III. — 3 JUIN

l;i [iiiissance H mise en A, laquelle l'enlèvera, pour peu qu'on l'augmenle. (]ar soil prolongé AC jusques à D, el que CD soit égal à CB, et que l'on nietle un poids en D égal au poids B, C sera le centre de pesanteur du corps composé des deux poids B et D; c'est pourquoi, si du point A l'on ôte la puissance R, les poids B et D demein'eront en équilibre, iHiis(|ue la ligne HA ne pèse point. Et si l'on met le poids en A qui tende en bas, égal à la puissance Il qui tend en haut, l'on (ait la même chose que si du point A l'on ôluil la puissance R, puisque le poids abaisse autant comme la puissance enlève.

Oue ce poids soit donc mis en A; donc le corps comijosé de la puissance It posée en A el tendant en haut, du poids A tendant en bas, el des poiils lî et I), demeurera en équilibre. Or puisque le poids D esl égal au poitls B, el (|ue la ligne CD est égale à la ligue CB, AC est à CB comme AC à Cl) ; el comme le poids B est à la puissance R mise en A, ainsi le poids D au poids mis en A (]ui tend eu bas (lequel on suppose égal à la puissance R). Or, comme Af] esl à (]B, ainsi le poids B à la puissance R posée en A; donc, comme AC à Cl), ainsi le poids D au poids mis en A. Et par conséquent le poids mis en A sera en équilibre avec le poids D, puisque les distances sont en proportion récipiofpie des poids. Mais si l'on ôte des poids qui sont équilibres, d'autres poids (|ui sont aussi en équilibre, ceux qui resteront demeureront aussi en l'quililiie; donc si, de l'équilibre fait de la puissance R mise en A el tendant en haut, du poids mis en A tendant en bas, et des poids B et D, l'on ôte l'équilibre l'ail des jioids A et I), les |ioidsqui resteront demeui'eront en équilibre.

Soient donc ùlés les poids A et I), la puissance R mise en A et le [loiils I! demeureront en équilibre, et partant, pour peu que l'on augmente la pui>sance R, elle enlèvera le poids B : ce qu'il falloit démontrer.

ni.

FERMAT A MERSENiNE.

MAiiDi 3 jriN i63(j.

Mon Hi:vi:iu:.M) Pèisi:,

1- J'ai reçu votre letlre avec satisfaction, puisqu'elle contient des remarques et des expériences très singulières : j'en ferai l'estime que je dois et de tout ce qui me viendra de votre [)art.

2. Je n'ai [tiiiiil vu de livn> de musique plus nouveau de vous (|ue celui tiue vous appelez (Jiws/io/ts li(in)iomques, ((ue j'ai, relié avee nu autre reeueil de Questions et les Méchaniques de (ialihei ( ' ).

3- Si la denioiistratiou de la proposition de l'hélice ('- ) u'étoil pas de grand discours et d(> grande rechereiie, je vous l'envoierois présen-

(') Il a paru, en i(i'3|, ilcii\ Volumes diffôroiils do Questinns ilu y. Mersonne. Ions de\i\ polit iii-oi'lavo.

Le premier — A Paris, chez laques Villery, rue C lopin à l'Escu de France, et au coin de la rue Daiiphine aux trois Perruques, M.DC.XXXIHI. Avec Privilège du Boy. — Sans nom d'auteur (le privilège, du i4 août i('29, est délivré au U. P. M. R. M. ; l'achevé d'imprimer est du i" décembre iG3'5) — eoulienl (Bibl. Nnl. Imprimés V '.uii, luvontairo V 19^94/5) : 4 A

a) Questions iiiouyes, ou Récréation des scavans. Qui contiennent beaucoup de choses concernantes la Théorie (Théologie?), la Philosophie, et les Mathématiques (180 pages);

h) Questions harmoniques. Dans lesquelles sont contenues plusieurs choses remar- (piables pour la Physique, pour la Morale, et pour les autres Sciences (276 pages).

Le second — A Paris, clwz Henry Guetio/t, rue Sai/ict lacques, prés les lacohins, à l'image Sainct Bernard M. DC. XXXIV. Avec Privilège et Approbation. — (Privilège d'août 1G34, cpitrcs dédicaloires signées de Mcrscnne) — renferme (Bibl. Nat. Imprimés V 2675, Inventaire V aSiSo/i/a) :

c) Les (Questions Tlioologiquos, Physiques, Morales et Mathématiques. Où chacun trouvera du contentement ou de l'exercice. Composées par L. P. M. (240 pages);

d) Les Méchaniques do Galilée Mathématicien et Ingénieur du Duc do Florence, Avec Plusieurs Additions rares et nouvelles, utiles aux Architectes, Ingénieurs, Fonteniers, Philosophes et Artisans. Traduites de l'Italien par L. P. M. M. (88 pages);

e) Les Préludes de l'Harmonie Universelle, ou Questions Curieuses, Utiles aux Prédicateurs, aux Théologiens, aux Astrologues, aux Médecins et aux Philosophes. Composées par L. P. iM. M. (224 pages).

C'est évidemment ce second volume que possède Fermât et c'est le dernier recueil (c ) qu'il désigne improprement sous le titre de Questions harmoniques.

(2) Foir Lettre I, 9. — L'envoi promis ici par Fermât ne se retrouve pas dans ses Lettres à Mersenne, mais il fut fait avant le 4 novembre 16'ÎO {voir Lettre XV, 6), et d'autre part, en rapprochant les extraits ci-après IIIa et IIIn des CEuvres de Mersenne. on reconnaît aisément que ce dernier nous a conservé, dans le second de ces extraits, une partie du travail de Fermât, suffisante pour que l'on puisse en apprécier toute l'importance. On peut constater également que l'hélice dont parle Fermât dans ses Lettres I, 9, et III, 3 n'est autre que colle qu'il désigne sous le nom à'hcli.v Galilei (et non Jialiani, fausse leçon de Bossut) dans la Solution du prolilcme propose par Etienne Pascal ("ïomQX, pages 73-74), pièce dont la date semble devoir être assignée en janvier ou février 1637. Cette spirale de Galilée, nom probablement donné par Mersenne, peut être définie la courbe décrite, relativement à la Terre supposée animée du mouvement de rotation diurne, par un point matériel pesant tombant librement suivant la loi de Galilée. Le problème de cette trajectoire préoccupait particulièrement le savant Minime et, dès sa première lettre à Fermât, il avait dû lui dmnander ses lumières sur cette question. — Il ne parait pas douteux (|ue l'écrit p(M'du ait été rédigé en latin.

m. - 3 JUIN 1636. 13

Ipment; mais elle contiendra autant que deux des plus grands Traités d'Archimède, de sorte que je vous demande un peu de loisir pour cela et cependant vous la pouvez tenir pour très véritable.

4. .l'en dresserai un Traité exprès, oîi je vous ferai voir de nouvelles hélices aussi admirables qu'on en puisse imaginer; pour vous en donner l'avant-goût, en voici une, qui est peut-être cette ligne que Ménélaùs appelle admirable dans le Pappus (^' ).

Esto hélix A>IB ( tlg. 4) '« circulo CNB, cujm ea sil proprietas ut, ductâ qualihel rectù, rerbi gratia AMN, lola circuli circumferentia sil

FiK. 4.

ad ejiisdem circumferentiœ portionem NCB ;// AB quadratutn ad quadratiun AM.

//( hoc autem hwc hélix differt ah hélice Archimedis (jund, in hélice Archimedis, sil iil circumferentia ad portionem NCB, ita AB ad AiM.

l'ronunciainus : primo, spatium sub hélice et recta AB comprehensum esse dimidium lolius circuli: deinde (qitœ est proprietas mirabilis), spaliuin ex prima revolulione ortum ( quod hic sit N) (tig. ')) esse dimidium

Fig. 5.

spalii M ex secunda revolulione orli; spatium vero (] ex terlia rcvolatione

( ' ) Popput, rv, 'ifi, édition Huitsch, page 370, 2G. — La supposition de Fermai est très peu probable.

14 Œ u V K i: S I) !•: l' i: ii m \t. - c o u r e s p o n d a n c e.

oit uni esse œqitale spath .M, et oninid onuiino dcinccps spatia ex (jiiahhcl iTKolutioiic oiia dirlo s/xi/io .M siinililiT esse (vqiHilia, idaupic et i nier se.

J(> crois que vous m'avouerez que ces reeherelies soiil belles, mais j"ai si peu île eoinuiodile d'eu eeiiic les (léuu)us(ralious qui sont des plus malaisées et des plus eiubarrassées do la Géométrie, (jue je tue l'ouleule d'avoir ilecouvei'l la vérité et de savoir le umyeu de la prouver lorsque j'aurai le loisir de le l'aire. Si je puis trouver quidijue oecasiou d'aller jiasser (rois ou quatre mois ii Paris, je les emploierai à mettre par éerit toutes uies uouvollos pensées en ces arts, à quoi je pourrai sans doute être beaucoup aidé de vos soins.

5. .l'ai vu la Géostatùpœ de M. de Beaugrand (') et me suis étonné d'abord d'avoir trouvé ma pensée diH'érente de la sieiiiu'; j'estime (|ue vous l'aurez déjà remarqué. Je lui envoie t'ranchomcnt mon avis sur sou livre, vous assurant ([ue j'eslinu' si fort son esprit et qu'il m'en a donné de si grandes preuves, que j'ai peine ii nu' persuader qu'ayant entrepris une opinion contraire à la sienne, je ue me sois éloigné de la vérité; je consens pourtant qu'il soit mon juge et ne vous récuse pas non plus. Et parce que j'ai écrit à la hâte la démonstration que je vous envoyai et l'écrit que je lui envoie ( - ), je mettrai fout au net à loisir et tâcherai même de trouver de nouvelles raisons pour soutenir mon ojtinioM, à laquelle pouilani je ne m'attacherai jamais par opiniâtreté dès (|u'il me fera connoitre le contraire.

.le suis etc.

( ') l'oir Lellros I, 7, 11, 2.

(,') Écrit de Format perdu, cdiuiiic toute sa corrcspoudance avec Bcau^'rand. — La démonstration envoyée à Merscnne n'est autre que la pièce précédente, II, ou peut-être la rédaction en fraiirais de la même pièce, 11a. Cependant on no peut conclure du lani,'ai.'e de Fermât ([ue l'envoi a été fait directement à Mersenne et que, par suite, il y aurait eu une lettre perdue inlcrmédiairo entre 1 et III (voir Pièce II, note a de la page 6).

IIIa et IIIb. - 3 JUIN 1636. lo

IIIa.

MliitSKNNR, Seconde Partir de l'Htinnrinie Unk'emcUe (il'^j ), Nouvelles Observations Pliysiqiios ol MatliéniatiqiH?s. Première OIjs. pasre 2 :

La seconde chose qu'il est à propos de remarquer appartient à la demie circonférence dont je parle au même lieu (') : car, outre ce que j"ai montré (le la ligne hélice, par la([uelle les ])oids descendent suivant l'imagination de (ialilée, un excellent Géomètre a démontré les propriétés de celte hélice, laquelle lui pourra servir d'occasion pour restituer le livre de Démétrius, iz^o\ Ypaaa'.xwv ÈTnTTxdsojv, dont Pappus (-) a parlé dans le A- '• de ses Collections. Je dirai seidement qu'il y remarque (') une raison perpétuelle de i5 à 8 : ceux qui en voudront savoir un plus grand nombre de particularités, les peuvent espérer de cet excellent personnage. Il a trouvé plusieurs autres nouvelles hélices, dont l'une est peut-être l'admirable de Ménélai'is (M, de laquelle le premier espace fait par la première révolution est sous double de celui de la seconde; et néanmoins tous les autres espaces suivans produits [)ar les autres révolutions sont égaux à celui de la seconde révolution et ()ar conséquent égaux entre eux. Je laisse les autres propriétés, dont il donnera la démonstration quand il lui plaira.

Mersenxe, Cogitiilii Plirsicii-in/illienxitica (1O4I) — Hallistica, page "17-

1. Cùm (lalilseus existimare videretur lapidem (posità terra mohili et solis motiim supplente) usque ad terraî centrum descendeutem moveri per semicircumferentiam. . . . de quà superius (») dictum est, demonstravit acutissimus Geometra i). Fermatius non esse descensum illum semicircularem, sed helicem describere peculiarem, quae sil secunda inter sequentes, quemadmodum prima est Archimedea.

( ' ) Livre II du Mouvement des Corps, prop. \\\, pages gS et suiv. — Galilée axait dit ( iHa.tsimi Sistemi, iG32, p. i56 suiv.) qu'il était probable qu'un corps, tombant sans empêchement jusqu'au centre de la terre, décrirait, en tenant compte du mouvement de la terre, une demi-circonférence. Mersenne réfutait cette opinion.

(2) Pappcs, IV, '56, édition Hultsch, page 270, 20.

{'■>) Foir ci-après la pièce IIIu, 2.

(1) T'oir Lettre III, 4.

(5) Page 5o des BalUnica de Mersenne.

(Kl VUES l)K l'KHMAT. - COIUIESPON DANCE.

•2. Sil iijiliir lioliv AFB (//;,•. G) iiitia tirciilum ]U.\ descripta, ila ut sempcr sil oniloin ratio ciiciiiiilereiilia^ \U.\ ad arciiiii 1!(', i|na' est liiica' \I$ ad F(;, vol (|uailiali Mî ad (luadratuiu FC, vel iul)i AU ad cidiiiiii FC, vol cujiisluinquo altoiius polestatis (') AB ad siiniloin pdtoslaleiii FI',, régula geneialis

Fis. 6.

dalui, ijiià lalio rirculi BCX ad spaliuin lineà AB el helicibus AFB comprclieiisum reperialur (-).

llîc appono octo hélices quarum majores iiumeri circuluni, minores lieliccm ro le nuit :

ri.

\ii<

3. Oiiilius placet addere demonstralinnem amici ('), qui demousliavil liiieani descensùs gravium nou esse circularein , sufllciat aiiiiolas>-e

' ) Polenliio Mersenuc.

-) Mersennc a fait ici quelque confusion; les spirales qu'il \ionL de définir onl pour r-quation polaire

celles auxquelles se rapportent les nombres qui suivent el dans lesquelles doit d'ailleurs fleurer comme seconde (« = a ) la trajectoire étudiée par Format, ont. au contraire, pour équation

Fermai a sans doute considéré les doux classes; pour la seconde, le rapport de l'airo

/•? = " rfo) , , , i2R2 , •>.«'de la spirale / o^ — , au secteur de cercle correspoiidanl , est ■ ■ ;

formule dans laquelle rentrent les nombres donnés par .Merscnne.

( ') La démonstration qui suit (en partie seulement) dans le texte de Mersennc ne peut •Hre attribuée à Fermai.