VI. — 15 JUILLET

6. Je n'ai pas encore pu examiner les propositions (') de la trisection de l'angle, ni de l'invention des deux moyennes proportionnelles. Ce sera au plus tôt.

7. A la question numérique (^), je réponds qu'elle reçoit infinies solutions, et même plusieurs manières différentes de la résoudre. Voici la meilleure et la plus aisée que j'ai imaginée :

Soient trouvés deux quarrés desquels la somme soit quarrée, comme 9 et i6; ce que je n'enseigne pas, pour être trop trivial. Soit chacun d'eux multiplié par un même nombre composé de trois quarrés seulement, comme ii. Ces deux produits seront 99 et 176 qui satisferont à la question, car chacun d'eux et leur somme sont composés de trois quarrés seulement (').

Et ainsi, par la même voie, vous en trouverez infinis, car, au lieu de 9 et 16, vous pouvez prendre tels autres deux quarrés que vous voudrez, desquels la somme soit quarrée, et au lieu de 11, tel autre nombre que vous voudrez composé de trois quarrés seulement.

Si vous prenez, au lieu de 1 1, un nombre composé de quatre quarrés

{' ) On ne retrouve plus trace, dans la Correspondance de l'ennal, de ces pro|)osilioiis. On peut croire qu'il s'agit des constructions données par Descaries dans sa Géométrie (éd. Hermann, p. 75-76) pour les deux célèbres problèmes de la Géométrie antique. Mersenne, à qui elles avaient été communiquées avant la publication, les aura envoyées à Fermai sans démonstration et sans révéler le nom de leur auteur.

C) C'est la quatrième des cinq questions numériques proposées par Sainte-Croix (André Jumeau, prieur de) à Descaries en avril i638 {voir Lettres de Descartes, éd. Clorselier, III, 7i). Elle était ainsi conçue (pour Descartes) :

(1 Trouver deux nombres, cliacun desquels, comme aussi la somme de leur aggrégat, no conste que de trois létragones. .l'ai donné 3, 11, 14. J'attends que quelqu'un y satisfasse par d'autres nombres ou qu'il montre que la chose est impossible, u

La première solution donnée par cet énoncé ne paraît avoir été indiquée à Fermai que dans la réponse de Mcrsenne à la Lettre VI. Voir Lettre X, 2.

(') B ajoute en marge les dccomposilions suivantes :

9 I 25 81 iG 4

stnilonuMif, ronuiie 7, cliiuim des deux produits, ensemble leur somme, seidiil composés de quatre quarrés seulement.

Que si vous voulez non seulement deux nombres, mais trois ou tel nombre que vous voudrez, desquels un cbacun, ensemble la somme de tous, soient composés de (rois ou de (|nalre ([narrés seulement, il ne faudra (jue trouver autant de quarrés que vous voudrez de nombres, desqutds la somme soil qnarrée, et les multiplier, chacun d'eux ut supra.

J'ajouterois la démonstration, mais le tem[)s ne nu' le permet pas. Kn tout cas, vous pourrez faire l'essai sur la construction que je vous envoie.

8. Et vous dirai que j'ai trouvé de fort belles propositions sur ce sujet, comme :

Si, de deux plans seniblahles ('), l'un est compose de trois quarrés seulement, l'autre le sera aussi;

et plusieurs autres.

9- Je désirerois que M. de Roberval travaillât aux questions (|ue je vous ai proposées (-).

10. J'ai achevé tout le Traité iJe lacis planis ('), où il y a trente ou quarante propositions toutes très belles.

Je suis, mon Révérend Pi're, votre très affectionné serviteur.

Fermât.

A Toulouse, ce ij juillet iG'50.

(') Nombres qui sont euli-e eux dans le rajiport de doux carres. (S) T'oir la Lettre I, 12.

(5) Foir\A Lettre I, 10.

vu. - AOUT 1636. 31

FERMAT A ROBERVAL (')

(Ta, p. 1 33-1 34.)

Monsieur,

1. Après vous avoir remercié de la faveur que vous m'avez laite et de la peine que vous avez prise, je répondrai en peu de mots aux objections que j'ai trouvées dans votre Lettre, et ce, sans aucun esprit de dispute et pour vous faire seulement approuver la vérité de mes propositions.

2. La première objection (-) consiste en ce que vous ne voulez pas accorder que le mitan d'une ligne qui conjoint devix poids égaux descendant librement, s'aille unir au centre du monde. En quoi certes il me semble que vous faites tort h. la lumière naturelle et aux premiers principes : car, puisque ces deux poids sont égaux et qu'ils ont tous deux même inclination pour s'unir au centre du monde, s'ils n'étoient pas empêchés, il est clair qu'ils y approcheront .tous deux également. Autrement, ayant supposé les poids égaux et les inclinations au centre égales, vous admettriez néanmoins plus de résistance d'un côté, ce qui seroit absurde.

Et n'importe d'alléguer un levier horizontal, lequel, étant pressé par deux forces égales aux deux bouts horizontalement, demeure néanmoins en l'état qu'il est, quoique l'appui qui est au dessous le divise en parties inégales. Car, au cas de ma proposition, la vérité de mon principe dépend de ce que les deux poids (ou puissances) ont naturellement inclination au centre de la terre et tendent là; et c'est pourquoi,

(M Première lellre de Fermât à Roberval, répondant à une lettre perdue où ce dernier critiquait les propositions de la Pièce V, qui lui avait été communiquée par Carcavi. (2) ro(> Pièce V, 2.

n'ayant point d'avantage rmi sur l'aiilro, ils s'y approchent tous deux également. Mais en l'espèce du levier horizontal, les deux puissances des extrémités n'ont aucune inclination naturelle ii l'appui, mais à s'approcher seulement; et ainsi ra|)pui ne doit être non plus considéré que s'il n'étoit point.

Outre que jamais personne n'a douté que le centre d'un grave ne s'unit au centre de la terre, s'il n'étoit empêché; or, deux graves, joints par une ligne qui conjoint leurs centres de gravité, ne sont censés constituer qu'un seul grave, duquel le centre de gravité^est au mitan de la ligne qui les conjoint : quelle raison donc de croire qu'il s'arrête ailleurs que lorsque son centre sera uni à celui de la terre?

Soient les deux poids égaux A et B {fig- i4) joints par la ligne AB,

Fig. .4.

le centre de la terre C. Qu'on laisse choir librement les poids A et B; lorsque le poids B sera au centre C, on ne peut pas dire qu'il s'arrête, parce que le poids A gravitât super B et destruit œquilibrium. Où commencera donc le levier AB de s'arrêter? Vous ne sauriez trouver le commencement de son repos en un point plutôt qu'en l'autre, si ce n'est au mitan, parce qu'il se trouve pour lors également contrebalancé de tous côtés.

Je ne sais si ces raisons seront capables de vous faire changer d'avis, mais vous me permettrez bien de vous dire que vous trouverez peu de gens qui suivent votre opinion et qui ne m'accordent ce principe : c'est pourquoi je vous conjure de me dire nettement ce qu'il vous en semble.

3. La deuxième objection (') est contre la nouvelle proportion des C) J-'oir Pièce V, 5. — Robcrval a. cetlc fois, raison contre Fcrm;il.