L. - G SEPTEMBRE IGil

L'iiypoléiuise de tout triangle primitif sera le côté du moyen quarré; la différence des deux côtés du triangle sera le moindre côté, et leur somme sera le plus grand.

Exemple : Que le triangle soit 28, 4 j. J^- I^e moyen côté sera l'hypolénuse, 53; la diflerence de 28 à 45, qui est 17, sera le moindre, et leur somme, 7-3, sera le plus grand. On aura donc 17, 53, 73 pour les racines des quarrés cherchés.

Et si l'on prend tous les triangles, commençant par le premier : 3, 4, 5, on aura tous les dits quarrés.

4. Après celle règle générale, j'en ai considéré deux parliculii'res, dont l'une est celle que vous proposez en l'écrit particulier, savoir que, le moindre des trois quarrés demeurant toujours le nu^ue, on ail les deux autres en une infinité de façons, et à laquelle vous croyez que je n'ai pas pris garde, quoiqu'il y ail déjii longtemps que je l'ai Irouvée, lorsque je travaillois aux triangles rectangles :

Car lout nombre et chacun d'iceux est la différence des deux moindres côtés d'une infinité de triangles;

Et tout nombre premier, dillerent de l'unité d'un niulliple de 8, uu composé desdils nombres premiers seulement, est la différence des moindres côtés d'une infinilé de triangles rectangles primitifs.

Et, y ayant des voies certaines pour trouver tous les triangles ((ui ont une même différence en leurs moindres côtés, on aura aisément tous les quarrés susdits.

Sur quoi il faut remarquer que, si le nombre proposé, qui doit être la racine du moindre quarré des trois et qui doit être la différence des deux petits côtés du triangle, n'est divisible que par un seul nombre premier dilférent de 1 d'un oclonaire, comme sont 7, 4î). 3Vj; 17, 28(7, etc., le nombre sera la différence des petits côtés de deux triangles qu'on peut nommer surprimitifs, pource qu'ils sont primitifs des primitifs, car d'iceux dépend l'infinité des autres triangles, et ces deux triangles sont toujours les moindres dont l'un commence par un pair et l'autre par un impair, et d'iceux se forme l'infinité des autres.

Voici la iiiaiiioro dont j(> mo sers : si je vrux, par exemple, avoir Ions les triangles (lui oui 7 île iliiréronee enire leurs moindres côtés, je eherehe les deux premiers triangles qui ont cette dill'érence, et trouve T. 12, 1 î et iS, i"), 17. Je prends les racines des quarrés de eiiaque triangle, savoir i, 2 et 4. '• ^'1 mets cha()ue couple en tète d'une ciiloune. J'ai donc pour le premier : 3, 2. Pour avoir le triangle suivant, je prends la plus grande racine du premier pour la moindre du s(>cond. savoir 3, et pour la plus grande je prends le double de la plus grande du premier, plus la moindre. Ainsi j'aurai 8, qui est double de 3, -1- 2. Ce 8 sera la moindre racine du troisième triangle, et la plus grande du dit troisième sera i<), qui est double de 8, +3. On iera la même chose à l'autre couple 4. '. et on poursuivra aussi loin (lu'oM voudra.

Ayant donc tous les triangles qui ont 7 pour différence de leurs moindres cotés, il sera facile, par ce qui a été dit ci-devant, de trouver tous les quarrés arithmétiquement proportionaux, dont le moindre est ',<).

Si le susdit moindre quarré étoit divisible par deux nombres premiers de même nature que les susdits, il y auroit (juatre souches dont tous les triangles dépendroient.

S'il étoit divisible par trois nombres premiers, il y en auroit huit. qui ne dépendroient point l'un de l'autre.

Ktc.

Ainsi iGi, composé de 7 et 23, est la différence des petits côtés des triangles surprimitifs :

et 4oo. 56 I. 68g,

et de chacun d'iceux on peut faire une infinité de triangles primitifs f|iji auront le même i()i pour dill'érence, et partant, le quarré de itii

sera le moindre quarré des trois propor(ionaiix en une infinité de sortes.

Il faut excepter l'unité de ce qui a été dit, car elle sert bien de différence à une infinité de triangles, mais elle n'a qu'une seule souche, qui est le triangle 3, 4, 5, d'où dépendent tous les autres.

On aura donc les quarrés proportionaux (') dont les racines son!

ici :