est composé des quarrés 64, I et 49. iG, supposant seulemiMil qu'il a 5 et ilî pdur les parties premières, sans employer à cet elTet les quarrés 4 et i . ni les cotés 3 et 4. non plus que C(HI\ qui appartiennent ii i3.

4. Des quatre propriétés des triangles que je vous avois proposées, vous avez fort bien trouvé la deuxième ('); pour les trois autres, vous n'avez pas suivi mon intention. Partant, il faurque je m'éelaircisse plus que je n'avois t'ait.

La première est facile (-) : Que le triangle rectangle soit AMV. (Jig. 78); il le faut diviser en deux triangles ABD, ADC avec la per-

Fie. 78.

pendiiMiIaire AD; et derechef le triangle ADC en deux triangles EDC, IvD.\ par la perpendirulairc DE et l'autre pareillement ABD en deux, savoir ADF, BDF, par la perpendiculaire DF; et derechef les triangles UDF, ADF, ADE, DEC par les autres perpendiculaires FO, FI, EL, EX; et continuer ainsi tant qu'on voudra et faire que foutes les lignes et sections d'icelles, comme AL, LI, ID, BO, OD, DN, NC, soient nombres entiers.

5. Vous donnez par après (') les triangles dont le moindre côté est différent d'un quarré de chacun des deux autres : je sais bien que la

(>) LeUre XI.VIII, 6.

(>) LeUreXLVIlI, 5.

(») Leilre XLVIII, 7.

\\A\. — 2 AOUT IGil. 229

moitié (le ceux qui ont i pour diHérencc do leurs petits cotés oui aussi cette propriété, savoir ceux (jui commencent par un nombre pair ('), mais je n'altcndois pas (juc vous dussiez vous servir de ceux-lii, espérant que vous donneriez le moyen de les trouver t(»u>: et, atiu d'exclure les susdits, on pourroit ainsi proposer le problènu- :

Donner toux les triangles qui ont un quarré pour différence de leur petit côté à chacun des dciLV autres côtés, en sorte que l'une des différences ne puisse pas mesurer l'autre.

6. Pour l'autre propriété des triangles (-), qui est d'avoir un aulntriangle relalif en dillercuces, en sorte que la dilTérence des deux grands cotés du premier soit celle des deux petits cotés du second, et la différence des deux petits côtés du premier soit celle des den\ arrands côtés du second, comme on voit aux triani^les :

(9 1 1 Go

Gi

VOUS n'avez pas considéré altentiveaient cette pro[)osition , car li triangles que vous donnez :

n'ont pas cette propriété, mais en ont une autre, qui est que les grand> côtés de chacun ont pareille différence, savoir 9.S, et en outre que Ic^ deux hypoténuses ont pareille différence que les deux grands côtés. -Mais ce n'est pas ce que je demande, car aux triangles

1 1 Go

Gi

vous voyez que 120 et iGf) n'ont pas même différence que Go et ()i , ni G[ et 1G9 même dllFérence que Go et 120. Il faudroit donc, pour satisfaire à la question, qu'en vos triangles il y eût môme différence de .'( 'i<) à 3ji que de 8")i à 120, et de 3 u à 280 que de 919 ii 8Ï1 .

( ' ) C'est-à-dire dont le plus petit côté est pair. (2) Lettre XLVlll. 8. f'oir les notes.

7- Vous mo proposez par aprcs (') de trouver un nombre qui soil polygone autant de foh qu'on rouclra et non plus.

.le vous (lirai qu'il y a quelques anuées que je m'étois mis à la rcelierehe de cela, mais à peiuc cus-je commcucé. que je m'avisai (|ue les fii,nires qui sout maintenaut en usage sont si extravagantes, lorsqu'on les veut mettre en pratique, j'entends quand on les veut représenter avec des jetons ou des points, qu'on les nommeroit plus à propos chimères ou grotesques que figures, lesquelles, si elles ne sont entièrement régulières, au moins doivent-elles en approcher le plus (|ue faire se peut.

Cela l'ut cause que je quittai ce que j'avois commencé pour me mettre à réformer ces figures, et Dieu m'a fait la grâce d'y réussir en ([uelque façon, car j'ai trouvé une manière de faire des ligures régulières en nombres d'une infinité de sortes, et d'autres aussi qui n'ont point iViin^\^is ingrcdiens, de tant de côtés qu'on voudra. J'ai ensuite considéré quelques-unes de leurs propriétés et ce qui dépend d'icelles, de sorte que je ne me suis pas beaucoup arrêté aux figures communes, que je nommerois plutôt progressions de triangles que figures, à cause de l'assemblage des triangles par lequel elles sont formées. Je crois bien que ce n'est pas de ces nouvelles figures dont vous voulez parler, car possible ne vous en étes-vous pas encore avisé; mais pour les communes, on peut considérer votre question en deux manières :

8. La première, si le nombre demandé est plusieurs fois polygone, de telle sorte qu'il enveloppe tous les polygones inférieurs, c'estii-dire que, si ce nombre est, par exemple, heptagone, il doive aussi être hexagone, pentagone, quarré et triangle. Et ainsi, pour avoir un nombre qui fût sept t"ois polygone, il en faudroit donner un qui fût figure de <), 8, 7, G, 5, \ et 3 côtés; ce qui seroità la vérité fortdillicile, et il faudroit un nombre fort grand pour y satisfaire, car les nombres

(') fuir LcUre XLVllI, 9. CoUe question dérive de celle qui termine le Livre Des nnml)rcs polygones de Diophaiite. I-'crmal ne parait pas être jamais arrivé à une solution qui l'ait satisfait.