Je viens maintenant ii ce qui regarde les triangles

Les méthodes (') que vous donnez, tant pour trouver les quarrés que les côtés des triangles qui appartiennent aux hypoténuses composées, sont véritablement fort belles, et vous avez la méthode de si bien disposer vos règles, que cela leur donne une certaine grâce qui les fait encore agréer davantage, mais elles ne suivent pas mon intention, car

(1) ro(>XLVllI, A.

(2) Lettre perdue.

(3) ro;> XLVIII, 2.

■lis. ŒUVRES DE FERMAT.— COURKSl'ONDANCE.

\v n'ai poiiil oiilciulu (lu'oii so servit des qiiarrés ni des Iriaiigles des parties des hypoténuses composées, mais seulement dos dites parties. Par exemple, je demande nne manière de trouver que Gj est composé des quarrés (i'i. 1 et '|i). i('), supposant seulemenl qu'il a .'^ et i3 pour les parties premières, sans employer à cel effet les qnarrés 4 tU i, ni les côtés 3 et 4. i"^" p'"^ <|"i' ceux qui appartiennent à i).

4. Des (juatre propriétés des triangles que je vous avois proposées, vous avez fort bien trouvé la deuxième ('); pour les trois autres, vous n'avez pas suivi mou intention. Parlant, il iïiut (jue je m'éclaircisse plus que je n'avois fait.

La première est facile (-) : Que le triangle rectangle soit AB(J (//g. 78); il le faut diviser en deux triangles ABD, ADC avec la per-

Fis. -8.

pendicnlaire AD; et derechef le triangle ADC en deux triangles EDC, KDA par la perpendiculaire DE et l'autre pareillement ABD en deux, savoir ADF, BDF, par la perpendiculaire DF; et derechef les triangles BDF. ADF, ADE, DEC par les autres perpendiculaires FO, FI, EL, EN; et continuer ainsi tant qu'on voudra et faire que toutes les lignes et sections d'icelles, comme AL, LL ID, BO, OD, DN, NC, soient nombres entiers.

5. \'ous donnez par après (^) les triangles dont le moindre colè est dilférent d'un quarré de chacun des deux autres : je sais bien (jne la

(') Lettre XI.VIII, 6.

(*) Lettre XLVIII, 5.

(») Leuro XLVIlt, 7.

XLI\. — 2 AOUT ICil. ±1'.)

moilié de ceux qui ont i pour différence de leurs petits côtés ont aussi cette propriété, savoir ceux qui commencent par un nombre pair ('), mais je n'attendois pas que vous dussiez vous servir di' ceux-là, espérant que vous donneriez le moyen de les trouver tous: et, afin d'exclure les susdits, on pourroit ainsi proposer le problème :

Donner tous les triangles qui ont un cjuarré pour différence de leur petit côté à chacun des deux autres côtés, en sorte que l'une des différences ne puisse pas mesurer l'autre.

6. Pour l'autre propriété des triangles (-), qui est d'avoir un autr(> triangle relatif en différences, en sorte que la différence des deux grands cotés du premier soit celle des deux petits côtés du second, et la différence des deux petits côtés du premier soit celle des d(Mi\ grands côtés du second, comme on voit aux triangles :

49 ^ • , 6o Gi

vous n'avez pas considéré attentivement cette proposition, car les triangles que vous donnez :

n'ont pas cette propriété, mais en ont une autre, qui est que les grands côtés de chacun ont pareille différence, savoir 98, et en outre que les deux hypoténuses ont pareille différence que les deux grands côtés. Mais ce n'est pas ce que je demande, car aux triangles

Il Go 61 et 119 120 169,

vous voyez que 120 et iGf) n'ont pas même différence que Oo et (Ji , ni (il et iGg même différence que Go et 120. Il faudroit donc, pour satisfaire à la question, qu'en vos triangles il y eût même différence de l\\[) à 35 1 que de 85 1 à 420, et de 35 1 à 280 que de ()\r) \\ 85 1.

(') C'est-à-dire dont le plus polit côté est pair. (2) Lettre XLVIII. 8. J'oir les notes.

■IW (KUVUKS I)K IKU M AT. - COURES POND ANGE.

7. Vous mo lu'oposoz par aprc'S {') do trouver un nombre qui soit polygone autant de fois qu'on roudra et non plus.

Je vous (liiai (ju'il v a ([uchiucs aiiÊiécs ([iir je m'ôlois mis ii la rtH'litM'olic (le t'(>la. mais à {jcinc cus-jo comuuMici', quo jo m'avisai i|ui' les lii,Miros qui soûl uiaiulcuaut ou usage soûl si oxtravagaulos, lorsqu'ou ios veut uiollro on pratique, j'entends quand on les veut représente!' avec des jetons ou des points, qu'on les nommeroit plus à propos chimères ou grotesques que figures, lesquelles, si elles ne sont ontièrement régulii'res, au moins doivent-elles en approcher le plus (|ue faire se peut.

Cela fut cause que je quittai ce que j'avois commencé pour mo mettre à réformer ces figures, et Dieu m'a fait la grâce d'y réussir en (juelque fa(,'ou, car j'ai trouvé une manière de faire des iîgures régulières en nombres d'une infinité de sortes, et d'autres aussi qui n'ont point d'angles rVio-/-eV/?V/?i, de tant do côtés qu'on voudra. J'ai ensuite l'onsidéré quelques-unes de leurs propriétés et ce qui dépend d'icelles, de sorte que je ne me suis pas beaucoup arrêté aux figures communes, que je nommerois plutôt progressions de triangles que figures, à cause de l'assemblage des triangles par lequel elles sont formées. Je crois bien que ce n'est pas de ces nouvelles figures dont vous voulez parler, car possible ne vous en ètos-vous pas encore avisé; mais pour les communes, on peut considérer votre question en deux maurèros :

8. La première, si le nombre demandé est plusieurs fois polygone, de telle sorte qu'il enveloppe tous les polygones inférieurs, c'està-dire que, si ce nombre est, par exemple, heptagone, il doive aussi être hexagone, pentagone, quarré et triangle. Et ainsi, pour avoir un nombre qui fût sept fois polygone, il en faudroit donner un qui fût figure de 9, 8, 7, G, 5, 4 et 3 côtés; ce qui seroità la vérité fort difficile, et il faudroit un nombre fort grand pour y satisfaire, car les nombres

(') Foir Lcltre XLVIII, 9. Cette question dérive de celle qui termine le IJvre Des noml/rcs polfgonc.i de Diophanle. I''ermat ne paraît pas être jamais arrivé à une solution qui l'ait satisfait.