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qui sont seulomeiit triangles, quarrés et pentagones deviennent incontinent fort grands, et c'est à cela que j'avois commencé à travailler.

L'autre considération est qu'un nombre soit polygone en plusieurs façons, sans se soucier si les polygones sont de suite ou non. Je n'ai pas encore recherché cela; si vous l'avez trouvé, vous m'obligerez de me le communiquer.

9. L'autre question que vous me faites (') contient deux problèmes : L'un de choisir un nombre c/iii soit la somme des deux petits côtés de

tant de triangles qu'on l'oudra et non plus;

L'autre est de déterminer à combien de triangles un nombre donné est la somme des deux petits côtés.

Pour soudre ces problèmes, il faut considérer que tout nombre premier, différent de l'unité d'un nombre divisible par 8, est la somme des deux petits côtés d'un triangle, et tout nombre qui est la somme des deux petits côtés d'un triangle auquel les côtés sont premiers entre eux, diffère de l'unité d'un nombre divisible par 8.

Sur ces fondements, il faut faire la même chose avec ces nombres qu'on feroit sur les nombres premiers pairement pairs -hi, pour trouver ce qui est requis par les problèmes, si on demandoit des hypoténuses au lieu de la somme des deux petits côtés. Il seroil su|)erflu de déduire cela plus au long : intelligenti loquor.

10. Si votre méthode est autre que celle-là, vous m'obligerez de me la communiquer, et aussi de quelle façon se pourroit trouver le triangle, ayant seulement la somme de ses petits côtés sans avoir les quarrés et doubles quarrés dont elle est la différence. Car ces sommes ont cette propriété d'être toujours deux fois la différence d'un quarré et d'un double quarré; et, si cette somme est un nombre composé d'autres de même nature, comme 119 composé de 17 et 7, il sera quatre fois la différence d'un quarré et d'un double quarré.

Il faudroit aussi trouver la même chose pour l'enceinte entière des triangles que pour la somme des deux petits côtés.

( ') J'oir Letlre XLVUI, 11.

-23-2 (!• UVllKS DE FERMAT. — CORRESPONDANCE.

11. Sur lo sujet tics triangles, voici ce que je vous proposerai l'ucorc :

L'uc hypotènttse cuDiposéc élaiit donnée cnx'c les (/narres premiers entre eux qui la composent par leur addition, Iroui'er ses parties.

Qiio 2?. I soit riiypotéinise donucc avec les quarrés qui la composent, savoir : loo, ii>i et njG, 2"), il faut trouver par le moyen d'iceux que •2■l^ a i3 et 17 pour parties.

12. .l'alicnds de vous la manière (') de trouver les nombres premiers qui ne mesurent que les puissances — i en toute analogie, et principalement en celle de 2.

Je suis etc.

FRENICLE A FEMIAT (-).

VliNDIlEDI 6 SEl'TUMnilE 1641.

(Ta, p. i(i9-i;3.) MOSIECK,

1- Votre règle (■') pour trouver les triangles pareils à 1 1, Go, Gi et I i(), I20, 169, est fortbonne; je m'étois seulement arrêté à l'exemple, sans la considérer autrement.

2. Mais celle que vous mettez ensuite, pour les triangles dont le moindre côté dilFère d'un quarré des deux autres ('), sert à la vérité pour trouver quelques-uns de ces triangles, mais non pas pour les trouver tous, ainsi que vous prétendez : car, prenant tous les nombres <jui sont en proportion comme le quarré -+- r de quelque nombre au

1') roirUnre XLVll, 1.

(*) Réponse à une LoUrc pcnliic, par laquelle l'crinat avait répliqué à la précédeuto, - 3) roir Lettres XLVIll. 8 el XLIX, 6. • ■•) Cp. Lettre XLIX. 5.

double — 2 du même nombre, on ne trouvera pas les triangles qui se font par 29 et 12 ou par 60 et 298, et une infinité d'autres; mais on les trouvera tous par la règle que vous mettez en l'écrit particulier ( ') que vous avez envoyé, qui se fait mettant pour un des nombres constitutifs du triangle un nombre composé de deux quarrés premiers entre eux et de divers ordres.

Et cette dernière méthode sert à trouver tous les primitifs dont les côtés des quarrés (-) sont comme d'un nombre impair à un autre nombre. Par exemple, on trouvera par icelle qu'il y a deux triangles où les côtés des quarrés sont comme île G5 à un autre nombre, et dont le moindre côté est différent d'un quarré des deux autres : savoir les deux qui sont faits de 65 et i4 et de 65 et 24 et les autres qui sont en même proportion.

Mais si on vouloit tous les triangles primitifs dont les racines des quarrés sont comme d'un nombre pair à un impair, comme par exemple de 60 à quelque autre nombre, on n'y pourroit pas satisfaire par cette seconde règle, sinon après un long tâtonnement (•'), et la première règle ne donne que la raison de 60 à 1861; mais il y a encore trois autres proportions, outre celle-là, qui ont toutes 60 pour un de leurs termes.

J'ai deux règles différentes dont chacune donne tous les triangles

( ') Écrit perdu. — La première règle de Fermât consiste à prendre pour les nombres servant à former le triangle rectangle {voir page ■ri'i, note i)

/) = r-+i, q = ir — ï.

La seconde règle à prendre, r et ^ étant premiers entre eux,

C ) Frenicle appelle ici càtés ou racines clex quarrés les nombres servant à former le triangle rectangle, désignés par/> et q dans la note précédente. ( ' ) Si l'on pose

et q = r — I,

et que l'on fasse q = 60, on aura

r = Gi, /) = 18G1.

J-cs trois autres proportions sont

Go, 293; 60, aGg: Go, 157. Fermât. — U. 3o

•i;$V ŒUVRES DE FERMAT.- COIUIESPOND ANGE.

siisilils, av(M' ct'llc (lillV'rciu'c (]ii(' I'iiik^ l'cgardc la j)ro|M)rlioii qui coiiinioiu'c par un jiair et l'aulrc relie (|iii eouiiiuMire par un iiiipair.

Kl celle-ei n'esl pas beaueoup di lié renie de voire dernière ('), car, avant pris un lrianij;le priniilil, je nie sers de son hypoténuse pour le premier lernie, el pour l'autre, j'oie il'un des eolés du lrianii;le la dili'éronee de l'autre eôlé à l'hypoténuse.

Exemple : Que 20, 21, 2Ç) soit le triangle, 29 le premier terme; pour l'antre, j'ote de 20 la différence de 2[ à 2;), ou de 21 la dilVérence de 20 à 2(), et restera 12. On aura donc 2;) et 12 dont les quarrés composeront le triangle cherché.

3. Voire premii're règle (■) pour trouver trois quarrés en proportion arithmétique a le même défaut que la précédente, car on ne les peut pas frouvei' tous par icelle. Par exemple, on ne trouvera pas les quarrés de I, 2(), 'il. ou de 17, 53, 7'j. Mais, par la proposition que vous mettez en l'écrit particulier, on les peut tous comprendre.

Vous pouviez aussi donner aisément par la première règle le troisième quarré, sans obliger à prendre la dilTérence des deux (|uarrés trouvés. Comme : en l'exemple que vous ajjportez, le quarré — 2 de j est 2); le quarré suivant +1 est 37 : si on vent avoir le troisième nombre, il faut ajouter à 37 le double de 5, et on aura 47-

Si on pronoit 4» son quarré — 2 est r4; le quarré suivant -f-i est 2G, auquel ajoutant 8, double de 4. on aura 34- Les trois nombres, étant l'éduits, sont 7, i3, 17.

La méthode dont je me sers pour trouver ces irois quarrés proportionaux, est tout autre que celle-là ('), et voici comme on procède pour les avoir tous :

I ') Celte rè.ijlo fie Frenicle revient en effet à la seconde de Fermai.

(2) Cp. Lotirc XLVIII, 8. — La règle générale de Fermât parait avoir coiisislé de fait à prendre pour les racines des trois carrés lés nombres r- — a.c-, /•- -1- an- -t- 21-, r^ -t- irs-i- 2.v2. La première règle revenait à supposer .r = 1.

(') Cette règle de Frenicle, revenant à prendre pour les racines des trois carrés en jirogrcssion arillmiélique les nombres p^ — 9.prj — <j^, p'^-h 7^, p-+ opq — 17^, concorde en réalité avec la règle générale de Fermai {voir note précédente), si l'on a /5 = ;• -h .t et