LXXIII. - -29 AOUT IC^oh

Je n'ai garde de faillir tandis que je rencontrerai de cette sorte, el je suis persuadé que le vrai moyen pour s'empêcher de faillir est celui de concourir avec vous. Mais, si j'en disois davantage, la chose tiendroit du compliment, et nous avons hanni cet ennemi des conversations douces et aisées.

Ce seroit maintenant à mon tour à vous débiter quelqu'une de mes inventions numériques; mais la fin du parlement augmente mes occupations, et j'ose espérer de votre bonté que vous m'accorderez un répil juste et quasi nécessaire.

2. Cependant je répondrai à votre question des trois joueurs qui jouent en deux parties. Lorsque le premier en a une, et que les au(res n'en ont pas une, votre première solution est la vraie, et la division de l'argent doit se faire en 17, 5 et 5 : de quoi la raison est manifeste et se prend toujours du même principe, les combinaisons faisant voir d'abord que le premier a pour lui 17 hasards égaux, lorsque chacun des <<deux ;> autres n'en a que .:").

3. Au reste, il n'est rien à l'avenir que je ne vous communique avec toute franchise. Songez cependant, si vous le trouvez à propos, à cette proposition :

Les puissances quarrées de 2, augmentées de l'unité, sont toujours des nombres premiers.

Le quarré de 2, augmenté de l'unité, fait 5 qui est nombre premier.

Le quarré du quarré fait i(i qui, augmenté de l'unité, fait 17, nombre premier.

Le quarré de iG fait 2jG qui, augmente de l'unité, fait 2J7, nombre premier.

Le quarré de 2jG fait G5 53G qui, augmenté de l'unité, fait Gj ^37, nombre premier.

Et ainsi à l'infini.

C'est une propriété de la vérité de laquelle je vous réponds. La démonstration en est Iri's malaisée et je vous avoue que je n'ai pu

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encore lii Iroiiver pleinemont ; je ne vous la pr()|)nsprois pas pour la chorclior. si j'en élois vciiii à Ixnil {' ).

Colle proposilioii sert ;i l'invention des nombres (jni soni ii leurs parties alicpioles en l'aison donnée, sur (|uoi j'ai l'ait des découvertes considérables. Nous en |)arlerons une autre l'ois.

Je suis. Monsieur, votre, etc., A TomIdusc, lo ■>() août i6JÎ.

Feumat.

FERMAT A PASCAL (-)

VENDllEDI 2.5 SEPTEMBRE 1054.

(OEilrres de Pnscal , IV, p. 4'Î7-4'l'-)

IMONSIEll!,

1- .N'appréhendez pas que notre convenance se démente, vous l'avez eonlirmée vous même en pensant la détruire, et il me semble <|u'( répoinlant à .M. de Roberval pour vous, vous avez aussi répondu pour moi.

.le prends l'exemple des trois joueurs, au premier desquels il manque uiH' par'tie, et à chacun des deux autres deux, qui est le cas que vous m'oj)posez.

.le n'y trouve que 17 combinaisons pour le premier et 5 pour chacun des deux autres : car, quand vous dites que la combinaison arc est honno pour le premier et pour le troisième, il semble que vous ne vous souveniez plus que tout ce qui se fait après que l'un des joueurs a içagné, ne sert plus de l'ien. Or, celte combinaison ayant l'ait gagner le premier dès la premif're partie, qu'importe que le troisième en

( ') Foir Tome 1, p. i3i, et Tome II. p. uoC. n; Réponse à la leUre LXXII.

gagne doux ensuite, puisque, quand il en gaguoroit (rente, toul (■eia seroit superflu?

Ce qui vient de ce que, comme vous avez dès bien remarqué, celte iiction d'étendre le jeu à un certain nombre de parties ne sert qu'à faciliter la règle et (suivant mon sentiment) ;i rendre tous les hasards égaux, ou bien, plus intelligiblement, à réduire loules les fractions à une même dénomination.

Et afin que vous n'en doutiez plus, si au lieu de trois parties, vous étendez, au cas proposé, la feinte jusqu'à quatre, il y aura non seulement 27 combinaisons, mais 81, et il faudra voir combien de combinaisons feront gagner au premier une partie plus tôt que deux à chacun des autres, et combien feront gagner à chacun des deux autres deux parties plus tôt qu'une au premier. Vous trouverez que les combinaisons pour le gain du premier seront 5i et celles de chacun des aulres deux i >, ce qui revient à la même raison.

Que si vous prenez cinq parties ou tel aulre nombre qu'il vous plaira, vous trouverez toujours (rois nombres en proportion de 17, 5, 5.

Et ainsi j'ai droit de dire que la combinaison ace n'est que pour le premier et non pour le troisième, et que cca n'est que pour le troisième et non pour le premier, et que partant ma règle des combinaisons est la même en trois joueurs qu'en deux, et généralement en tous nombres.

2. Vous aviez déjà pu voir par ma précédente (') que je n'hésitois l)oint à la solution véritable de la question des trois joueurs dont je vous avois envoyé les trois nombres décisifs, 17, 5, 5. Mais parce que M. ■< de > Roberval sera peut-être bien aise de voir une solution sans rien feindre, et qu'elle peut quelquefois produire des abrégés en beaucoup de cas, la voici en l'exemple proposé :

Le premier peut gagner, ou en une seule partie, ou en deux, ou en trois.

(1) Lettre LXXIO, 2.

Mî ŒITVIIES DE FERMAT.- COHlîESPOM) ANCE.

S'il gagne en une seule parlie, il l'aiil (ju'avuu' un dé qui a trois tares, il rencontre la favorable du |)reniiei" coup. Un seul dé produit

trois hasards : ce joueur a donc pour lui ^ des hasards, lors([u'on ne j(uie qu'une partie.

Si on en joue deux, il jieut gagner de deux laçons, ou lorsque le second joueur gagne la première cl lui la seconde, ou lorsque le troisiènu' gagne la première et lui la seconde. Or, deux dés produisent <) hasards : ce joueur a donc pour lui - des hasards, lorsqu'on joue d(>ux parties.

Si on en joue trois, il ne peut gagner que de deux façons, ou lorsque le second gagne la première, le troisième la seconde et lui la troisième, ou lorsque le troisième gagne la première, le second la seconde et lui la troisième; car, si le second ou le troisième joueur gagnoit les deux premières, il gagneroit le jeu, cl non pas le premier

joueur. Or, trois dés ont 27 hasards : donc ce premier joueur a ^ des hasards lorsqu'on joue trois parties.

La somme des hasards qui font gagner ce premier joueur est i)ar

conséquent o> - et — •> ce qui l'ait en tout — • ' ô 9 27 ' 27

Et la règle est bonne et générale en tous les cas, de sorte que, sans recourir à la feinte, les combinaisons véritables en chaque nombre des parties portent leur solution et font voir ce que j'ai dit au commencement, que l'extension à un certain nombre de parties n'est autre chose que la réduction de diverses fractions à une même dénomination. Voilà en peu de mots tout le mystère, qui nous remettra sans doute en bonne intelligence, puisque nous ne cherchons l'un et autre que la raison et la vérité.

3. .l'espère vous envoyer à la Saint-JMarlin un Abrégé de tout ce que j'ai inventé de considérable aux nombres. Vous me permettrez d'être concis et de me faire entendre seulement à un homme qui com- |)iciid tout il demi-mot.

(^e que vous y trouverez de plus important regarde la proposition

que tout nombre est composé d'un, de deux ou de trois triangles; d'un, de deux, de trois ou de quatre quarrés; d'un, de deux, de trois, de quatre ou de cinq pentagones; d'un, de deux, de trois, de quatre, de cinq ou de six hexagones, et à l'intini (').

Pour y parvenir, il faut démontrer (jue tout nombre premier, qui surpasse de l'unité un multiple de 4. t'^t composé de deux quarrés, comme j, i3, 17, 29, 37, etc.

Etant donné un nombre premier de cette nature, comme 53, trouver, par règle générale, les deux quarrés qui le composent.

Tout nombre premier, qui surpasse de l'unité un multiple de 3, est composé d'un (juarré et du triple d'un autre quarré, comme 7, i3, 19, 3i, 37, etc.

Tout nombre premier, qui surpasse de i ou de 3 un multiple de 8, est composé d'un quarré et du double d'un autre quarré, comme 1 1, 17, 19, ^i, 43, etc.

Il n'y a aucun triangle en noinbies duquel l'aire soit égale à un nombre quarré (-).

Gela sera suivi de l'invention de beaucoup de propositions que Bacliel avoue avoir ignorées, et qui manqu<'n( dans le Diophante.

.Te suis persuadé que dès que vous aurez connu ma façon de démontrer en cette nature de propositions, elle vous paroilra belle et vous donnera lieu de faire beaucoup de nouvelles découvertes; car il faut, comme vous savez, que multi pertranseant ut augeatiir scientia ( ').

S'il me reste du temps, nous parlerons ensuite des nombres magiques, et je rappellerai mes vieilles espèces sur ce sujet.

Je suis de tout mon cœur. Monsieur, votre, etc.,

Feumat.

Ce 23 septeml>ro.

.Te souhaite la santé de M. de Carcavi comme la mienne et suis tout il lui.

( ' ) J'oir Lettre XII, 3.

(2) T'oir Lettre XII, 2.

(3) J^oir plus haut p. 35, iioU' 2.

Iebmat. — II. [\o

:5IV (KIVIIKS I)K KKHM AT. — COHUKSPONDAiNCK.

Je vous écris de la cainpagiu', cl c'est ce qui retardera par avendire mes réponses pendant ces vacations.