XLIX. - 2 AOUT IG'tl
qui sont seulement triangles, quarrés et pentagones deviennent incontinent fort grands, et c'est à cela que j'avois commencé à travailler.
jj'autrc considération est qu'un nombre soit polygone en plusieurs façons, sans se soucier si les polygones sont de suite ou non. Je n'ai pas encore recherché cela; si vous l'avez trouvé, vous m'obligerez ilc me le communiquer.
9. L'autre (|uestion que vous me laites (') contient deux problt-mes : L'un de choisir un nombre qui soit la somme des deux pelils côtés de
tant de triangles qu'on voudra et non plus;
L'autre est de déterminer à comhie.i de triangles un nombre donné est la somme des deux petits côtés.
Pour soudre ces problèmes, il faut considérer que tout nombre premier, différent de l'unité d'un nombre divisible par 8, est la somme des deux petits côtés d'un triangle, et tout nombre qui est la somme des lieux petits côtés d'un triangle auquel les côtés sont premiers entre eux, diffère de l'unité d'un nombre divisible par 8.
Sur ces fondements, il faut faire la même chose avec ces nombres qu'on feroit sur les nombres premiers pairement pairs -t-i, pour trouver ce qui est requis par les problèmes, si on demandoit des hypoténuses au lieu de la somme des deux petits côtés. Il seroit superflu de déduire cela plus au long : intelligenti loquor.
10. Si votre méthode est autre que celle-là, vous m'obligerez de me la communiquer, et aussi de quelle façon se pourroit trouver le triangle, ayant seulement la somme de ses petits côtés sans avoir les quarrés et doubles quarrés dont elle est la différence. Car ces sommes ont cette propriété d'être toujours deux fois la dillérence d'un quarré et d'un double quarré; et, si cette somme est un nombre composé d'autres de même nature, comme ii() composé de 17 et 7, il sera ({uatre fois la différence d'un quarré et d'un double quarré.
Il faudroit aussi trouver la même chose pour l'enceinte entière des triangles que pour la somme des deux petits côtés.
(') f'oir LcUic XLVIll, 11.
■m ŒUVKES DE FEUMAT. — CORRESPONDANCE.
H. Sur le sujet des triangles, voici ce que je vous proposerai encore :
[hie hypoténuse composée étant donnée avec les quarrés premiers entre cii.r (pii la composent par leur addition , trouver ses parties.
(Jue 22 1 soit l'hypoténuse donnée avec les quarrés qui la composent, savoir : loo, 121 et 19G, 2^, il faut trouver par le moyen d'iceux (|ue 22] a i3 et 17 pour parties.
12. .l'attends de vous la manière (') de trouver les nombres premiers qui ne mesurent que les puissances — i en toute analogie, et [irincipalement en celle de 2.
.le suis etc.
FRENICLI^. .V FERMAT {-).
VE^DRED1 G SEI'TEMIIllE Ki'll.
(la, p. ir.y-|-;:j.)
MONSIFAIR,
1. Votre règle (■') pour trouver les triangles pareils ti i i, (Jo, Oi et I i(), 120, iG(), est fort bonne; je m'étois seulement arrêté à l'exemple, sans la considérer autrement.
2. .Mais celle que vous mettez ensuite, pour les triangles dont le moindre coté dillere d'un qiiarré des deux autres ('), sert ii la vérité pour trouver quelques-uns de ces triangles, mais non |)as pour les trouver tous, ainsi que vous prétendez : car, prenant tous les nombres qui sont en proportion comme le (juarré 4- i de quelque nombre an
I') AWrLcltre XLVII, 1.
(^) Kôponsc à unu Lollro pi-rdm", par lacjucllo l'Y'niiat avait rùpliiiuc ;'i la précOdeiilc, ( •■>) Voir Lclires XIA'Ill. 8 cl XLIX, 6. (■•) Cp. LcUre XLIX, 5.
